在发明中学习 线性代数概念引入 之四: 矩阵运算 李尚志 中国科学技术大学
矩阵乘法 1. 线性函数 例 1 在平面上建立直角坐标系. 将平面上每个点P绕原点 向逆时针方向旋转角α到点P'. 例 1 在平面上建立直角坐标系. 将平面上每个点P绕原点 向逆时针方向旋转角α到点P'. 写出点P的坐标(x,y)与点P‘的 坐标(x',y')之间的函数关系式.
(2) 将x轴绕原点向逆时针方向旋转角α得到直线 lα. 平面上任一点P关于直线 lα的对称点为 P' (2) 将x轴绕原点向逆时针方向旋转角α得到直线 lα. 平面上任一点P关于直线 lα的对称点为 P'. 写出点P的坐标(x,y)与点P'的坐标(x',y')之间的函数关系式.
解 设原点O到P的距离|OP|=r, 由射线OX(即x轴正方向) 到OP所成的角 解 设原点O到P的距离|OP|=r, 由射线OX(即x轴正方向) 到OP所成的角 . 则|OP'|=|OP|=r, x=rcosθ, y=rsinθ. (1) x'=rcos(θ+α) =rcosθcosα-rsinθsinα =xcosα-ysinα y'=rsin(θ+α) =rcosθsinα+rsinθcosα =xsinα+ycosα
(2)
在旋转变换的表达式 中, x’是x,y的线性函数(一次齐次函数) 可以表示成 可以直接写 f1 = (cosα,-sinα). 类似地有
一般地, 任意一个n元线性函数 可以由它的一次项系数组成的行向量(a1,…,an)来表示, 称为这个线性函数 f 的坐标. 可直接写 f = (a1,…,an) n 个自变量看成一个整体 X, 写成列向量 函数 f 在自变量 X 上的作用可以看作行 f 与列 X 相乘:
2. 线性映射的矩阵 f : 自变量 因变量 旋转 轴对称
一般地, 考虑映射 f: X= Y= 如果每个 yi 都是 x1 ,…, xn 的一个线性函数 决定, 则映射 f: X Y由 m 个行向量 fi 决定. f 称为线性映射. 写成 看作矩阵 A= 与列 X 相乘的结果.
Z=CX=BAX,C=BA的第i行元素分别乘A的各行相加得到. 3. 线性映射的合成: Y= Z= 是X的m个线性函数 f1,…,fn 的线 性组合, 仍是X 的线性函数 ,其坐标 的坐标(即A的各行)的相应的线性组合 Z=CX=BAX,C=BA的第i行元素分别乘A的各行相加得到.
4. 利用分块运算理解矩阵乘法 1、 AB = A (B1,,B2,…,Bk), A 依次乘 B 的各列。 例 4. 利用分块运算理解矩阵乘法 1、 AB = A (B1,,B2,…,Bk), A 依次乘 B 的各列。 例. 对可逆方阵 A ，解矩阵方程 AX=B. 将 X,B 按列分块, A(X1, … ,Xk)=(B1,…,Bk) 即 (AX1,…,AXk)=(B1,…,Bk), AXj = Bj (j=1,2,…,k) 相当于同时解 k 个有公共系数矩阵A的线性方程. 同时对k个增广矩阵 (A Bj) 做同样的初等行变换。 可以合并到一起作初等行变换: (A B) (I X），X=A-1B。 2、 A = (A1,…,An) = x1A1+…+xnAn.
3、行变换: B AB 列变换: B BA A：施工方案，B：被施工的材料
例.
5. 初等变换与初等矩阵 解。 B AB 与 I AI 经过相同的行变换。
谢谢