第六讲 数据处理方法 与多项式

一、 基本统计处理

[Y,I]= max (X)：将max(X)返回矩阵X的各列中的最大元素值及其该元素的位置赋予行向量Y与I；当X为向量时，则Y与I为单变量。 一、 基本统计处理 1、查取最大值 MAX函数的命令格式有： [Y,I]= max (X)：将max(X)返回矩阵X的各列中的最大元素值及其该元素的位置赋予行向量Y与I；当X为向量时，则Y与I为单变量。 [Y,I]=max(X,[],DIM)：按数组X的第DIM维的方向查取其最大的元素值及其该元素的位置赋予向量Y与I。

【例1】查找下面数列x的最大值。 x=[3 5 9 6 1 8] % 产生数列x x = 3 5 9 6 1 8 一、 基本统计处理 【例1】查找下面数列x的最大值。 x=[3 5 9 6 1 8] % 产生数列x x = 3 5 9 6 1 8 y=max(x) % 查出数列x中的最大值赋予y y = 9 [y,l]=max(x) % 查出数列x中的最大值及其该元素的位置赋予y,l l = 3

【例2】分别查找下面3×4的二维数组x中各列和各行元素中的最大值。 一、 基本统计处理 【例2】分别查找下面3×4的二维数组x中各列和各行元素中的最大值。 x=[1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1] % 产生二维数组x x = 1 8 4 2 9 6 2 5 3 6 7 1 y=max(x) % 查出二维数组x中各列元素的最大 值产生赋予行向量y y = 9 8 7 5

一、 基本统计处理 [y,l]=max(x) % 查出二维数组x中各列元素的最大值及其这些 % 元素的行下标赋予y,l 一、 基本统计处理 [y,l]=max(x) % 查出二维数组x中各列元素的最大值及其这些 % 元素的行下标赋予y,l y = 9 8 7 5 l = 2 1 3 2 [y,l]=max(x,[ ],1) % 本命令的执行结果与上面命令完全相同 [y,l]=max(x,[ ],2) % 由于本命令中DIM=2,故查找操作在各行中进行 y = 8 9 7 l = 2 1 3

【例3】试取下面两个2×3的二维数组x、y所有同一位置上的元素值大者构成一个新矩阵p。 一、 基本统计处理 【例3】试取下面两个2×3的二维数组x、y所有同一位置上的元素值大者构成一个新矩阵p。 x=[4 5 6;1 4 8] % 产生二维数组x x = 4 5 6 1 4 8 y=[1 7 5;4 5 7] % 产生二维数组y y = 1 7 5 4 5 7 p=max(x,y) % 在x,y同一位置上的两个元素中查找出最大值 % 赋予与x,y同样大小的二维数组p p = 4 7 6 4 5 8

MIN函数用来查取数据序列的最小值。它的用法与命令格式与MAX函数完全一样，所不同的是执行的结果是最小值。 一、 基本统计处理 2、查取最小值 MIN函数用来查取数据序列的最小值。它的用法与命令格式与MAX函数完全一样，所不同的是执行的结果是最小值。

所谓中值，是指在数据序列中其值的大小恰好在中间。例如，数据序列9,-2,5,7,12的中值为7 。 一、 基本统计处理 3、求中值 所谓中值，是指在数据序列中其值的大小恰好在中间。例如，数据序列9,-2,5,7,12的中值为7 。 如果为偶数个时，则中值等于中间的两项之平均值。

Y=median(X)：将median(X)返回矩阵X各列元素的中值赋予行向量Y。若X为向量，则Y为单变量。 一、 基本统计处理 MEDIAN函数调用的命令格式有： Y=median(X)：将median(X)返回矩阵X各列元素的中值赋予行向量Y。若X为向量，则Y为单变量。 Y=median(X,DIM)：按数组X的第DIM维方向的元素求其中值赋予向量Y。若DIM=1，为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量；若X为一维数组，则Y为单变量。

【例4】试分别求下面数列x1与x2的中值。 x1=[9 -2 5 7 12]; % 奇数个元素 y1=median(x) y1 = 7 一、 基本统计处理 【例4】试分别求下面数列x1与x2的中值。 x1=[9 -2 5 7 12]; % 奇数个元素 y1=median(x) y1 = 7 x2=[9 -2 5 6 7 12]; % 偶数个元素 y2=median(x) y2 = 6.5000

【例5】对下面二维数组x，试从不同维方向求出其中值。 一、 基本统计处理 【例5】对下面二维数组x，试从不同维方向求出其中值。 x=[1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1] % 产生一个二维数组x x = 1 8 4 2 9 6 2 5 3 6 7 1 y0=median(x) % 按列操作 y0 = 3 6 4 2 y1=median(x,1) % 此时DIM=1,故按列操作,结果y1为行向量 y1 = 3 6 4 2 y2=median(x,2) % 此时DIM=2,故按行操作, 结果y2为列向量 y2 = 3.0000 5.5000 4.5000

