大型谱仪上的带电径迹寻找与重建 郑阳恒 中国科学院大学

加速器中的束团（bunch）对撞 正负电子束团横截面上的粒子分布通常可以近似为高斯分布 电子经典半径：10-15m = 10-6nm BESIII束团大小: 380 * 5.7 * 15000 m (x y z) 5.7 m 380 m 15000 m 储存环中通常有多个束团(~100) 束团间隔为几个至几十ns

对撞点(Interaction Point) 简称：IP 通常对撞应该发生在探测器的原点（0,0,0） 但是束团的大小决定对撞发生的实际位置 Event by event IP Run by run IP 实际对撞位置最后由实验数据来推定

典型的对撞事例（event） 正负电子对撞 质子反质子对撞 A event: the smallest data analysis unit

探测器刻度与事例重建 原始数据记录的是ADC和TDC计数，事例重建就是把这些计数“变成”粒子的能量，动量，质量，位置等物理量 事例完全重建之前，这些计数首先要转换成能量，位置和时间等物理量，转换方式与探测器相关 每个探测器都需要进行刻度，刻度常数通常存储在数据库，并随时可能更新 各个探测器的刻度完成之后，才可以进行完整事例的重建

带电粒子的事例重建 Hit wire ID TDC(时间) B(磁场) 径迹 空间位置 动量 电荷 Event Rec. XY = 130 m P/P = 0.5 %(1 GeV) dE/dx = 6-7 % Tracking & fit kalman fit Event –Test dE/dx PID

快重建（Fast tracking） 长寿命带电径迹的快速重建 量能器的快速重建 快速循迹Segment Finding 粒子动量重建lookup table，快速拟合 量能器的快速重建 Cluster的快速寻找 Cluster的能量ADC读出

带电粒子在磁场B中的运动 B || z Maxwell’s equations, Lorentz force: F =qV×B Charged particle moving in uniform magnetic field (BX = BY = 0, Bz=C) : 3+2=5 independent parameters in total Circle in r-φ(X-Y) plane (3 degree-of-freedom) Straight line in r-Z plane (2 degree-of-freedom) A reference point (3 degree-of-freedom) for track origin

径迹参数（helix） Describing a track: 5 parameters for a helix, 3 parameters for a reference point 2个表示在x-y平面(dr)和z向距离(dz),离参考点（一般取对撞中心）最近的位置 1个与xy平面偏转半径相关的参数(k)，1个用来表示在xy平面的方位角(f0)，1个表示z向投影（直线）的斜率(l) 各个实验选取螺旋线参数的具体形式不完全相同

Helix parameters → Physics quantities 其中 粒子在做螺旋线运动时，其径迹参数的变化用偏转角来变换。也有使用粒子在xy平面走过的弧长来描述的。 Physics quantities  Helix parameters

Methods of track finding Local methods：从几个测量点开始，确定径迹的初始参数，由此可以预期下一个击中点的位置，并与测量值进行比较。 Track following Track roads method Track elements Kalman filter method Global methods：所有的测量点用相同的算法处理，生成一个个径迹击中点列表集合，或者生成一个“中间表”使得下一步的寻迹更容易实现。 Template matching Histogram method (Hough transformation) Neural Net (NN) method 在对撞实验中,径迹在x-y平面内是一段圆弧 通常采用局域和全局相结合的寻迹方法 Data Analysis Techniques for High-Energy Physics (Second Edition) R. Fruhwirth, M. Regler

Conformal transformation 过原点的圆弧变换为直线，直线的截距与圆的半径成反比 不过原点的圆弧（截距通常都很小）则变为曲率较小的圆，这个圆可以用抛物线来近似 圆周拟合就变成了一个快速、线性的抛物线拟合。

Hough transformation Line-point coupling a point → a line a line → a point all points in a line → lines with common intersection point However, for the vertical line: x=a, k0=∞

Hough transformation II Line-point coupling a point → a sin curve all points in a line → a sin curve with common intersection point

