第十三章 振动作业 基础训练：4、8； 自测提高：2、3、6、7； 二. 填空题 基础训练：9、10、12、15、16 三. 计算题 第十三章 振动作业 一.  选择题        基础训练：4、8；       自测提高：2、3、6、7； 二.  填空题        基础训练：9、10、12、15、16       三.  计算题        基础训练：20； 自测提高：18       ‍

一、 简谐振动的定义 1 弹簧振子的振动 2 简谐振动的定义 3 例题分析

1 、 弹簧振子的振动 （1） 弹簧振子——理想模型 （2） 弹簧振子的振动特征

——动力学方程 解此二阶常系数线性微分方程可得 ——运动方程 振幅 圆频率 初相位

2 、简谐振动的定义 一个物体作机械振动时，若描述运动物体状态的物理量x 满足微分方程 则该物体所作的运动就是简谐振动.

3 、例题分析 例1.试证明摆长为l 单摆在小幅摆动时的运动是简谐振动. 书-下P10 解. 当 很小时有

令 所以单摆在小幅摆动时的运动是简谐振动.

二、 简谐振动的规律 1 简谐振动的运动学描述 2 描述简谐振动的三要素 3 简谐振动的能量 4 简谐振动的旋转矢量表示 5 例题分析

1 、 简谐振动的运动学描述 运动学方程 x-t 曲线称之为振动曲线.

是时间的周期函数，而且加速度和位移成正比但方向相反. 振动速度 “速度幅 ” 速度位相比位移相位超前/2。 振动的加速度 幅值 是时间的周期函数，而且加速度和位移成正比但方向相反.

谐振动的位移、速度及加速度曲线 x t o a x a T

2 、 描述简谐振动的三要素 （1）振幅A 物体离开平衡位置的最大距离. （2）周期T 完成一次全振动所需的时间. 频率 表示单位时间内物体完成全振动的次数. 它是周期的倒数.

角频率 （3）相位 确定振动系统在任意瞬时运动状态的物理量（任意瞬时的位移和速度）. 当 时的相位 称为初相位. 振幅A圆频率 初相位 简称简谐振动的三要素.

对弹簧振子有： 怎样用初始条件求振幅和初相位 上式不能唯一确定 需要 或 协助确定

3 、简谐振动的能量 水平弹簧振子

t Ek t Ep E

结论： （1） 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。 （2） 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。 （3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）

4 、 简谐振动的旋转矢量表示

投影点 的运动为简谐振动. 矢量 以角速度 沿逆时针旋转,当 时它与 轴的夹角为 ，则在任意刻 ，矢量 端点在 轴上的投影为 位移. 矢量 以角速度 沿逆时针旋转,当 时它与 轴的夹角为 ，则在任意刻 ，矢量 端点在 轴上的投影为 位移. 投影点 的运动为简谐振动. 旋转矢量 的模 简谐振动的振幅 旋转矢量 转动角速度 简谐振动圆频率 旋转矢量A旋转一周， 点完成一次全振动

5 、 例题分析 例1.一个质量为m 的物体系于一倔强系数为 k 的轻弹簧下，挂在固定的支架上，由于物体的重量使弹簧伸长了l =9.810-2m. 如图所示，如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有向下的速度 =1ms-1，它就上下振动起来，试写出振动方程. 解 物体处于平衡时的位置为坐标原点o，向下为y 轴的正向，如图所示当物体偏离平衡位置时它所受的合力为-ky ，因此动力学方程为

则上式变为 物体在作简谐振动，只要求出三要素，即可写出振动方程.

以物体处于平衡位置且向下运动时为计时起点，则y0=0 ， = 1ms-1， 于是有 于是可该物体的振动方程为

例2. 质量为m =0. 1kg的物体，以振幅A =0. 01m作简谐振动，其最大加速度为amax=4 例2.质量为m =0.1kg的物体，以振幅A =0.01m作简谐振动，其最大加速度为amax=4.0ms-2 ，求： （1）振动的周期； （2）通过平衡位置时的动能； （3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？ 解（1）

（2）因通过平衡位置时的速度最大，所以 （3）总能量 （4）当 时，

例3.一个作简谐振动的弹簧振子历时四分之一周期，先后通过相对于平衡位置为对称的B,C 两点，设简谐振动的振幅为A，试确定B,C 两点的位置. 解 B,C 两点对称, 所以

三、 简谐振动的合成 1 同方向同频率的 简谐振动的合成 2 相互垂直的两个 简谐振动的合成 3 例题分析

1 、 同方向同频率的简谐振动的合成 设一个质点同时参与在同一直线上进行的两个独立的同频率的简谐振动. 这一直线为x 轴, 设两个简谐振动的运动方程分别为 在任意时刻该质点的位移为 其中A 和 可由旋转矢量图得到

（1）当 时， 振动加强. （2）当 时， 振动减弱.

2 、 相互垂直的两个简谐振动的合成 设一个质点同时参与两个方向互相垂直的同频率的简谐振动，其分振的运动方程为 消去时间t ，得出质点的轨迹方程为

一般的说这是一个椭圆方程，椭圆的具体形状由相位差 决定，下面选择几个特殊的相位差进行讨论.

（1）相位差 ，轨迹方程为 在任意时刻质点离开原点的距离为 （2）相位差 ，轨迹方程为

（3）相位差 ，轨迹方程为 （4）相位差 ， 轨迹方程为

在一般情况下，即相位差不是上述特殊值时质点的轨迹是椭圆，但椭圆的长轴和短轴不再与分振动的振动方向重合. 如果两个相互垂直的分振动的频率不相同，但频率之比成整数比，则合运动的轨迹是规则的稳定闭合曲线，称为李萨如图形，如下页图所示.

李萨如图形 1：2 1：3 2：3

李萨如图形可用来测量频率 x 轴 y 轴 = 43 1 2 3 4 1 2 3

3 、 例题分析 例1.一个质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，它们的振动方程分别为 试用旋转矢量求出合振动方程.

解 根据振动方程画出它们的旋转矢量图如下图所示. 因此合振动方程为

四、同方向，不同频率两谐振动的合成 拍 设两同方向，角频率分别为 和 的两简谐振动（ > ）。它们所对应的旋转矢量分别为 和 四、同方向，不同频率两谐振动的合成 拍 设两同方向，角频率分别为 和 的两简谐振动（ > ）。它们所对应的旋转矢量分别为 和 相对于 的转动角速度: 两矢量同向重合时： 合振动振幅 极大 两矢量反向重合时： 合振动振幅 极小 拍：合振动的振幅时强时弱的现象

一种特殊情况——拍现象 拍频：

同方向,不同频率合成波形如图所示: