數學報告 π的傳奇 麗澤中學

π是希臘字母中的第十六個，也代表圓周率。 π=圓周÷直徑 1706年，英國人瓊斯(William Jones)首次創用π代表圓周率，原來π是希臘文πειφερεια(圓周)的字頭。

圓周率的起源

最早應用圓周率的記載，是在公元前1650年埃及人寫的『賴因德古本』(Rhind Papyrus)。 『取圓直徑的九分之八，做為正方形的邊長，就可得到和圓等面積的正方形…』。根據這推算，π=3.141592。不過有歷史學家認為，埃及人根本不知道π是常數。

π = 3 ??!! 舊約聖經【列王紀】第七章23段，說到所羅門王建造宮殿，『鑄了一個銅海，樣式是圓的，高五肘，徑十肘，圍三十肘』。 π = 3 ??!! 舊約聖經【列王紀】第七章23段，說到所羅門王建造宮殿，『鑄了一個銅海，樣式是圓的，高五肘，徑十肘，圍三十肘』。 【九章算經】第一章方田31題：『今有圓田，周三十步，徑十步。問為田幾何？』 【周髀算經】：『圓徑一而周三』 在古代世界，各地都長期使用π=3這數值。

怎樣計算圓周率 ?

阿基米德 劉徽

阿基米德的計算 公元前三世紀，阿基米德發表了計算圓周率的書籍《圓的度量》 他利用計算圓內接六邊形及外接六邊形，計算圓周率的上下限 然後增加邊的數目，最後通過96邊形計出    

劉徽的割圓術 劉徽 劉徽的身世生平是個謎，只知他大約是公元3世紀三國時代 的人 在『九章算經注』中他創立了求圓周率準確值的「割圓術」。 最後，他計算至n=96，得出π= = 3.14

S2n = 設AC為圓O內接正n邊形的一邊，B是弧AC的中點，則BC是內接正2n邊形的一邊， 其中Sn是正n邊形的邊長 因此， DB = OB  OD = 得 S2n =

劉徽的割圓術 割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體，而無所失矣！

祖沖之(429-500) 南北朝時期官員 博學多才的數學家、天文學家 著『綴書』，創『大明曆』

祖沖之父子用割圓術計算π，計至24576邊形。 那時仍未有算盤，只能用『算籌』計算。 他們計算出 密率= 約率= 。 這結果在一千多年後才有歐洲人計出。

【隋書】：祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽…… 3.1415926<π<3.1415127

破紀錄的人 直至十六世紀，法國律師韋達(Francois Viete)利用393216邊形，計算出π精確到十個小數位3.145926536。 最後一個用這方法計圓周率的是德國人科倫(Ludolf van Ceulen)，他的多邊形邊數已超過三百二十億(60×229)。 他用了幾十年時間，在1610年計算出35個小數位的π。 因此德國人稱圓周率為魯道夫數(Rudolfian number)

微積分 突破

格雷果理級數 栝雷果理(1638-1675)，是蘇格蘭天才數學家，享年只有三十六歲。 他是微積分的先驅之一。 格雷果理級數就是根據積分式 導引出來的。

這級數式其實是經過箂布尼茲(Leibniz)的修正才完成，而箂布尼茲就是微積分的開山祖師之一。 格雷果里級數雖然很簡潔，但收歛性較差。要算到三百項，才能求出π的第二個小數位。 中國晚清數學家曾紀鴻（曾國藩之子）曾運用格雷果里級數，計數π的一百個小數位。

百花齊放 十八世紀，數學家研究出許多計算π的無窮級數。 牛頓的公式： 歐拉的公式：

這些公式的出現，使計算π的準確值進展得很快。 歐拉花了一小時就計算出19個小數位。 但同時，歐拉的美妙公式 eiπ+1=0 証明了π不但是無理數，而且是超越數。 X是超越數如果沒有任何公式 axm+bxn+cxr+……=0 可以成立。

驚人的計算 利用以往數學家的方法，1853年，英國的尚克斯(William Shanks)計算出π的607位小數，打破一切紀錄。 二十年後，1873年，尚克斯再計算至707位小數位。 可是他原來在第528位開始計錯了，在七十二年之後才有人發現。 這是血肉之軀計算π值的最後故事了。

電腦時代

電腦年代 1945年，英國教師弗格森(D.F.Ferguson)花了一年時間，用紙筆證明了七十二年前尚克斯的錯誤。 1947年，他借助早期的計算機，計算出有808位的π，但也花了好幾個月。 隨著電子計算機的出現，10年後，有一部IBM電腦只花四十秒便計算出弗格森和尚克斯的結果。

『對電腦而言，最大的挑戰就是計算圓周率－它就像電腦的心電圖』 1948年，美國製的電腦ENIAC花了七十小時，計算出有2037位小數的π。 1973年，已經計出π的第一百萬個小數位。 這樣下去，有意義嗎？還有研究π的數學家嗎？

拉瑪奴江(Ramanujan) 1887年生於印度一個貧窮的小鎮。 他沒有進過大學，讀過的數學書也不多，全憑自己研究和發現。 1913年英國數學家哈地(G.H.Hardy)認為他是罕有天才，便幫他到英國去做研究。 他身體甚差，33歲便死於肺病。

拉瑪奴江在筆記本上留下了無數定理和公式，其中有許多是其他所有數學家都不明白的。 拉瑪奴江留下這條公式 這公式收斂式佳，為π值的計算創出一片嶄新的局面。 但在他死後六十多年，才有人懂得使用。

最新紀錄 『計算π就像探索宇宙』 他們利用在自己家中砌成的超級電腦， 1989年計算出四億八千萬個位數； 1996年計算出80億個位數。 楚諾維斯基兄弟(Gregory & David Chudnovsky) 『計算π就像探索宇宙』 他們利用在自己家中砌成的超級電腦， 1989年計算出四億八千萬個位數； 1996年計算出80億個位數。

最新紀錄 1988年利用Hitachi S-820，在六小時內計算出二億多個位。 1995年計算出60億個位 日本東京大學的安正金田 1988年利用Hitachi S-820，在六小時內計算出二億多個位。 1995年計算出60億個位 1997年利用Hitachi SR2201，花了29小時，計算出515億個位數 1999年計算至2062億個位。

再見！

組員名單 張河健 2A(4) 何卓恆 2A(8) 關思俊 2A(10) 蘇伯勤 2A(28) 黃惠權 2A(38)