直方图方法 特点：速度快，多用于在线的事例筛选 应用例子：BESIII 事例过滤算法中的快速径迹重建 Hough transformation 特点：速度快，多用于在线的事例筛选 应用例子：BESIII 事例过滤算法中的快速径迹重建

Kalman Filter method 与径迹内推法类似 开始的几个点确定径迹初始参数,然后逐层内推(考虑各种物质效应),匹配相应的击中点 如果可能有多个匹配时,如右图中标示的1, 2和3,则比较Dc2 一条径迹完成之后,把它包含的击中点从列表中删除

径迹重建介绍 Finding charged tracks Measurement of positions → group of disjoint sets → tracks Reject noisy / “bad” points (residues, c2) track finding track fitting Reconstructed tracks Detector hits

径迹拟合介绍 对于大部分实验来说，径迹拟合方法必须精确和快速 选择拟合方法，基本上由物理和分析的实际过程决定 径迹拟合方法原则上可以分为两大类 近似 (Approximate)，速度快 (fast) 精确 (Precise)，速度慢(slow) 对于对撞实验的径迹测量，分为对2维和3维数据的拟合，具体地 2D Circle fitting (2维圆周曲线拟合,一般属于近似与快速的拟合方法) 3D Helix fitting (3维螺旋线拟合) 主要拟合方法有如下两种： Global least-square method (最小二乘法拟合) Kalman filter method

径迹拟合过程中要考虑的因素 磁场问题 径迹模型 误差模型 均匀磁场或强度变化的磁场 求解径迹的运动方程 直接解析求解,或者数字方法求解 测量误差 径迹传输过程中物质效应引起的不确定性

磁场 要求:快速计算 查表:内插法 多项式近似 常数磁场+修正项 寻迹算法中通常近似使用均匀磁场

误差模型 测量误差 传输误差 漂移距离测量的误差,一个或者多个高斯误差来处理 多次散射:近似按照高斯型误差处理 轫致辐射:近似按照一个或者多个高斯型混合处理 电离能损:取平均电离损失,近似按照一个或者多个高斯型混合处理

Helix fitting: Least-Square method 实验测量 理论计算 漂移距离计算示意图 不考虑物质效应 从寻迹过程得到的径迹参数为初值 计算理论漂移距离及其对径迹参数的Jacobian 多次迭代,拟合过程中考虑丢点 考虑到磁场不均匀性，采用分段螺旋线拟合

Kalman Filter介绍 1960年,匈牙利数学家Kalman发表了著名的,利用递归方法,解决离散数据线性滤波的论文 1987年,Frühwirth把Kalman filter方法引入粒子物理实验中来 Kalman filter由一系列递归数学公式描述 高效的可计算的方法来估计过程的状态,可以估计信号的过去和当前的状态,甚至能估计将来的状态,即使不知道模型的确切性质 应用广泛,功能强大.可用于粒子物理实验中的参数的优化估计,如径迹重建,顶点重建和运动学拟合等领域

Kalman Filter 被估计的信号: State Vector Prediction Filtering Smoothing

一些基本的概念与标识 State Vector Error Matrix State Vector Example True Vector 5 helix parameters Predicted Vector 5 predicted helix parameters Measured Vector Drift distance ddrift Updated Vector 5 updated helix parameters Smoothed Vector 5 smoothed helix parameters

Equation for state vector 系统传输方程:把上一时刻的状态量影射到当前时刻的状态量 Fk-1:传输矩阵, hk-1:随机的传输误差 测量方程:描述观测量与状态矢量的关系 Hk:状态矢量xk对测量量mk的增益矩阵 (for track fitting, see page 22) ek:测量误差

Prediction 对将来时刻的状态矢量的估计 状态矢量的外延: 误差矩阵的传递: 外延的状态矢量及其误差矩阵只是一种”中间”变量

Filtering 矩阵求逆: 状态矢量维数 Kk:Kalman 增益矩阵 矩阵求逆: 观测量维数 状态矢量通常不能直接观测,通过测量模型与观测量联接 把预言的状态矢量与当前的”测量”量进行比较,从而更新当前的状态矢量 矩阵求逆: 状态矢量维数 矩阵求逆: 观测量维数 Kk:Kalman 增益矩阵

