Chapter 3 相關與變異數分析

變數的內涵 屬量變數 屬質變數 當一個變數可以量化、計算，而且其值的大小可以做有意義的比較時，則稱為屬量變數 當一個變數的內容是屬於敘述性的(如：快樂／憂鬱、男／女)，則即使我們可以將其量化，這些量化之後的數值不但在邏輯上不能運算，其大小的比較也沒有意義，這種變數即稱為屬質變數 多變量分析—管理上的應用

相關分析 應用時機 統計模型 相關分析主要是用於判定多個變數之間是否有線性關係，以及這種關係的方向和程度，特別適用於變數皆為屬量變數的情況 多變量分析—管理上的應用

相關分析 結果解讀 相關係數可以告訴我們兩件事：(1)相關的方向；(2)相關的程度 相關分析只能判定兩變數間是否有「線性相關性」、「相關的程度和方向」，但不能判定變數之間是否有「因果關係」和「非線性關係」 相關係數的數值 若r=1，則x，y變數為完全符合正比的直線相關 若r=0，則x，y變數完全無線性關係 若r=-1，則x，y變數為完全符合反比的直線相關 多變量分析—管理上的應用

實例與應用3-1 相關係數矩陣(correlation matrix) 經濟、統計和會計成績之間都是正相關，表示以整體而言，成績好的學生在各科表現不會有太大的落差 經濟和統計相關的程度略高於經濟和會計相關的程度，表示經濟、統計所需具備的能力是比較相近的（可能是理解能力或計算能力） 統計和會計的相關性最低，顯然這兩科所要求的能力有很大的差異 多變量分析—管理上的應用

變異數分析原理 變異數分析的定義 變異數分析(Analysis of Variance，簡稱ANOVA)是將屬量樣本資料的變異，依其可能來源拆解（例如，組內變異和組間變異），並檢定因子中各類或群（通常稱為「處理」）的平均數是否相等，以判斷因子和母體屬量變數之間的關係 應用時機 探討用來分類或分群的屬質變數（在變異數分析中稱為「因子」）和一個屬量變數之間的關係時，常常會運用變異數分析方法 多變量分析—管理上的應用

變異數分析原理 因子－集區和處理 變異數分析的數學模式 固定效果與隨機效果 觀察因子相當於「集區」，是不能加以控制或隨意給定的 實驗因子相當於「處理」，是我們能夠加以控制或指派的 變異數分析的數學模式 固定效果與隨機效果 固定效果模式：在上式中，若βj是未知常數，則此變異數分析模式為固定效果模式。固定效果模式是指在因子中的處理或集區，在重新進行實驗時，不會有所改變 隨機效果模式：如果βj是隨機變數，則此變異數分析模式為隨機效果模式；隨機效應模式，是指在重複實驗時，每一次處理的組合都可能不相同 多變量分析—管理上的應用

單因子變異數分析 應用時機 統計模型 固定效果、單因子變異數分析的假設前提 單因子變異數分析是要判定某一個應變數是否和另一個含有k種處理的自變數相關 適用於k組具有相同變異數的常態分配平均數的比較，或是經由完全隨機實驗設計(completely randomized design)試驗所得觀測值的分析 統計模型 固定效果、單因子變異數分析的假設前提 εij相互獨立、為常態分配、平均數為0、且有相同的變異數，εij ~N(0, σ2) Yij相互獨立、為常態分配、平均數為μi、且各分群之變異數相等，Yij ~N(μi, σ2) 檢定H0：μ1=μ2=…=μk=μ，或H0：α1=α2=…=αk=0 多變量分析—管理上的應用

單因子變異數分析 結果解讀 單因子變異數分析表 多變量分析—管理上的應用

單因子變異數分析 結果解讀 變異數是否相等之檢定 Bartlett test：由k組分群母體隨機抽取ni個樣本，總樣本數，計算各組樣本變異數及總樣本變異數 多變量分析—管理上的應用

二因子變異數分析 應用時機 統計模型 當我們想研究二個自變數和一個應變數的關係時，就必須要利用二因子變異數分析，才能得知其各別影響和交互作用 利用隨機集區設計(randomized block design)的方法，在每個集區中隨機抽取k個樣本，再將這些樣本隨機指定到k個處理中，再進行每組樣本數為1的二因子變異數分析，可大幅縮減樣本數。這樣的作法一般稱為一因子集區變異數分析，基本上也等同於二因子未重複試驗變異數分析 統計模型 上式中，假設在A因子中有a種處理，則i表示第i種處理；而在B因子中有b種處理，則j表示第j種處理 檢定假設： HA：α1=α2=…=αk=0以及HB：β1=β2=…=βk=0 多變量分析—管理上的應用

二因子變異數分析 結果解讀(1) 假設有A、B二個因子，其處理數分別為a、b，每一種處理只抽取1個樣本時（此即為二因子未重複試驗的情況），其資料結構如下： 多變量分析—管理上的應用

二因子變異數分析 結果解讀(2) ANOVA表 多變量分析—管理上的應用

實例與應用3-2 F test 檢定統計量F小於臨界值（α = 0.05）、p值大於0.05，在顯著水準0.05之下，二母體變異數相等，符合變異數分析的基本假設 多變量分析—管理上的應用

實例與應用3-2 ANOVA F 值大於臨界值（ = 0.05），p 值小於0.05，因此拒絕二母體平均數相等的假設，即認定ROE和產業是有關的，而在此例中，電子業的股東權益報酬率高於石化業，因此，根據此結果，我們在投資時以選擇電子業較佳 多變量分析—管理上的應用