数学竞赛 方程整数解 方 法 策 略

一、不定方程的整数解 一般地，不定方程有无数组解。但是，若加上限制条件如整数等，就可以求出确定的解。

1.因式分解法 例1.求方程 的整数解。

1.因式分解法 例1.求方程 的整数解。 ， ， 分析： ， ， ， 故原方程的整数解由下列方程组确定： ， ，

2.字母分离法 例2.求方程 的正整数解。

2.字母分离法 的正整数解。 例2.求方程 分析： ，所以x=3，进一步求得y=1 由18-5x>0得0<x<

3.选取主元法 例3.求方程 的所有整数解。

3.选取主元法 例3.求方程 的所有整数解。 分析： 以x为主元，将方程整理为 ， ，

3.选取主元法 例3.求方程 的所有整数解。 分析： 以x为主元，将方程整理为 因x是整数，则 ， ，

3.选取主元法 例3.求方程 的所有整数解。 分析： 以x为主元，将方程整理为 因x是整数，则 解得 所以整数y=0，1，2，3，4，5.

3.选取主元法 例3.求方程 的所有整数解。 分析： 以x为主元，将方程整理为 因x是整数，则 解得 所以整数y=0，1，2，3，4，5. 进一步求得只有两组解：

4.转化法 例4.求方程 的正整数解。 ， ，

4.转化法 例4.求方程 的正整数解。 分析：化简得 ， ， ， ，

4.转化法 例4.求方程 的正整数解。 分析：化简得 因为x，y都是正整数，所以可设 ， ， 因此原方程变形为 ， ，

4.转化法 例4.求方程 的正整数解。 分析：化简得 因为x，y都是正整数，所以可设 ， ， 因此原方程变形为 ， ， 解得

4.转化法 例4.求方程 的正整数解。 分析：化简得 因为x，y都是正整数，所以可设 ， ， 因此原方程变形为 ， ， 解得 进一步求得

二、含参数的二次方程的整数解 这类问题涵盖了一元二次方程的相关理论，整数的性质，融合了丰富的数学思想方法，备受命题者的青睐。

（一）从判别式入手 当Δ=m2时，直接求方程的解 例1. 已知方程 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。 ，

（一）从判别式入手 当Δ=m2时，直接求方程的解 例1. 已知方程 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。 分析： ，

（一）从判别式入手 当Δ=m2时，直接求方程的解 例1. 已知方程 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。 分析： ，故 ，

（一）从判别式入手 当Δ=m2时，直接求方程的解 例1. 已知方程 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。 分析： ，故 ，

（一）从判别式入手 当Δ=m2时，直接求方程的解 例1. 已知方程 （其中a为非负整数）至少有一个整数根，求a的值。 分析： ，故

2.当Δ≠m2时，分两种情况 （1）利用参数的范围，直接求解。 例2. 设m是整数，且4<m<40，方程

2.当Δ≠m2时，分两种情况 （1）利用参数的范围，直接求解。 例2. 设m是整数，且4<m<40，方程 分析：

2.当Δ≠m2时，分两种情况 （1）利用参数的范围，直接求解。 例2. 设m是整数，且4<m<40，方程 分析： 为完全平方数，故2m+1也为完全平方数，

2.当Δ≠m2时，分两种情况 （1）利用参数的范围，直接求解。 例2. 设m是整数，且4<m<40，方程 分析： 为完全平方数，故2m+1也为完全平方数，因为m是整数，且4<m<40，所以9<2m+1<81，

2.当Δ≠m2时，分两种情况 （1）利用参数的范围，直接求解。 例2. 设m是整数，且4<m<40，方程 分析： 为完全平方数，故2m+1也为完全平方数，因为m是整数，且4<m<40，所以9<2m+1<81，即2m+1=25或49，所以m=12或24.

（2）用Δ≥0，求出参数的范围 例3. 已知方程 的根都是整数，求整数k的值及方程的根。

（2）用Δ≥0，求出参数的范围 例3. 已知方程 的根都是整数，求整数k的值及方程的根。 分析： ，解得

（2）用Δ≥0，求出参数的范围 例3. 已知方程 的根都是整数，求整数k的值及方程的根。 分析： ，解得 所以

（2）用Δ≥0，求出参数的范围 例3. 已知方程 的根都是整数，求整数k的值及方程的根。 分析： ，解得 所以 . 当k=-1时，x=1；

（2）用Δ≥0，求出参数的范围 例3. 已知方程 的根都是整数，求整数k的值及方程的根。 分析： ，解得 所以 例3. 已知方程 的根都是整数，求整数k的值及方程的根。 分析： ，解得 所以 . 当k=-1时，x=1；当k=0时，x=1或3；

当k=-1时，x=1；当k=0时，x=1或3；当k=1时，整数根x不存在；当k=2时，x=1或4；当k=3时，x=3. （2）用Δ≥0，求出参数的范围 例3. 已知方程 的根都是整数，求整数k的值及方程的根。 分析： ，解得 所以 . 当k=-1时，x=1；当k=0时，x=1或3；当k=1时，整数根x不存在；当k=2时，x=1或4；当k=3时，x=3.