Smoothing 常用光滑后的c2来检验拟合的优度 利用所有测量的结果(最后一步),回推到以前的测量,并对各步的状态矢量进行更新 过滤与光滑相结合,可以有效地实现双向预测,并探测”坏点” 增益矩阵Ak-1 状态矢量的逼真化 过滤比预言更真实 光滑比过滤更真实 常用光滑后的c2来检验拟合的优度

Backward Kalman Filter 反向Kalman Filter又称为”负权重” Filter, Vk-Vk 剔除某一测量点后,状态矢量的更新

Kalman Filter extention 实际情况下,传输方程和测量响应方程一般都是状态矢量的非线性函数. 对状态矢量的传输方程和测量响应方程做线性的泰勒展开,称为”扩展的” Kalman Filter 测量响应方程 传输方程 应用扩展的Kalman Filter方法,一般需要迭代

Track fitting:Kalman Filter method 径迹参数从k-1k 非均匀磁场,物质效应影响 与测量的飘移距离比较 得到更新的径迹参数

Multiple scattering effect 主要是库仑散射的贡献，核作用也有贡献。 多次散射可用莫里埃理论描述，小散射角时近似高斯分布（98%），大角度时有长尾巴。 X0: 辐射长度 经验公式 轻物质的多次散射效应小，“重”粒子的多次散射效应大 多次散射除了影响粒子的运动方向以外，还影响粒子的位置

Multiple scattering effect 在与粒子路径垂直的两个平面内发生散射，包括角度偏移和位置变化。角度和位置偏移之间存在关联 由于多次散射是随机过程,对其处理的原则: 不改变径迹参数 计算多次散射造成的误差矩阵 误差矩阵的详细计算请参看有关文献

Multiple scattering effect 多次散射 某次散射发生后,其后的散射都受上一步的影响 关联的直接后果是误差矩阵非对角元不为0 多次散射步长的计算 不可以平方相加,每步都要按总散射步长计算

dE/dx effect 电离能损平均值 电离能量损失的概率分布： 尾巴较长，数学上用朗道分布近似 电离能损最可几值 d电子 能损的统计涨落：朗道分布 混合和复合物质中的电离能量损失 低能端：1/b2 相对论上升：密度效应 电离能损平均值 电离能量损失的概率分布： 尾巴较长，数学上用朗道分布近似 最小电离粒子(MIP): bg~3.4

Correction for the energy loss 粒子动量修正公式 C是一个与漂移室物质相关的常数 当>0.7时,能损近似为常数;当较低时,能损变化很快 问题可以转化为对一个微分方程的积分,需要利用数字计算方法求解,如龙格—库塔方法.可参看有关文献

Bremsstrahlung effect (轫致辐射) 对电子,尤其是高能电子十分重要 近似公式 既改变径迹参数,也改变误差矩阵

非均匀磁场 动量改变量为: 粒子穿过一段非均匀磁场下区域,其动量方向会发生 变化,变化量与穿越的路径有关: 一般取路径的中点值 做为近似 详细计算利用数字方法,根据磁场的三维分布和 粒子穿行的路径,进行积分

动量分辨的改进 300MeV/c的质子 对撞点处 理想螺旋线 的动量 拟合的动量 ~301MeV/c ~276MeV/c 第一层击中 处的动量 ~280MeV/c 最后一层击中 处的动量 ~276MeV/c 300MeV/c的质子

