第12章 库存优化问题 （Inventory Problem） 第12章 库存优化问题 （Inventory Problem） 库存论就是在经济合理或者某些特定的前提下，根据大量可靠的历史统计数据对具体存储问题加以概括和抽象，然后建立相应的数学模型并进行优化处理，从而做出正确的存储决策。库存优化是物流系统管理决策中的一大主要问题。本章从数学优化的角度着重讨论基本的库存模型及其扩展。

第12章 库存优化问题（Inventory Problem） 库存问题概述（Introduction of Inventory Problem） 确定性库存模型（Models for Determinate Inventory Problems） 确定性库存基本模型（Basic Model for Determinate Inventory Problems） 缺货事后补足的模型 （Model for Inventory Problems with Replenishment after Stock-out） 批量折扣库存模型（Model with Discount Price）

库存问题概述 库存系统通过供、存、销三个环节。通过订货或安排生产，以及到货后的库存，最后由销售来满足顾客的需求。在这样一个系统中，决策者通过控制订货时间的间隔、订货数量以及库存系统的结构来调节系统的运行，使得在某种准则下系统的性能达到最优。

库存要素 1. 需求 需求是库存系统的输出。对单极库存系统而言，需求通常被处理为一个系统无法影响的外部变量；在多级库存系统中，上游层次可以通过某种合作机制影响下游层次的需求，供应链管理也强调联合库存计划，以更好地满足最终需求。 对需求量时间和空间分布特征的掌握是制定合理的库存计划的重要前提。此外，顾客需求的可等待性也是实际运作中要考虑的重要问题。

2. 供应特性 根据实际问题的具体情况，应考虑供应的以下几个方面的特性：供应能力、供应方式、提前期、缺货处理。供应能力是否可以处理为无限，供应是离散的还是连续的，供应能力是稳定的还是变化的。供应方式采用推式还是拉式，是否存在优先分配机制和紧急调拨机制。提前期是确定性的还是随机的。缺货情况下，顾客是损失掉还是等待补货，这些都对会库存系统决策带来重大影响。

3. 存储特性 4. 存储策略 根据实际问题的具体情况，应考虑存储的以下几个方面的特性：存储网络、存储能力、损耗特性等。 给出何时补充库存，以及补充多少的一个方案。包括盘点方式和订货量。 盘点方式分两种，一类是连续盘点，此时对任意t,（ I(t)表示时刻t>0时的库存水平）都已知；另一类是周期盘点，此时只知道I(kt)，（k=1,2…）．这里t是一个常数，通常称作周期。不同的盘点方式自然会影响库存决策。

几种常用的存储策略。 （1） （s,Q）系统。连续盘点，一旦库存水平小于s，立即发出一个订单。其订货量为常数Q；若库存水平大于等于s，则不订货。s称作订货点库存水平。 （2） （s,S）系统。连续盘点，一旦库存水平小于s，立即发出一个订单，其订货量使得订货时刻的库存水平达到S；否则，就不予订货．（s,S）策略中每次订货量不一定相同。 （3） （R,s,Q）系统。以周期R进行盘点，其余行为同（s,Q）系统。 （4） （R,s,S）系统。以周期R进行盘点，按盘点时的库存水平执行（s,S）系统。

5. 目标 常见的目标有成本最小化或服务水平最大化。 就成本而言，库存系统中的费用通常包括进货(订货)费、保管费、缺货损失费，以及为控制系统运行所需的费用。 就服务水平而言，通常采用缺货概率或供应比率来衡量。前者反映每一周期发生供不应求的可能性；后者衡量可供应量与需求量的比值。根据实际情况不同，服务水平可能是约束条件，也可能是决策目标。

确定性库存模型 存储系统可能有各种各样的决策与控制模型，其中确定型模型是指进货速率与需求速度一定，定货点和提前期一定，订货周期一定，每次订购费、保管费及缺货损失单价一定的情况下建立的存储策略模型。确定型模型虽然是高度简化的理想模型，但是具有广泛的用途，能为库存管理提供需多有用信息，也是建立随机存储模型和仿真模型的基础。