（3）设Δ=k2 例4. 当x为何有理数时，代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积？

例4. 当x为何有理数时，代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积？ 分析：设两个连续正偶数为k，k+2，则

例4. 当x为何有理数时，代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积？ 分析：设两个连续正偶数为k，k+2，则

例4. 当x为何有理数时，代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积？ 分析：设两个连续正偶数为k，k+2，则 即

例4. 当x为何有理数时，代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积？ 分析：设两个连续正偶数为k，k+2，则 即

例4. 当x为何有理数时，代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积？ 分析：设两个连续正偶数为k，k+2，则 即

例4. 当x为何有理数时，代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积？ 分析：设两个连续正偶数为k，k+2，则 即

例4. 当x为何有理数时，代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积？ 分析：设两个连续正偶数为k，k+2，则 即

例4. 当x为何有理数时，代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积？ 分析：设两个连续正偶数为k，k+2，则 即 解（1）得k=8，于是x=2或 解（2）得k=46，于是x=-17或

（二）从韦达定理入手 1.利用“两根为整数，其和、积必为整数” 例5. 求满足如下条件的整数k，使关于x的二次方程 的根都是整数。 ，

（二）从韦达定理入手 1.利用“两根为整数，其和、积必为整数” 例5. 求满足如下条件的整数k，使关于x的二次方程 的根都是整数。 分析：设方程的两根为x1，x2 ，则 ，

（二）从韦达定理入手 1.利用“两根为整数，其和、积必为整数” 例5. 求满足如下条件的整数k，使关于x的二次方程 的根都是整数。 分析：设方程的两根为x1，x2 ，则 ，

（二）从韦达定理入手 1.利用“两根为整数，其和、积必为整数” 例5. 求满足如下条件的整数k，使关于x的二次方程 的根都是整数。 分析：设方程的两根为x1，x2 ，则 故 ，所以k=0或2 ，

例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数，求a的值。 ；

例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数，求a的值。 分析：设方程的两个质数根为p，q，则 ；

例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数，求a的值。 分析：设方程的两个质数根为p，q，则 两式相加得 ；

例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数，求a的值。 分析：设方程的两个质数根为p，q，则 两式相加得 ；

例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数，求a的值。 分析：设方程的两个质数根为p，q，则 两式相加得 ； 因为p，q均不为2，所以必为奇数，故 均为整数，

例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数，求a的值。 分析：设方程的两个质数根为p，q，则 两式相加得 ； 因为p，q均不为2，所以必为奇数，故 均为整数，

例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数，求a的值。 分析：设方程的两个质数根为p，q，则 两式相加得 ； 因为p，q均不为2，所以必为奇数，故 均为整数， 若 为奇数，

例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数，求a的值。 分析：设方程的两个质数根为p，q，则 两式相加得 ； 因为p，q均不为2，所以必为奇数，故 均为整数， 若 为奇数，则

例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数，求a的值。 分析：设方程的两个质数根为p，q，则 两式相加得 ； 因为p，q均不为2，所以必为奇数，故 均为整数， 若 为奇数，则 从而 为合数，矛盾。

2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数，求a的值。 因此 为偶数，同理 也为偶数，所以 均为整数，

2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数，求a的值。 因此 为偶数，同理 也为偶数，所以 不妨设 ，则 均为整数， 当 时， p=3，q=499，符合题意；当 时， p=19，q=99，q为合数，不合题意。

2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数，求a的值。 因此 为偶数，同理 也为偶数，所以 不妨设 ，则 均为整数， 当 时， p=3，q=499，符合题意；当 时， p=19，q=99，q为合数，不合题意。

2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数，求a的值。 因此 为偶数，同理 也为偶数，所以 不妨设 ，则 均为整数， 当 时， p=3，q=499，符合题意；当 时， p=19，q=99，q为合数，不合题意。

2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数，求a的值。 因此 为偶数，同理 也为偶数，所以 不妨设 ，则 均为整数， 当 时， p=3，q=499，符合题意；当 时， p=19，q=99，q为合数，不合题意。

（三）联想二次函数 例7.已知b，c为整数，方程 的两根都大于-1且小于0，求b和c的值。

（三）联想二次函数 例7.已知b，c为整数，方程 的两根都大于-1且小于0，求b和c的值。 分析：当x=0时， ，有c>0；

（三）联想二次函数 例7.已知b，c为整数，方程 的两根都大于-1且小于0，求b和c的值。 分析：当x=0时， ，有c>0；

（三）联想二次函数 例7.已知b，c为整数，方程 的两根都大于-1且小于0，求b和c的值。 分析：当x=0时， ，有c>0；

（三）联想二次函数 例7.已知b，c为整数，方程 的两根都大于-1且小于0，求b和c的值。 分析：当x=0时， ，有c>0； 又由 得 ；所以 ，c<5

（三）联想二次函数 例7.已知b，c为整数，方程 的两根都大于-1且小于0，求b和c的值。 分析：当x=0时， ，有c>0； 又由 得 ；所以 ，c<5 若c=1，则0<b<6且b2 20，得b=5；