径迹外推与径迹匹配 得到径迹参数后，根据螺旋线运动方程并考虑到探测器的几何结构和物质效应，把带电径迹在各个探测器中的击中位置和击中方向的信息记录并保存下来。 有些实验还要联合利用径迹探测器和顶点探测器，进一步改善粒子的动量分辨和位置分辨。 其他各个探测器的重建和刻度过程中，要利用这些信息，匹配带电径迹的击中信息。通常的做法是：选取合适的窗口。有些探测器的重建算法中（如muon)，还要利用这些信息，做进一步的外推和径迹拟合。 量能器重建过程中一般不需要带电径迹的击中信息，本身就能重建出簇射的位置信息。待重建完成后，再进行径迹匹配。 最后我们就得到了带电径迹在所有探测器中的响应信息。剩余的响应信息就默认为中性径迹或其他类型的作用信息。 物理分析工作者从磁盘中取得事例数据，看到的是径迹列表，并通过相应的指针来读取径迹在各个探测器中的响应信息。通过粒子鉴别，运动学拟合，以及顶点拟合等分析手段，并根据物理事例的特征，做相应的选择。

径迹外推 把漂移室径迹延伸,外推到外探测器,如TOF, 量能器以及m探测器给出带电径迹在外探测器上的击中位置,击中方向等信息. TOF和m探测器的重建需要这些信息 TOF和量能器 m探测器

事例顶点重建的概念 什么是事例顶点 事例顶点分类 事例顶点重建 粒子的产生和衰变，发生在空间的某一点，即“事例顶点” 初级顶点，即产生顶点 次级顶点，即衰变顶点 事例顶点重建 顶点寻找算法 顶点拟合方法 拟合优度检验

顶点重建 与探测器的几何无关,只与径迹的几何相关 顶点拟合方法 次级顶点寻找依赖于感兴趣的物理过程 竞争关系的处理 多条径迹来自于空间的同一点,一个”径迹团”的模式识别问题 顶点寻找方法有好多种解法 顶点拟合方法 全局的最小二乘方法 Kalman Filter方法 竞争关系的处理 次级顶点拟合 中性粒子衰变 直线(Ks, L) 带电粒子衰变 螺旋线(X±, W±)

事例顶点重建 初级顶点:两个束流粒子的作用点,相对容易 次级顶点:不稳定粒子的衰变点,相对困难 短寿命粒子在进入径迹探测器之前就已经完成衰变 长寿命粒子的衰变顶点相对容易确定 可以大大压缩本底 寻找B0J/y+Ks过程 J/ym+m-, Ksp+p-

问题与困难 径迹顶点之间的对应关系,未知 次级径迹可以非常靠近初级顶点 径迹重建并非”完美” 事例顶点重建流程 尤其衰变长度较短时 顶点寻找 顶点拟合 顶点假设检验 来自初级和次级顶点的径迹

顶点寻找算法 XY平面交点,利用平面几何知识求解(2个) 用Z向信息确定合理解 两条螺旋线的最近距离.用数值方法求解

事例初级顶点重建 卡曼滤波方法 初级顶点(产生顶点) 次级顶点(衰变顶点) 初级顶点位于束流碰撞区域.束流具有一定的空间分布 BEPCII/BESIII: sx=1.6mm, sy=0.16mm, sz=15mm 如果顶点分辨足够好,则可以直接确定束团的大小

顶点拟合结果 检查smoothing的c2,剔除坏点

次级粒子的重建 衰变寿命,产生顶点以及衰变顶点满足的约束方程 中性粒子 带电粒子 螺旋线飞行 直线飞行 计算衰变寿命,衰变长度以及它们的误差

Ks (L)的重建 对衰变长度做要求,可以 大大压低本底, L/sL>2

X 重子的重建 L衰变顶点 由p和p形成 X衰变顶点 由L和p形成 对每个衰变顶点, 应用次级顶点约束方程 级联衰变的重建

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最小二乘法 Suppose we measure N values, y1, ..., yN, assumed to be independent Gaussian random variables with Assume known values of the control variable x1, ..., xN and known variances We want to estimate q, i.e., fit the curve to the data points. The likelihood function is

最小二乘法(2) The log-likelihood function is therefore So maximizing the likelihood is equivalent to minimizing Minimum defines the least squares (LS) estimator Very often measurement errors are ~Gaussian and so ML and LS are essentially the same. Often minimize c2 numerically (e.g. program MINUIT).

相关测量的最小二乘法 Covariance matrix V, If the yi follow a multivariate Gaussian, covariance matrix V, Then maximizing the likelihood is equivalent to minimizing