9.5空间向量及其运算 2.共线向量与共面向量 淮北矿业集团公司中学 纪迎春
一.复习提问: 1.共线向量. 2.平面向量共线的充要条件. 3.平面向量的基本定理.
二.新课: 1.共线向量 定理: 对于空间任意两个向量a、b(b=0),a//b的充要条件是存在实数λ使a= λb. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 P OP = OA + t a. (1) B 其中向量a叫做直线l的方向向量. a OP = (1- t)OA + t OB. (2) 说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.
2.共面向量 a O A (1).已知平面α与向量a,如果向量a所在的直线OA平行于平面α或向量a在平面α内,那么我们就说向量a平行于平面α,记作a// α. α a (2)共面向量:平行于同一平面的向量 A B C D 思考: 空间任意两个向量是否一定共面? 空间任意三个向量哪?
(3)共面向量定理: p P 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使 b B M a A A' P = xa + yb. 推论:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使 MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有 OP = OM + xMA + yMB.
三.例题 例1 对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式 OP = xOA + yOB + zOC（其中x+y+z=1） 的四点P、A、B、C是否共面。 例2 已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量 OE = kOA，OF = kOB，OG = kOC，OH = kOD， 求证： （1）四点E、F、G、H共面； （2）平面EG//平面AC.
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