整數、量與實測

學習地圖 所謂真正的學習,在於理解新事物與先前所學的知識有怎麼樣的關聯性存在,也就是了解知識的脈絡,從概念彼此之間的關聯性去理解學習內容,學生們可以用自己的想法去理解新學的內容,這就是重整想法,而不是複製教師的說法,或是單以訓練的方法學會計算,或學會學習內容.(促進理解的認知學習-國小數學學習地圖 蔡秉燁 高等教育出版)

縱向觀點 4-n-03 能在具體情境中，解決兩步驟問題， 先備經驗 並學習併式的記法（包括連乘、連 除、乘除混合）。 5-n-01 五年級 能在具體情境中，解決三步驟問題。 六年級

兩步驟VS三步驟 志中買了8本筆記本後，又買了35元的筆一枝，總共付了355元，請問一本筆記本多少元？ 一箱蘋果有24顆，把3箱蘋果平分給4個人，每人可以得到幾顆蘋果？ 一枝冰棒18元，一杯思樂冰30元，小美買了43枝冰棒，又買了23杯思樂冰，應該要付多少元？ （355－35）÷8 24×3÷4 18×43＋30×23

爲什麼要先乘除後加減? 括號先算有利於找到相同的等分,提升運算效率.(例如:梯形面積計算.三角形面積計算) 爲什麼由左至右算呢?回到加減乘除原來的觀念. 先乘除後加減是先點數相同等分,後運算零散部份,提升運算效率.

運算規律VS學生的疑惑 括號先算 由左至右(都是乘除或都是加減) 先乘除後加減(加減乘除混合運算) 45÷9×20 28＋14÷7 39÷3×（6＋7） 由左至右？還是先乘除後加減？ 由左至右？還是先乘除後加減？還是先算括號？

嘗試加一的挑戰 45÷9× □ =100 28＋14÷ □ =30 39÷3×（6＋□）=169

縱向觀點 4-n-02 能熟練整數加、減、乘、除的直式計 算。 先備經驗 4-n-04 能作整數四則混合計算（兩步驟）。 5-n-02 五年級 5-n-02 能熟練整數四則混合計算。 六年級

運算規律探討 42×2＋10 45－5×7 哪一個容易算錯？ （78＋2）×9 78＋2×9 從情境著手：佈題 列式 計算 哪一個容易算錯？ 從情境著手：佈題 列式 計算 (理解運算規律) 從算式著手：提供算式 佈題 計算 (熟練運算規律) 哪一個容易算錯？ 哪一個容易算錯？

縱向觀點 先備經驗 五年級 六年級 5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 6-n-01 能認識質數、合數，並作質因數的分解（質數 ＜20，質因數＜10，被分解數＜100）。 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數 互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的 計算方式，並能將分數約成最簡分數。

5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 理解因數、倍數的概念。用列表的方式，尋找兩數的公因數與公倍數。學童應知道兩整數的乘積一定是此兩數的公倍數。

公倍數 有一本書厚3公分,另一本書厚2公分,最少各排幾本書,兩本書所排的厚度會一樣厚? 有一本書厚4公分,另一本書厚5公分,最少各排幾本書,兩本書所排的厚度會一樣厚? 有一本書厚3公分,另一本書厚4公分,最少各排幾本書,兩本書所排的厚度會一樣厚? 假設:好像兩數對乘就可以解決問題.真的如此嗎?

3 x 2 = 6 2 x 3 = 6 4 x 5 = 20 5 x 4 = 20 3 x 4 = 12 4 x 3 = 12

驗 證 有一本書厚6公分,另一本書厚4公分,最少各排幾本書,兩本書所排的厚度會一樣厚? 驗 證 有一本書厚6公分,另一本書厚4公分,最少各排幾本書,兩本書所排的厚度會一樣厚? 有一本書厚6公分,另一本書厚9公分,最少各排幾本書,兩本書所排的厚度會一樣厚? 驗證:前面的假設是無法解決.那有什麼方法,可以讓複製前面的經驗呢?

發現什麼? 有一本書厚6公分,另一本書厚3公分,最少各排幾本書,兩本書所排的厚度會一樣厚? 有一本書厚8公分,另一本書厚4公分,最少各排幾本書,兩本書所排的厚度會一樣厚? 有一本書厚16公分,另一本書厚8公分,最少各排幾本書,兩本書所排的厚度會一樣厚? 新發現: 1.兩本書有共同的堆數,重新更換單位,運用相 同的單位去相乘,就可找到一樣厚度. 2.倍數不只有一個.(超過最小公倍數的題目)

6 x 1 = 6 3 x 2 = 6 8 x 1 = 8 4 x 2 = 8 16 x 1 = 16 8 x 2 = 16

再驗證 有一本書厚6公分,另一本書厚9公分,最少各排幾本書,兩本書所排的厚度會一樣厚? 有一本書厚8公分,另一本書厚12公分,最少各排幾本書,兩本書所排的厚度會一樣厚? 重新找單位: 1. 會有很多相同的單位,但是要找最大共同的單 位(最大公因數). 2.各別找:因數.(質數.合數) 3.兩數除了1以外,找不到共同最大的單位.(互質) 4一起找:短除法.(12.18) 質因數分解.

