3．1．2 空间向量的数量积运算 1．了解空间向量夹角的概念及表示方法． 2．掌握空间向量数量积的计算方法及应用． 3．1．2 空间向量的数量积运算 1．了解空间向量夹角的概念及表示方法． 2．掌握空间向量数量积的计算方法及应用． 3．能将立体几何问题转化为向量运算问题．
1．如图 3－1－6，已知两个非零向量 a，b，在空间任取一 → → ∠AOB 点O，作OA＝a，OB＝b，则__________叫做向量a，b的夹角， 〈a，b〉 记作__________． 图 3－1－6
[0，π] 向量a，b互相垂直 a⊥b a，b的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 a·b
4．空间向量的数量积满足以下运算律： (1)(λa)·b＝__________. (2)a·b＝__________. λ(a·b) b·a a·b＋a·c (3)a·(b＋c)＝______________. 注意：一般情况下(a·b)·c 与 a·(b·c)是不相等的． 5．线线垂直． 若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔__________. a·b＝0
【要点】利用数量积求夹角与长度．
角线长都等于 a，点 E，F，G 分别是 AB，AD，DC 的中点，求 下列向量的数量积： 题型1 求向量的数量积 例1：如图 3－1－7，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对 角线长都等于 a，点 E，F，G 分别是 AB，AD，DC 的中点，求 下列向量的数量积： → → → → → → (1)AB·AC；(2)AD·BD；(3)GF·AC. 图 3－1－7
【变式与拓展】 则 a·b＋b·c＋c·a＝( C ) A．1.5 B．－1.5 C．0.5 D．－0.5
题型2 求线段的长度 例2：已知在▱ABCD 中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°， PA ⊥平面 ABCD，并且 PA ＝6，求 PC 的长． 思维突破：求 PC 的长，先把 PC 转化为向量，然后求向量 → PC的自身数量积，由已知向量的模及向量间的夹角，得其模的 平方，再开方即为所求．
【变式与拓展】 2．已知 PA ⊥平面 ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6， → 求|PC|.
AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求 OA与 BC 夹角 的余弦值． 题型3 向量的夹角问题 例3：如图3－1－8，在空间四边形 OABC 中，OA＝8，AB＝6， AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求 OA与 BC 夹角 的余弦值． 图 3－1－8
【变式与拓展】 3．如图 3－1－9，在平行六面体 AC′中，∠B′BA＝ ∠B′BC＝∠ABC＝60°，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，求 A′D 与 D′C 所成的角的余弦值． 图 3－1－9