第九讲 14种布拉菲格子

复习： 点对称操作、7种晶系、32种点群

点对称操作 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n 1 (E, L1) 1 (i, C) + , 2 (C2, L2) 2 (σ, P), m + _ , 3 (C3, L3) 3 (S65, Li3) 4 (C4, L4) 4 (S43, Li4) 6 (C6, L6) 6 (S35, Li6) 旋转轴， n 旋转反演轴， n

!!! n = 1n (iCn), Sn = σCn 特征点对称操作 1 (E) 1 (i) 2 (C2) 2 (σ), m 3 (S65) (σh, σv, σd) (C21, C22) 3 (S65) 3 (C3) S6, S62(C3), S63(i), S64(C32), S65, S66(E) 35, 34, 33, 32, 31, 36 (C31, C32, C33) 4 (S43) 4 (C4) (C41, C42, C43, C44 ) S4(43), S42(42), S43(4), S44(E) 6 (C6) 6 (S35) (C61, C62, C63, C64 , C65, C66 ) S3, S32(C32), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E) 65, 64, 63, 62, 6, 66

对称条件 晶系 特点 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 1(E)或1(i) 三 斜 a≠ b≠ c, ≠≠ 1 2(C2)或2(m) 单 斜 a≠b≠c,  =  = 90o≠ 2/m 两个2(C2)或2(m) 正 交 a≠b≠c,  =  =  = 90o mmm 4(C4)或4(S43) 四 方 a = b≠c,  =  =  = 90o 4/mmm a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o 3m 3(C3)或3(S65) 三 方 a = b = c,  =  =  菱形 6(C6)或6(S35) 六 方 a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o 6/mmm 四个三次轴 立 方 a = b = c,  =  =  = 90o m3m

点群各符号的顺序 晶系 在 国 际 符 号 中 的 位 置 1 2 3 4或4沿c 3或3沿c 6或6沿c 3或3沿<111> 三斜 只用一个符号 单斜 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴 正交 2或2沿a 2或2沿b 2或2沿c 四方 4或4沿c 2或2沿a和b 2或2沿a±b 三方 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b 六方 6或6沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b 4、4、2或2沿<100> 立方 3或3沿<111> 2或2沿<110>

1(L1) m(P) 1(C) 42m (Li42L22P) 2(L2) 2/m (L2PC) 222(3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC) 4 (Li4) 422 (L44L2) 4/mmm(L44L25PC) 4mm (L44P) 4/m (L4PC) 4(L4) 62m (Li63L23P) 6 (Li6) 622 (L66L2) 6/mmm (L66L27PC) 6mm (L66P) 6/m (L6PC) 6(L6) 23(3L24L3) m3 (3L24L33PC) 432 (3L44L36L2) m3m (3L44L36L29PC) 3m (Li33L23P) 3(L3) 3m (L33P) 32(L33L2) 43m (3Li44L36P) 3(Li3) 32种点群及其点对称操作

1 (L1) 三斜晶系 ? 1 (C)

单斜晶系 (主轴 c) ? 2/m (L2PC) 2 (L2) m (P) E; C2; i; h 1; 2; 1; 2(m) 主轴 b

 = 360o/n (n = 1,2,3,4,6) 2 (C2, L2) + + + _ _

1 (i, C) + _ , + _ , 手性的变化 对形关系、对形操作

2 (σ, P), m _ , + + , 手性的变化 对形关系、对形操作 + _ ,

X 2/m (L2PC) , , , E; C2; i; h 1; 2; 1; 2(m) , , , , , + _ + + + _ + - , _ + , + - , - + , +

1 (L1) 三斜晶系 1 (C)

单斜晶系 (主轴 c) 2/m (L2PC) 2 (L2) m (P) E; C2; i; h 1; 2; 1; 2(m) 主轴 b

222 (3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC) 正交晶系 2/m 2/m 2/m E; C2; C2’ ; C2’; i; h; v; v

四方晶系 4 (L4) 4/m (L4PC) 4mm (L44P) 4/mmm (L44L25PC) 422 (42, L44L2) 4 (Li4) 42m (Li42L22P)

