一元二次不等式的解法

一元一次函数 它们之间有怎样的联系？ 一元一次方程 一元一次不等式

请同学们解决如下问题： （1）解方程2x－7=0 （2）作出函数 y=2x－7的图像 （3）解不等式2x－7>0

考察：对一次函数y=2x-7，当x为何值时，y=0;当x为何值时，y<0;当x为何值时，y>0？ O y x 3.5

一般的请看下表： “三个一次”的联系

a>0 a<0 一元一次函数y=ax+b的图像 y y o x o x 一元一次方程ax+b=0的解 ● o ● x

思考： 类似地，我们能不能将一元二次不等式的求解与一元二次函数以及一元二次方程联系起来找到其求解方法呢？

思考：对二次函数 y=x2-x-6，当x为何值时，y=0？当x为何值时，y<0？ 当x为何值时，y>0 ? o x y 当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x2x6=0 -2 3 当2<x<3 时, y<0 即 x2x6<0 当 x<2 或 x>3 时, y>0 即 x2x6>0 结合函数图象进行思考

可不可以利用二次函数图象解一元二次不等式？ 思考： 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间存在怎样的联系 y x o 可不可以利用二次函数图象解一元二次不等式？

x2-x-6<0 的解集是 {x|-2<x<3}, O y x 3 -2 则抛物线y=x2-x-6与 x轴的交点就是 (-2，0)与(3，0), 看在X轴上方的图象 看在X轴下方的图象 一元二次不等式 x2-x-6<0 的解集是 {x|-2<x<3}, x2-x-6>0 的解集是 {x|x<-2或x>3}.

例1 解不等式x2-6x-7>0 作函数图象的草图 解：方程x2-6x-7=0的根是 由y=x2-6x-7的图像得原不等式的解集是 o x y 作函数图象的草图 由y=x2-6x-7的图像得原不等式的解集是 {x | x<-1 或 x > 7 } -1 7

例2：解不等式 -x2-x+20<0

由y=X2+X-20的图像 得原不等式的解集是 解：整理得X2+X-20>0 o 4 -5 由y=X2+X-20的图像 得原不等式的解集是 (-∞,-5)∪(4, +∞)。

练习解不等式 3x2-7x+2<0

解：因为△ =(-7)2-4×3 ×2=25>0,方程3x2-7x+2=0有两个不等的实根 所以不等式的解集是 （ ,2）。

例3解不等式 4x2-4x+1>0

解：因为△ =(-4)2-4×4 ×1=0,方程4x2-4x+1=0有两个相等的实根 　　　　　　 x1=x2=　。 所以不等式的解集是　　　　　　　

练习解不等式 -x2+2x-3>0

解:整理得x2-2x+3<0 　　 因为△ =(-2)2-4×1 ×3=-8 <0,方程x2-2x+3=0 无实根。 　　 所以原不等式的解集是 。

2.根据“△”的情况，解出对应的一元二次方程； 3.根据一元二次方程的根，结合不等号的方向及二次函数的图象，写出不等式的解集。 一元二次不等式的解法步骤： 1.先把二次项系数化为正数； 2.根据“△”的情况，解出对应的一元二次方程； 3.根据一元二次方程的根，结合不等号的方向及二次函数的图象，写出不等式的解集。 2.根据“△”的情况，解出对应的一元二次方程； 1.先把二次项系数化为正数; 3.根据一元二次方程的根，结合不等号的方向及二次函数的图象，写出不等式的解集。

① 将二次不等式化成一般形式：ax2+bx+c>0 (最好化为a>0的形式) 小结:解一元二次不等式的步骤： ① 将二次不等式化成一般形式：ax2+bx+c>0 (最好化为a>0的形式) ② 求△若△>0或△=0则要求出方程 ax2+bx+c=0的两根; 有时△=0不需要求出方程根 ③ 画出y=ax2+bx+c的图象(草图) ④ 根据图象结合不等号的方向（注意有无等号？）写出不等式 的解集.

所以，不等式的解集是 {x | x< - 或 x > 7 } 巩固练习1 解不等式 解： 方程 的解是 -0.5 2 所以，不等式的解集是 {x | x< - 或 x > 7 }

练习 解下列不等式： 1、 2、 3、

小结： 思考 对于ax2+bx+c>0中 △=0或△<0的 情况，求出函数y=ax2+bx+c与x轴的交点, 如何按 图象写出不等式的解集？

一般的请看下表： “三个二次”的联系 以y=ax2+bx+c（a>0）为例 注意大前提：a>0

没有实根 R Φ Φ 判别式 △=b2-4ac ax2+bx+c=0 (a>0)的根 {x|x1<x<x2} y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 △>0 △=0 △<0 y x O x1 x1 x2 x y O y x O 有两相异实根 x1,x2 (x1<x2) 有两相等实根 x1=x2= 没有实根 R {x|x<x1,或x>x2} {x|x≠ } {x|x1<x<x2} Φ Φ

这张表是我们今后求解一元二次不等式的主要工具，必须熟练掌握，其关键是抓住相应的二次函数的图像。 记忆口诀： 大于0取两边， 小于0取中间.

再次强调注意公式口诀的大前提： a>0

① 将二次不等式化成一般形式：ax2+bx+c>0 (最好化为a>0的形式) 小结:解一元二次不等式的步骤： ① 将二次不等式化成一般形式：ax2+bx+c>0 (最好化为a>0的形式) ② 求△若△>0或△=0则要求出方程 ax2+bx+c=0的两根; 有时△=0不需要求出方程根 ③ 画出y=ax2+bx+c的图象(草图) ④ 根据图象结合不等号的方向（注意有无等号？）写出不等式 的解集.

练习1： 1）解不等式 2）已知 的解集为 ，求m、n的值. 小结：用韦达定理确定根与系数的关系。

练2 集合A=｛x︱x2-3x-10≤0,x∈Z｝, B=｛x︱2x2-x-6﹤0,x ∈Z ｝ 则A∩B的子集的个数为 .

练3 已知 有意义， 则x的取值范围是 。