北师大版八年级数学（上册） 第一章 勾 股 定 理 包头市一机四中 赵鲜丽

1.1 探索勾股定理

教 学 过 程 观 察 探 究 定 理 证 明 例 题 讲 解 练 习 小 结 作 业

观察与探究 相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系． 你也来观察一下右图中的地面，看看有什么发现？ 思考： 1.三个正方形的面积有什么关系? 2.三个正方形围成的等腰直角三角形 的三边有什么关系？

探究 SA+SB=SC 9 9 9 18 一、等腰直角三角形 1．观察图1（图中每个小正方形的边长均为1） 正方形A中含有 个 是 个单位面积． A B C 9 9 (2)正方形B的面积是 个单位面积． 怎样求正方形C的面积？ 18 (3)正方形C的面积是 个 单位面积． SA+SB=SC 方法1 方法2 方法3

探究 C A B 方法1：“割” 把正方形C分割成4个直角三角形。 图1

探究 C A B 图1 方法2： “补” 正方形C的面积等于边长为6的正方形面积减去4个直角三角形的面积。

探究 C A B 图1 方法3： “拼” 将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色可拼成一个小正方形。 = 18

探究 SA+SB=SC c a b A B C 16 9 25 4 9 13 二、一般的直角三角形 2.观察右边两个图并填写下表： 图2 图3 A的面积 B的面积 C的面积 图2 图3 c 16 9 25 a b 4 9 13 3．三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？ SA+SB=SC 即：直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．

猜想 c a 命题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． b 是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需要我们对一个更一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面我们来证明这个命题． 证法1 证法2 证法3

定理证明 一、赵爽弦图的证法 看左边的图案，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形 （黄色）． 朱实 朱实 c 黄实 b 朱实 a 朱实

定理证明 = S小正方形+4S直角三角形 S大正方形 化简得： c2 =a2+ b2 赵爽弦图的证法 大正方形面积怎么求？ c b a ( - ) 2 黄实 朱实 赵爽弦图的证法 = S小正方形+4S直角三角形 S大正方形 大正方形面积怎么求？ 化简得： c2 =a2+ b2

定理证明 S大正方形 = S小正方形+4S直角三角形 化简得： c2 = a2+ b2 a b c b a c a b c a b c 大正方形面积怎么求？ 化简得： c2 = a2+ b2

总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？ 定理证明 二、勾股定理的其他证法: 1.毕达哥拉斯证法 2.刘徽证法 3.总统证法 美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法” 总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？

a2 + b2 = c2 c a 勾股定理： b 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 勾 股 弦 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 勾股定理： a b c 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 勾 股 弦 a2 + b2 = c2 即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 注： 在直角三角形中才能用勾股定理.

A B C 例1：求出下列直角三角形中未知边的长度. 8 10 解： 在Rt△ABC中,由勾股定理得： AB2=AC2+BC2 ∴ AC2 = AB2 - BC2 = 102 - 82 = 36 ∴ AC = 6

拓广应用 例2：如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高？ 12米 9米

分析： 由题意知，AC=9米，BC=12米，∠ ACB=90º.求AC+AB？ 解： 在Rt△ABC中， 根据勾股定理,得 AB2 = = 92 + 122 = 225 ∴ AB = 15（米） ∴ AC+AB = 9+15=24（米） 因此，旗杆折断之前有24米.

练习 16 12 1.求出下列直角三角形中未知边的长度. 解： 在Rt△ABC中,由勾股定理得： AC2 = AB2 + BC2 = 162 + 122 = 400 ∴ AC = 20

练习 2. 小明的妈妈买了一台29英寸（74厘米）的电视机，小明量了电视机的荧屏后，发现荧屏只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 解：在Rt△ABC中,由勾股定理得： B 已知：AC = 58 cm, BC = 46 cm AB2 = AC2 + BC2 求：AB是不是等于74cm = 582 + 462 = 5480 A C ∵ 742 = 5476 ∴荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没有搞错

小 结 1.勾股定理的内容： 如果直角三角形两直角边分别为a,b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.勾股定理的用途： （1）在纯数学领域中的应用：直角三角形的三边中已知任意两边求第三边； （2）在生活中的应用：先构建直角三角形模型，再用勾股定理解决问题。 数学思想：1. 特殊到一般的思想； 2. 数形结合思想. 3. 方法：1. 面积法； 2. 割补法.

方法一： 方法二： 方法三： “割” “补” “拼” 分割为四个直角三角形和一个小正方形 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积 将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形

作 业 基础题：P7 — 知识技能1、2 拔高题：P7 — 数学理解3

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