（三）联想二次函数 例7.已知b，c为整数，方程 的两根都大于-1且小于0，求b和c的值。 分析：当x=0时， ，有c>0； 又由 得 ；所以 ，c<5 若c=1，则0<b<6且b2 20，得b=5；若c=2，则0<b<7且b2 40，无整数解；

（三）联想二次函数 例7.已知b，c为整数，方程 的两根都大于-1且小于0，求b和c的值。 分析：当x=0时， ，有c>0； 又由 得 ；所以 ，c<5 若c=1，则0<b<6且b2 20，得b=5；若c=2，则0<b<7且b2 40，无整数解； 若c=3，则0<b<8且b2 60，无整数解；若c=4，则0<b<9且b2 80，无整数解；

（四）变更主元法 例8.试求所有这样的正整数a，使得方程 至少有一个整数解。 ， ，

（四）变更主元法 例8.试求所有这样的正整数a，使得方程 至少有一个整数解。 分析： ， ； ，

（四）变更主元法 例8.试求所有这样的正整数a，使得方程 至少有一个整数解。 分析： ，因为a是正整数，则 ， ； ，

（四）变更主元法 例8.试求所有这样的正整数a，使得方程 至少有一个整数解。 分析： ，因为a是正整数，则 ， ； ， 解得

（四）变更主元法 例8.试求所有这样的正整数a，使得方程 至少有一个整数解。 分析： ，因为a是正整数，则 解得 故 ； ， 解得 故 进一步求得a=1，3，6，10

（五）数形结合 的最大整数根为 例9.以关于m的方程 直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 求 的值。 .

直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 的值。 求 分析：设设方程的两个质数根为m1，m2，则 ，

直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 的值。 求 分析：设设方程的两个质数根为m1，m2，则 消去k得 ，整理得 ， . ，

直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 的值。 求 分析：设设方程的两个质数根为m1，m2，则 消去k得 ，整理得 ， . 因为⊙O的直径是方程的最大整数根，所以m的最大值为4， ，

直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 的值。 求 分析：设设方程的两个质数根为m1，m2，则 消去k得 ，整理得 ， . 因为⊙O的直径是方程的最大整数根，所以m的最大值为4， ， 设PA=x，PB=y，BC=z，则x、y、z都是正整数，

直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 的值。 求 分析：设设方程的两个质数根为m1，m2，则 消去k得 ，整理得 ， . 因为⊙O的直径是方程的最大整数根，所以m的最大值为4， ， 设PA=x，PB=y，BC=z，则x、y、z都是正整数，故z=BC 故z=3，2，1.

直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 的值。 求 分析：设设方程的两个质数根为m1，m2，则 消去k得 ，整理得 ， . 因为⊙O的直径是方程的最大整数根，所以m的最大值为4， ， 设PA=x，PB=y，BC=z，则x、y、z都是正整数，故z=BC 故z=3，2，1. 当z=3时，

直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 的值。 求 分析：设设方程的两个质数根为m1，m2，则 消去k得 ，整理得 ， . 因为⊙O的直径是方程的最大整数根，所以m的最大值为4， ， 设PA=x，PB=y，BC=z，则x、y、z都是正整数，故z=BC 故z=3，2，1. 当z=3时， ，所以

直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 的值。 求 分析：设设方程的两个质数根为m1，m2，则 消去k得 ，整理得 ， . 因为⊙O的直径是方程的最大整数根，所以m的最大值为4， ， 设PA=x，PB=y，BC=z，则x、y、z都是正整数，故z=BC 故z=3，2，1. 当z=3时， ，所以 可得适合题意的解为

直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O， P为⊙O外一点，过P作切线PA和割线PBC，如图，A为切点，这时发现PA、PB、PC都是整数，且PB、BC都不是合数， 的值。 求 分析：设设方程的两个质数根为m1，m2，则 消去k得 ，整理得 ， . 因为⊙O的直径是方程的最大整数根，所以m的最大值为4， ， 设PA=x，PB=y，BC=z，则x、y、z都是正整数，故z=BC 故z=3，2，1. 当z=3时， ，所以 可得适合题意的解为 当z=1和z=2时，不合题意。 所以

(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a.

(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a. 分析：（1）当a=-1时，-2x-2-6=0，此时x=-4 ， ，

(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a. 分析：（1）当a=-1时，-2x-2-6=0，此时x=-4

(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a. 分析：（1）当a=-1时，-2x-2-6=0，此时x=-4

(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a. 分析：（1）当a=-1时，-2x-2-6=0，此时x=-4

(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a. 分析：（1）当a=-1时，-2x-2-6=0，此时x=-4

(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a. 分析：（1）当a=-1时，-2x-2-6=0，此时x=-4

(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a. 分析：（1）当a=-1时，-2x-2-6=0，此时x=-4