四方晶系 4 (L4) 4/m (L4PC) 4mm (L44P) 4/mmm (L44L25PC) 422 (42, L44L2) 4 (Li4) 42m (Li42L22P) 一般形，可直观地反映(尤其是同一晶系)各点群的差别

6 (Li6) 六方晶系 6/m (L6PC) 6mm (L66P) 6/mmm (L66L27PC) 6 (L6)

三方晶系 3m1 31m 321 312 3m1 31m 3m (L33P) 3 (L3) 3 (L3C) 3m (L33L23PC)

62m (Li63L23P) 42m (Li42L22P) 45o 30o 4m2 (Li42L22P) 6m2 (Li63P3L2) 六方晶系 62m (Li63L23P) 42m (Li42L22P) 45o 30o 4m2 (Li42L22P) 6m2 (Li63P3L2)

立方晶系 立方晶系中的方向 a = b = c,  =  =  = 90o

立方晶系中的3h，6d y x z x y 45o 60o 90o 54o44’ ,109o28’ 35o16’ , 70o32’

面、方向、轴 -x y y z 45o, 90o, 54o44’ ,109o28’ 35o16’ , 70o32’, 60o x 001 010 111 100 001 110 011 101 面、方向、轴 y -x z 45o, 90o, 54o44’ ,109o28’ 35o16’ , 70o32’, 60o

x y x y 立方点群中的2次轴 注意：没有镜面

23 m3

立方点群中的4、4次轴 x y x y 注意：没有镜面

x y 010 111 100 001 110 011 101 一般点及其操作 y z x 3、4、2次轴

立方晶系 23 (3L24L3) {3[111]}{3[111]} = {2[010]} X y X x 没有4次轴！

立方晶系 m3 (2/m3, 3L24L33PC) y x z X y X 没有4次轴！ X 没有4次轴！ 左右手问题 x

立方晶系 43m (3Li44L36P) y X x 没有4次真旋转轴！

立方晶系 432 (43, 3L44L36L2) x y z y x 有4次轴！

立方晶系 m3m (4/m32/m,3L44L36L29PC) y x z x y 有4次轴！

Tetragonal T Th Td Octahedral O Oh

从旋转点群推导32种点群 点群的熊夫利斯符号 11种纯旋转群： 1 2 3 4 6 222 32 422 622 23 432 1 2 3 4 6 222 32 422 622 23 432 C1 C2 C3 C4 C6 D2 D3 D4 D6 T O 循环点群 二面体点群 立方点群 11种中心对称点群： 1 2/m 3 4/m 6/m mmm 3m 4/mmm 6/mmm m3 m3m S2 C2h S6 C4h C6h D2h D3d D4h D6h Th Oh 10种新子群： m3 m3m 1 2/m 3 4/m 6/m mmm 3m 4/mmm 6/mmm m 4 6 mm2 3m 4mm 42m 6mm 62m 43m C1h S4 C3h C2v C3v C4v D2d C6v D3h Td

D2d 42m (Li42L22P) D3d 3m (L33L23PC) C3v 31m (L33P) 4mm (L44P) C4v

推导32种点群的熊夫利斯方案 熊夫利斯符号

第八讲 14种布拉菲格子

有心化 新的点阵(有心 8 种) 14种布拉菲点阵 第九讲 14种布拉菲格子 旋转对称性 旋转对称性 满足点阵条件 + 晶系不变 晶系、参考轴初基P单胞 (6) 有心化 P点阵中高对称位置加心(体心I, 全面心F, 单面心A, B或C 双面心) 六方格子特殊心 菱形(三方)单胞 新的点阵(有心 8 种) 14种布拉菲点阵 旋转对称性

晶胞： 按照晶体内部结构的周期性，划分出一个个大小和形状完全一样的平行六面体，以代表晶体结构的基本重复单位。 晶胞参数 晶胞参数与点阵参数是等同的，形状一定是平行六面体。