(1) 确定性库存基本模型 1. 模型假定 2. 存储状态图 当存储降到零时，立即补充。 需求是连续均匀的，设需求速度D为常数，则t时间内的需求量为Dt。 每次订购费不变，定购费为K，单位存储费不变，货物单价为，单位货物单位时间存储费用为。 每次订购量不变。 2. 存储状态图

3. 建立模型 在t内补充一次存储，定购量必须满足这一时间内的需求。 货物单价为c，定购费为K。已知需求速度D为常数，存储量由时刻0的Q线形降至时刻的零，故在内的存储量为一个三角形的面积,单位货物单位时间存储费用为cr。 故得t内的单位时间平均费用为： 对上式求导得： 令上式为零，解得方程可得： 代入

可得订货量 ， 带入G(t)的公式 最小平均费用为 若记 ，用δ表示偏离订货量Q的大小。再记偏离最优订货量时费用的相对误差为α(δ)，称作惩罚系数，则有 容易得到 惩罚系数反映偏离最佳订货量时造成的平均费用增加的百分比，它反映了平均费用对最佳订货量的敏感性。 可得到

例：设生产线需要某种零部件，需求量D=400个／年，单价c=0.2元／个，订货费K=4元，存贮费用率r=0.4／年。故最佳订货量 因此，每年需订货4000／632≈6（次）。此时最佳费用 若每次订货量为800个，δ≈0.27，此时，α(δ)＝0.029。可知，相应的费用为最佳费用的1.029倍。

(2)缺货事后补足的模型 模型允许缺货，缺货在以后补足。 记T为一个运行周期，并且设它从t=0开始。记 ，及I(t)=时刻t的库存水平, 。若时刻t缺货，则有I(t)<0。 H(t)=时刻t现有的库存量，即H(t)= I(t) +。 B(t)=时刻t的缺货量 =-（I(t)） +。 P=一个单位价格的货物缺货单位时间的费用。 其库存量变化可下页图2反映， 其中t1使得I(t1)= 0。

注意到库存水平I(t)仍有这种形式 因此，一个运行周期中的平均库存量及平均缺货量分别为 再注意到一个周期中的订货费为K+cQ，即可得单位时间中的平均总费用为

利用条件 及Q=DT，代回上式，得到以为变量的目标函数 因此F(Q,S)是(Q,S)>0上的严格凸函数，故有唯一的最小值。 此最小值可由 解出。即解 解之可得：

若 ，表明不允许缺货，此时化归为EOQ公式。 在实际的库存问题中,缺货损失的费用率很难估计。为此可从另一角度来考虑，假定决策者要求库存不能满足需求的时间比例要小于 。由于本模型中缺货的时间比例为 ，故可令 。因此， 于是可以反解出 ，这对应用是方便的。

(3)批量折扣库存模型 通常可设货物的单价是采购量的递减阶梯函数。其余假定同前述基本模型。为简单起见，这里只考虑二段的情形，即单价为 与基本模型中的推导相仿，由于不允许缺货，故单位时间中的平均总费用为

观察F(Q)的图形，使其达到最小值的点，即最佳订货量 ，与 的位置只有图中所示的三种可能情形。由此可得求最佳订货量 的步骤。

计算有批量折扣时的EOQ， 若 (图(c))，则 ；否则算出 计算 及 。若 (图(a))，则 。否则 (图(b))。

例：某商场有三种货物的基本数据如表所示。 序号 D（件/年） （元/件） K（元） r（/年） 1 4160 14.2 15 0.24 2 1040 3.1 3 41600 2.4 供应商答应订货量超过1000件时单价优惠2％，即c2=0.98c1。试分别求其最佳订货量。 对货物1： 对货物2： 对货物3：