§5.2 抽样分布 确定统计量的分布——抽样分布，是数理统计的基本问题之一．采用求随机向量的函数的分布的方法可得到抽样分布．由于样本容量一般不止2或 3(甚至还可能是随机的)，故计算往往很复杂，有时还需要特殊技巧或特殊工具． 由于正态总体是最常见的总体，故本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言．
统计中常用分布 (1) 正态分布 若 则 特别地， 若 则
标准正态分布的上分位数z． z • 常用 数字 /2 z/2 • -z/2 -z/2＝z1-/2
(2) 分布 (n为自由度) 相互独立． 定义 设 且都服从标准正态 分布N(0,1)，则 n = 1时，其密度函数为
n=2时，其密度函数为 为参数为1/2的指数分布．
一般地，自由度为n的 的密度函数为
分布密度函数图 5 10 15 20 25 0.1 0.2 0.3 0.4 n=2 n = 3 n = 5 n = 10 n = 15
分布的性质 例如 20.05(10) • n = 10
证明 1．设 相互独立， 则
(3) t分布(Student分布) 定义 设 X，Y 相互独立， 则T 所服从的分布称为自由度为n的T分布其密 度函数为：
n = 1 n=20 t分布的图形(红色的是标准正态分布)
t分布的性质 1．fn(t)是偶函数, 2．T分布的上分位数t与双测分位数t/2有表可查．
n = 10 t -t •
t/2 -t/2 • /2
(4) F分布 定义 设 X，Y 相互独立， 令 则F 所服从的分布称为第一自由度为n，第二自 由度为m的F分布，其密度函数为：
m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15 m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10
F分布的性质 F(n,m) • 例如 但 事实上， 故
例1 证明 证明
抽样分布的某些结论 (1) 一个正态总体 设 总体的样本为 ，则 与 相互独立． (1) (2)
(2) 两个正态总体 设 是来自正态总体 的一个简单随机样本； 是来自正态总体 的一个简单随机样本． 它们相互独立． 令
则 (3) 若 则
设 是来自正态总体 的一个简单随机样本． 是来自正态总体 的 一个简单随机样本，它们相互独立，则
与 相互独立．
(4)
例2 设总体 ，为使样本均值大 于70的概率不小于90%，则样本容量至少为n=42． 解 设样本容量为n，则 故 令 查表得 即 所以取
例3 从正态总体 中，抽取了 n = 20的样本 (1) 求 (2) 求
解 (1) 即 故
(2) 故
例4 设X 与Y 相互独立，X ~ N(0，16)，Y ~ N(0，9)，X1, X2 ,…, X9与Y1，Y2，…，Y16分别是取 所服从的分布． 解
从而
例5 设总体 为总体X 的样本, 试确定常数c 使cY 服从 分布． 解 故 因此
例6 设 是来自正态总体N(， 2) 的简单随机样本， 是样本均值． 则服从自由度为n - 1的t分布的随机变量为：
解 故应选(B) 作业习题五 9，13，14