1．4　全称量词与存在量词

学习目标 1.理解全称量词、全称命题及存在量词、特称命题的含义，会判断含有一个量词的全称命题与特称命题的真假． 2．能正确对含有一个量词的命题进行否定，理解全称命题与特称命题之间的关系．

课前自主学案 1.4 课堂互动讲练 知能优化训练

1．对于p∧q：若命题p与q全真，则p∧q为______；若p与q有一个是假命题，则p∧q为_______； 课前自主学案 温故夯基 1．对于p∧q：若命题p与q全真，则p∧q为______；若p与q有一个是假命题，则p∧q为_______； 对于p∨q：若命题p与q全假，则p∨q为_______；若p与q至少有一个为真，则p∨q为_______． 2．将原命题的条件和结论分别否定后，作为命题的条件和结论，构成原命题的_______；而命题的否定是对命题的___________． 真命题 假命题 假命题 真命题 否命题 结论的否定

知新益能 1．全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做_____量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做_____命题． 全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为____________，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． 2．存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_____量词，并用符号“__”表示．含有存在量词的命题，叫做_____命题． 全称 全称 ∀x∈M，p(x) 存在 ∃ 特称

特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为______________，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 3．含有一个量词的命题的否定 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： (1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：_______________，全称命题的否定是特称命题． (2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：______________，特称命题的否定是全称命题． ∃x0∈M，p(x0) ∃x0∈M，綈p(x0) ∀x∈M，綈p(x)

问题探究 你能举几个全称量词和存在量词吗？ 提示：常见的全称量词有：“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任何一个”“任给”等． 常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“有的”“某些”等．

课堂互动讲练 考点突破 全称命题与特称命题的辨析 判定一个命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题具体的意义去判断．

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1； (4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数； 判断下列语句是全称命题，还是特称命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的向量方向不定； (3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1； (4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数； (5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． 【思路点拨】　先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断． 例1

【解】　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题． (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题． (4)含有存在量词“有一个”，故为特称命题． (5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

全称命题和特称命题的真假判断 (1)要判定一个特称命题为真，只要在给定的集合内，找到一个元素x0，使命题p(x0)为真；否则，命题为假． (2)要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合内的每一个元素x，p(x)都为真；但要判定一个全称命题为假，只要在给定的集合内找到一个x0，使p(x0)为假，即可判定该全称命题为假．

【思路点拨】 判断全称命题为假时，可以用特例进行否定，判断特称命题为真时，可以用特例进行肯定． 例2 【思路点拨】　判断全称命题为假时，可以用特例进行否定，判断特称命题为真时，可以用特例进行肯定．

【解】　(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题． (1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题． (2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π， ∴命题(2)是假命题． (3)y＝sin x是周期函数，2π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题． (4)对任意x∈R，x2＋1>0. ∴命题(4)是假命题．

变式训练　将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小； (3)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根； (4)对于某些实数x，有2x＋1>0； (5)若直线l垂直于平面α内的任一直线，则l⊥α.

全称命题的否定是特称命题，即“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x0∈M，綈p(x0)”． 含有一个量词的命题的否定 全称命题的否定是特称命题，即“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x0∈M，綈p(x0)”． 特称命题的否定是全称命题，即“∃x0∈M，p(x0)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”． 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx0－1＝0必有实根； (2)p：有些三角形的三条边相等； (3)p：存在实数a，b，使得|a－1|＋|b＋2|＝0； (4)p：∀x∈R,3x>0. 例3

【思路点拨】　全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题． 【解】　(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立， 故綈p为假命题． (2)綈p：所有三角形的三条边不全相等． 显然綈p为假命题．

(3)綈p：对于任意的实数a，b，有|a－1|＋|b＋2|≠0. (4)綈p：∃x0∈R,3x0≤0.綈p为假命题． 【名师点评】　写一个命题的否定的步骤：首先判定该命题是“全称命题”还是“特称命题”，并确定相应的量词；其次根据含一个量词的命题的否定的定义写出相应的命题．

方法感悟 1．同一个全称命题、特称命题，可能有不同的表述方法． 2．注意否命题与命题的否定是不同的，若p表示命题，“非p”叫做命题的否定．如果原命题是“若p，则q”，那么否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”，即只否定结论．

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