Bravais lattice 布拉菲格子 　　在晶体中，由格矢量Rn = n1a1+n2a2+n3a3 的全部端点(格点)的集合 (ni为0和正负整数) 即构成一个空间格子，它反映了晶格的周期性。晶格的周期性可以表示为一个晶格经过平移操作后与原来晶格完全重合。通常情况下，具有平移对称性的格子就称为布拉菲格子。这种微观的平移对称性可导致宏观上的其他对称性，包括转动，镜面，反演点对称性。Rn称为布拉菲格子的格矢；a1、a2、a3是三个不共面的矢量, 称为布拉伐格子的基矢。 　　布拉菲格子是晶格的一种数学抽象，其中布拉伐格子的所有格点都是几何位置上等价、周围环境相同的点；若把原子或原子团安置在布拉伐格子的每一个格点上，就可得到相应的晶格。虽然晶格的类型很多，但自然界中的布拉伐格子却只有14种。这14种布拉伐格子又可划分为七大晶系。

三维的布拉伐格子(Bravais lattice in 3D)为什么只有十四种？ 如果经过一个操作后晶格没有改变，我们称这个操作是对称操作。 两个对称操作结合起来仍然是对称操作，数学上称这样的结构为群。 对称操作构成的群叫对称群。 如果两个群有相同的结构，我们称这两个群同构。 Bravais晶格按照定义，经过适当平移后都不会改变，所以平移是一种对称操作。 有些晶格有更强的对称性，比如镜像，旋转等。这些晶格的对称群就更大。 两个晶格的对称群如果同构，他们就有相同的对称性，可以认为他们是一类的。 明确概念后，接下来就是数了。 学化学或物理的可以一个一个试，反正不多。 学数学的可以严格证明三维空间只有14类Bravais晶格。 没有学过群论的人学结晶化学时是这样操作的：七个晶系，四种格子(简单，面心，体心，底心)，28种格子统统画出来，然后看哪些是重复的，去掉重复的之后就剩14种了。 晶体是具有一些宏观对称性的, 分为点对称操作(比如旋转和反演)和平移对称操作. 由于平移对称操作的存在, 限制了晶体的点对称操作, 比如晶体只能有1,2,3,4,6次旋转轴.

P点阵中高对称位置加心(体心I, 全面心F, 单面心A, B或C 双面心) X B A 双面心不满足点阵条件！

对称条件 晶系 特点 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 1(E)或1(i) 三 斜 a≠ b≠ c, ≠≠ 1 2/m 2(C2)或2(m) 单 斜 a≠b≠c,  =  = 90o≠ 两个2(C2)或2(m) 正 交 a≠b≠c,  =  =  = 90o mmm 4(C4)或4(S43) 四 方 a = b≠c,  =  =  = 90o 4/mmm a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o 3m 3(C3)或3(S65) 三 方 a = b = c,  =  =  菱形 6(C6)或6(S35) 六 方 a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o 6/mmm 四个三次轴 立 方 a = b = c,  =  =  = 90o m3m

三斜晶系 三斜 P 单斜晶系 单斜 P 单斜 B 单斜 C = P 单斜 B = I = F = A b轴为唯一轴:B = P，C = I = F = A

正交晶系 正交 C = A = B ≠ P ? 正交 P 正交 C 正交 I 正交 F

四方晶系 四方 P 四方 I 立方晶系 立方 P 立方 I, bcc 立方 F, fcc 四方 C = P ≠A ≠B 四方 F = I 非点阵 四方 P 四方 I 立方晶系 立方 P 立方 I, bcc 立方 F, fcc 单面心破坏4个3次对称性！非点阵

六方晶系 六方 P 三方菱形晶系 三方 R 有心化 ±(2/3, 1/3, 1/3)：R ±(1/3, 2/3, 1/3)：R +c/2 底面心：正交 侧面心：非点阵 六方 P +c/2 三方菱形晶系 体心：非六方点阵 (1/3, 2/3, 0)：P +2c/3 +c/3 ±(2/3, 1/3, 1/3)：R 三方 R ±(1/3, 2/3, 1/3)：R

六角单胞有心化后，已不具有6次对称性，却导出有3次对称性的菱形初基单胞。R点阵可由两种轴系表示：R晶系、(三)六角晶系 a = b = c,  =  =  菱形 +2c/3 +c/3 a b c 正定向 a = b≠c,  =  = 90o,  = 120o +c/3 +2c/3 a b c 反定向 ±(2/3, 1/3, 1/3) ±(1/3, 2/3, 1/3) R单胞只有P格子 R单胞有心化 面心 体心 不同轴长和轴间角

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