二次函数的抛物线在生产、生活中广泛应用。 新课导入 1. 某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是： （m为定值） 二次函数的抛物线在生产、生活中广泛应用。 2. 导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是： （R为定值） 3. g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的高度h与下落时间t之间的关系是： （g为定值）
教学目标 【知识与能力】 【过程与方法】 生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数在生活中的应用。 通过实际问题，体验数学在生活实际中的广泛应用性，提高数学思维能力。 在转化、建模中，学会合作、交流。 通过图形间的关系，进一步体会函数，体验运动变化的思想
【情感态度与价值观】 通过对商品涨价与降价问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学习热情。 在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神。 正确面对困难，迎接挑战的坚强品质。
教学重难点 利用二次函数解决商品利润问题。 用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题。 建立二次函数数学模型，函数的最值。 通过图形之间的关系列出函数解析式。
实际问题 喷泉与二次函数 一公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m. 如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25) x y ●B(1,2.25) (0,1.25) o A 数学化 ● D(-2.5,0) ● C(2.5,0) 设抛物线为y=a(x-h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x-1)2+2.25. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点D的坐标为(-2.5,0) . 根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
跳水与抛物线 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是经过原点O的一条抛物线.在跳某规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面32/3米,入水处距池边的距离为4米,同时,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的解析式； (2)在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为18/5米,问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.
跳绳与抛物线 平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可以看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲乙两名学生拿绳的手间距为4米,距地面均为1米,学生丙丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处,绳子到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5米,求学生丁的身高？ 甲 乙 丙 丁
实际问题 最大利润问题 某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 设销售价为x元(x≤13.5元),那么 销售量可表示为 : 件; 销售额可表示为: 元; 所获利润可表示为: 元; 当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元.
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ （1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？ 调整价格包括涨价和降价两种情况
涨价： （1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖_____件，实际卖出___________件,销额为_______________元，买进商品需付________________元因此，所得利润为_____________________________元 (300-10x) 10x 40(300-10x) (60+x)(300-10x) y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 即 (0≤x≤30)
(0≤x≤30) 所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润 答：定价为 元时，利润最大，最大利润为6050元
最大面积问题 在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AD=xcm,那么AB边的长度如何表示？ （2）设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少? A B C D ┐ M N 30cm xcm bcm 40cm
最多光线问题 某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? x y
课堂小结 解决关于函数实际问题的一般步骤 （1）先分析问题中的数量关系、变量和常量，列出函数关系式. （2）研究自变量的取值范围. （3）研究所得的函数. （4）检验 x的取值是否在自变量的取值范围内、结果的合理性等，并求相关的值. （5）解决提出的实际问题. （配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值）
随堂练习 1. 某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?
2. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下: 15 20 30 … y(件) 25 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？
（1）设此一次函数解析式为 。 则 解得：k=－1，b＝40。 所以一次函数解析为 。 （2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元。则 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元。
3. 某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元. 旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元 3. 某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？ 设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
4. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时，宾馆利润最大？ 解：设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为y元 y =(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10) y =-1/10x2+34x+8000
5. 某个商店的老板，他最近进了价格为30元的书包。起初以40元每个售出，平均每个月能售出200个。后来，根据市场调查发现：这种书包的售价每上涨1元，每个月就少卖出10个。现在请你帮帮他，如何定价才使他的利润最大？
解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： （1） 因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以 ，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，-0.8)。 因为点B在抛物线上，将它的坐标代入（1），得 所以a＝-0.2 因此，所求函数关系式是 。
6. 某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，市场调查发现：若每箱以50 元销售,平均每天可销售100箱 6. 某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，市场调查发现：若每箱以50 元销售,平均每天可销售100箱. 价格每箱降低1元，平均每天多销售25箱 ; 价格每箱升高1元，平均每天少销售4箱。如何定价才能使得利润最大？ 若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。如何定价才能使得利润最大？（为了便于计算，要求每箱的价格为整数）
7. 有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）. ⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元，写出P关于x的函数关系式. ⑵如果放养x天将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式。 ⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润，（利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？
习题答案 （1）有最高点 ；有最低点 . 65元. 600m. AB 的中点处. 每天350元.