Y=sum(X)：将sum(X)返回矩阵X各列元素之和赋予行向量Y；若X为向量，则Y为单变量。 一、 基本统计处理 4、求和 命令格式有： Y=sum(X)：将sum(X)返回矩阵X各列元素之和赋予行向量Y；若X为向量，则Y为单变量。 Y=sum(X,DIM)：按数组X的第DIM维的方向的元素求其和赋予Y。若DIM=1，为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量；若X为一维数组，则Y为单变量。

例如： 一、 基本统计处理 x=[4 5 6;1 4 8] x = 4 5 6 1 4 8 y=sum(x,1) y = 5 9 14 一、 基本统计处理 例如： x=[4 5 6;1 4 8] x = 4 5 6 1 4 8 y=sum(x,1) y = 5 9 14 y=sum(x,2) 15 13

Y= mean(X)：将mean (X)返回矩阵X各列元素之的平均值赋予行向量Y。若X为向量，则Y为单变量。 一、 基本统计处理 5、求平均值 MEAN函数调用的命令格式有： Y= mean(X)：将mean (X)返回矩阵X各列元素之的平均值赋予行向量Y。若X为向量，则Y为单变量。 Y= mean(X,DIM)：按数组X的第DIM维的方向的元素求其平均值赋予向量Y。若DIM=1，为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量；若X为一维数组，则Y为单变量。

例如： x=[4 5 6;1 4 8]; y1= mean(x,1) y1 = 2.5000 4.5000 7.0000 一、 基本统计处理 例如： x=[4 5 6;1 4 8]; y1= mean(x,1) y1 = 2.5000 4.5000 7.0000 y2= mean(x,2) y2 = 5.0000 4.3333

Y= prod(X)：将prod(X)返回矩阵X各列元素之积赋予行向量Y。若X为向量，则Y为单变量。 一、 基本统计处理 6、求积 命令格式有： Y= prod(X)：将prod(X)返回矩阵X各列元素之积赋予行向量Y。若X为向量，则Y为单变量。 Y= prod(X,DIM)：按数组X的第DIM维的方向的元素求其积赋予向量Y。若DIM=1，为按列操作；若DIM=2，为按行操作。若X为二维数组，Y为一个向量；若X为一维数组，则Y为单变量。

例如： x=[4 5 6;1 4 8]; y1= prod(x,1) y1 = 4 20 48 y2= prod(x,2) y2 = 120 一、 基本统计处理 例如： x=[4 5 6;1 4 8]; y1= prod(x,1) y1 = 4 20 48 y2= prod(x,2) y2 = 120 32

这些函数调用的参数与操作方式都与上小节的MEDIAN（中值）函数基本上一样，因此不作详细的介绍。 一、 基本统计处理 7、 求累计和、累积积、标准方差与升序排序 MATLAB提供的求累计和、累积积、标准方差与升序排序等函数分别为CUMSUM、CUMPROD、STD和SORT，这里仅STD函数为MATLAB程序，其余均为内部函数。 这些函数调用的参数与操作方式都与上小节的MEDIAN（中值）函数基本上一样，因此不作详细的介绍。

二、 多项式运算及其求根

二、 多项式运算及其求根 二、 多项式运算及其求根 鉴于MATLAB无零下标，故把多项式的一般形式表达为：

二、 多项式运算及其求根 1. 多项式求根 命令格式：x=roots(A)。这里A为多项式的系数A(1),A(2),…,A(N),A(N+1)；解得的根赋值给数组X，即X(1),X(2), …,X(N)。 【例6】试用ROOTS函数求多项式x4+8x3-10的根 这是一个4次多项式，它的五个系数依次为：1,8,0,0,-10。下面先产生多项式系数的向量A，然后求根： A=[1 8 0 0 -10] A = 1 8 0 0 -10 x=roots(A) x = -8.0194 -0.5075 + 0.9736i -0.5075 - 0.9736i 1.0344

二、 多项式运算及其求根 2. 多项式的建立 若已知多项式的全部根，则可以用POLY函数建立起该多项式；也可以用POLY函数求矩阵的特征多项式。POLY函数是一个MATLAB程序，调用它的命令格式是： A=poly(x) 若x为具有N个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋值给向量A。在此种情况下，POLY与ROOTS互为逆函数；若x为N×N的矩阵x，则poly(x)返回一个向量赋值给A，该向量的元素为矩阵x的特征多项式之系数：A(1),A(2),…,A(N),A(N+1)。

