(Average rates of change) 平均变化率 (Average rates of change)

[问题1] 同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力。想想看，为什么？ [情境1]下图是一段登山路线。 [问题1] 同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力。想想看，为什么？ y/m x/m o xB xC yB yC A B C 登山路线 yC-yB xC-xB [问题2] “陡峭” 是生活用语，如何量化线段BC的陡峭程度呢？

温差15.1℃ 温差14.8℃ [情境2] 某市2004年3月18日到4月20日期间的日最高气温记载. 时间 3月18日 4月18日 [情境2] 某市2004年3月18日到4月20日期间的日最高气温记载. 时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃ 联想直线？ 温差15.1℃ 温差14.8℃ 18.6 3.5 o 1 32 34 33.4 t /d T/oC A(1,3.5) B(32,18.6) C(34,33.4) 气温曲线 [问题3] 你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？ yC-yB xC-xB

你能据此归纳出 “函数f(x)的平均变化率”的一般性定义吗？ [问题4]如果将上述气温曲线看成是函数y = f(x) 的图象,任取x1，x2 [1，34]，则函数y = f(x)在区间[1，34]上的平均变化率为 在区间[1， x1]上的平均变化率为 在区间[x2，34]上的平均变化率为 f(34) - f(1) o 1 x2 34 x y A C y=f(x) x1 f(x1) f(x2) f(1) f(34) 34-1 你能据此归纳出 “函数f(x)的平均变化率”的一般性定义吗？

[问题5] 下面分别是两个函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在区间[x1，x2 ]上平均变化率是否相等？ y y2 [结论] 用平均变化率来量化曲线的陡峭程度是“粗糙不精确”的。 y=g(x) y1 y=f(x) o x1 x2 x

[问题6] 如图，请分别计算气温在区间[1，32]和区间[32，34]上的平均变化率。 T/ 气温在区间[1，32] 上的平均变化率约为0.5； 气温在区间 [32，34]上的平均变化率为7.4。 C(34,33.4) 33.4 B(32,18.6) 18.6 A(1,3.5) 气温曲线 3.5 o 1 32 34 t /d [问题7] 对比本题的运算结果与气温曲线以及气温的变化速度，你能发现“平均变化率”和“曲线陡峭程度”以及“气温变化速度”之间有什么对应关系吗？

如图，分别计算曲线在区间[1，2]和[2，4]上的平均变化率。 x y o 1 2 4 6 3 曲线在区间[1，2] 上的平均变化率为-3； 曲线在区间 [2，4]上的平均变化率为 。 [结论] 平均变化率的绝对值越大，曲线越陡峭，变量变化的速度越快。 数学化 视觉化 平均变化率 曲线陡峭程度 变量的变化速度 生活化 数量化

练习1 甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间获利10万元，乙用5个月时间获利2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？ 问题8 甲、乙两汽车，速度分别从0km/h加速到100km/h和80km/h，如何评价两车的性能？ 问题9 假如甲用时15s，乙用时10s呢？

例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。 解：从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化率为 W/kg t/月 o 3 6 12 3.5 6.5 8.6 11 =1（kg/月）; 从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化率为 =0.4（kg/月） [问题10] 本例中两个平均变化率的数值不同的实际意义是什么？

[例2] 如图，水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s后容器甲中水的体积V（ｔ）＝5 （单位： ），试计算第一个10s内V的平均变化率。 /ｓ）, ＝－0.25（ 即第一个10s内容器甲中水的体积V的平均变化率为－0．25 （ ／ｓ）。 [问题11] 容器甲中水的体积V的平均变化率是一个负数, 它的实际意义是什么？

例3 已知函数 ，分别计算它在下列区间上的平均变化率:(1) [1，1. 1]； (2) [1，1. 01]； (3) [1，1 例3 已知函数 ，分别计算它在下列区间上的平均变化率:(1) [1，1.1]； (2) [1，1.01]； (3) [1，1.001]； (4) [1，1.0001]。 同理可得: （3）函数f(x)在区间[1，1.001]上的平均变化率为2.001; （4）函数f(x)在区间[1，1.0001]上的平均变化率为2.0001。 [探究与思考] 当x0逼近1的时候，f(x)在区间[1， x0]上的平均变化率呈现什么样的变化？ 答案：逼近2

例4 已知函数f（x）=2x+1，g（x）= -2 x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f（x）及g（x）的平均变化率。 同理可得, 函数f（x）在区间[0，5]上的平均变化率为 2； 函数g（x）在区间[-3，-1]上的平均变化率为-2； 函数g（x）在区间[0，5]上的平均变化率为-2．

[练习2]. 若函数f (x) = 3 x + 1 ,试求f (x) 在区间 [ a , b ] 上的平均变化率。 答案：3 ［问题12］从上述例、习题的求解中，你能发现一次函数y = kx + b在区间[p ,q]上的平均变化率有什么规律吗？ ［结论］：一次函数y = kx + b在区间[p , q]上的平均变化率为直线的斜率k．

回顾小结 本节课学习的数学知识有： ； 本节课涉及的数学思想方法有： 平均变化率的概念；平均变化率的应用 。 以直代曲、数形结合、归纳、逼近思想

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