【例7】试用POLY函数对例7.8所求得 的根，建立相应的多项式。 二、 多项式运算及其求根 【例7】试用POLY函数对例7.8所求得 的根，建立相应的多项式。 x=[-8.0194 -0.5075 + 0.9736i -0.5075 - 0.9736i 1.0344]; z=poly(x) z = 1.0000 8.0000 0.0000 0.0000 -9.9996

3. 求多项式的值 POLYVAL函数用来求代数多项式的值，调用的命令格式为： Y=polyval(A,x) 二、 多项式运算及其求根 3. 求多项式的值 POLYVAL函数用来求代数多项式的值，调用的命令格式为： Y=polyval(A,x) 本命令将POLYVAL函数返回的多项式的值赋值给Y。若x为一数值，则Y也为一数值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。

【例8】以例7.8的4次多项式、分别取 x=1.2和下面的矩阵的2×3个元素为自变量 计算该多项式的值。 二、 多项式运算及其求根 【例8】以例7.8的4次多项式、分别取 x=1.2和下面的矩阵的2×3个元素为自变量 计算该多项式的值。 A=[1 8 0 0 -10]; % 例7.8的4次多项式系数 x=1.2; % 取自变量为一数值 y1=polyval(A,x) y1 = -97.3043 x=[-1 1.2 -1.4;2 -1.8 1.6] % 给出一个矩阵x x = -1.0000 1.2000 -1.4000

二、 多项式运算及其求根 4. 多项式的四则运算 (1)多项式加、减 对于次数相同的若干个多项式，可直接对多项式系数向量进行加、减的运算。如果多项式的次数不同，则应该把低次的多项式系数不足的高次项用零补足，使同式中的各多项式具有相同的次数。

若A、B是由多项式系数组成的向量，则CONV函数将返回这两个多项式的乘积。调用它的命令格式为： 二、 多项式运算及其求根 (2)多项式乘法 若A、B是由多项式系数组成的向量，则CONV函数将返回这两个多项式的乘积。调用它的命令格式为： C=conv(A,B) 命令的结果C为一个向量，由它构成一个多项式。

【例9】求例7.8的4次多项式与多项式 2x2-x+3的乘积。 二、 多项式运算及其求根 【例9】求例7.8的4次多项式与多项式 2x2-x+3的乘积。 A=[1 8 0 0 -10]; B=[2 -1 3] B = 2 -1 3 C=conv(A,B) C = 2 15 -5 24 -20 10 -30 本例的运行结果是求得一个6次多项式 2x6+15x5-5x4+24x3-20x2+10x-30

DECONV是CONV的逆函数，即有A=conv(B,Q)+r。 二、 多项式运算及其求根 (3)多项式除法 当A、B是由多项式系数组成的向量时，DECONV函数用来对两个多项式作除法运算。调用的命令格式为： [Q,r]=deconv(A,B) 本命令的结果：多项式A除以多项式B获商多项式赋予Q（也为多项式系数向量）；获余项多项式赋予r（其系数向量的长度与被除多项式相同，通常高次项的系数为0）。 DECONV是CONV的逆函数，即有A=conv(B,Q)+r。

【例10】试用例7.8的4次多项式与多项 式2x2-x+3相除。 二、 多项式运算及其求根 【例10】试用例7.8的4次多项式与多项 式2x2-x+3相除。 A=[1 8 0 0 -10]; B=[2 -1 3]; [P,r]=deconv(A,B) P = 0.5000 4.2500 1.3750 r = 0 0 0 -11.3750 -14.1250 商多项式P为0.5x2+4.25x+1.375， 余项多项式r为 -11.375x-14.125。

习题 1．已知某班的5名学生的三门课成绩列表如下： 学生序号 1 2 3 4 5 高等数学 78 89 64 73 68 学生序号 1 2 3 4 5 高等数学 78 89 64 73 68 外语 83 77 80 78 70 MATLAB语言 82 91 78 82 68 试写出有关命令，先分别找出三门课的最高分及其学 生序号；然后找出三门课总分的最高分及其学生序号。 2．针对上小题的成绩表，求出其三门课总分存入数组ZF，再利用SORT命令对之按降序排序，同时把相应的学生序号存入数组XH。

习题 3．今有多项式P1(x)=x4-2x+1,P2(x)=x2+4x-0.5，要求先求得P(x)=P1(x)+P2(x)，然后计算xi=0.2*i各点上的P(xi)（i=0,1,2,…,5）值。 4．试编一个m程序，将一维数组x中的N个数按颠倒的次序重新存储。如N=5，原来x为： x=[ 1 3 5 7 9 ] 而经过颠倒处理后x中数据的次序应该为： x=[ 9 7 5 3 1 ]