認識因數的教學 有12個玩具兵，可以平分成3排嗎？4排呢？ 18個小朋友要平分成幾組，而且剛好分完，可以有哪些分法？ 把5個花片排成長方形，有哪幾種排法？ 把7個花片排成長方形，有哪幾種排法 教學脈絡：從整除的概念認識因數，再透過長方形排列知道因數與乘法的關係。

倍數與因數 3是543的因數嗎？ 612是17的倍數嗎？ 學生會如何判斷？ 由整除了解因數與倍數關係 甲÷乙＝丙 透過乘積了解因數與倍數關係 甲＝乙×丙 結論：除法的概念跟基礎要很穩固。 學生會如何判斷？ 哪個容易理解？

因數倍數的應用 老師有28枝鉛筆和42枝原子筆要送給學生，想使每個學生分到的鉛筆一樣多，分到的原子筆也一樣多，可以分給幾個學生？ 弟弟有一桶彈珠，數量大約在55~65顆之間，每3或5顆一數剛好數完，弟弟的彈珠最多可能有多少顆？最少呢？ 學生會如何去判斷這是因數問題？還是倍數問題？

6-n-01 能認識質數、合數，並作質因數的分解（質數＜20，質因數＜10，被分解數＜100）。 質數：因數只有1與自己 合數：大於1且不是質數的整數（或有3個以上因數的整數） 因數分解：60＝6×10 質因數分解：60＝2×2×3×5 教學原則：質因數＜10，被分解數＜100，讓學童熟悉20以內的質數之倍數（小於200）。並可從活動中，讓學童掌握2、3、5的倍數規則。

6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。 以列舉觀察為主，了解意涵後再介紹短除法。 兩數的最大公因數是1稱為互質。注意區辨互質與質數的不同。例如14與15雖然都是合數，但兩者互質。

質因數分解找最大公因數最小公倍數 36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 最大公因數：2×2×3 最小公倍數：2×2×3×3×2 倍數及因數的概念必需隨時檢驗。 為什麼？

短除法找最大公因數最小公倍數 2 72 60 2 36 30 3 18 15 6 5 為什麼？ 最大公因數＝2×2×3 2 72 60 2 36 30 3 18 15 6 5 最大公因數＝2×2×3 最小公倍數＝2×2×3×6×5 為什麼？

最大公因數與最小公倍數的應用 學生能依據什麼條件來判斷並解題？教材是如何安排教學脈絡？ 佈題一：把一張長16公分寬12公分的長方形方格紙，剪成全等的正方形而不浪費紙，可以剪成邊長幾公分的正方形？想想看，要怎麼做？ 佈題二：用長邊3公分、寬邊2公分的長方形，可以拼成邊長幾公分的正方形，邊長幾公分的正方形最小？想想看要怎麼做？ 學生能依據什麼條件來判斷並解題？教材是如何安排教學脈絡？

最大公因數與最小公倍數的應用 佈題一解題策略起始點： 長邊可以平分成1、2、4、8、16公分， 寬邊可以平分成1、2、3、4、6、12公分。 佈題二解題策略起始點： 長邊可拼成3、6、9、12、15、18、21公分 寬邊可拼成2、4、6、8、10、12、14、16公分 從列舉著手，發展到計算（短除法）求解。

最大公因數與最小公倍數的應用 佈題一：有一塊長方形的布，長72公分，寬60公分，明君想把它剪成大小都一樣的小正方形（正方形邊長的公分數都是整數）而且布要全部分完，最大的正方形邊長會是幾公分？ 佈題二：總統府前有一條180公尺長的馬路，為了慶祝國慶日，每隔6公尺插一枝國旗，每隔8公尺站一位憲兵，這條馬路的起點，同時有國旗和憲兵，下一次同時有國旗和憲兵的地方，距離起點幾公尺？ 學生能依據什麼條件來判斷並解題？教材如何安排教學脈絡？

最大公因數與最小公倍數的應用 佈題一解法：提示正方形的邊長必須是72的因數，也必須是60的因數。 2 72 60 2 72 60 2 36 30 2×2×3＝12 3 18 15 6 5

最大公因數與最小公倍數的應用 佈題二解法：提示同時要有國旗和憲兵的地方，必須是6的倍數，同時也必須是8的倍數。 2 6 8 3 4 2 6 8 3 4 6和8的最小公倍數是2×3×4＝24 下一個同時有國旗和憲兵的地方， 距離起點24公尺。 從題目直接判斷，計算（短除法）求解。

縱向觀點 4-n-12 先備經驗 能解決複名數的時間量計算，以及時刻與時間量的加減問題。 5-n-13 五年級 能解決時間的乘除計算問題。 六年級

時間的除法記錄 直式還是橫式？ 本細目的單位換算與計算限於整數範圍。 看題目： 連續播放一首歌4遍，共需25分20秒，只播一遍需要幾分幾秒？ 一只手錶每天快1分28秒，現在共快7分20秒，這只手錶已經走了多少天？ 兩階單位的包含除，應引導先化為同階單位再解題。

等分除 六個蛋糕分給兩個人,每個人得到幾個蛋糕?

包含除類型一 小明有12個蛋糕每3個分裝一袋,共可裝成幾袋?

包含除類型二 小明有6個蛋糕,小英有2個蛋糕,小明是小英的幾倍? 比一次 比二次 比三次

縱向觀點 3-n-16 先備經驗 能認識重量單位「公斤」、「公克」及其關係，並作相關的實測、估測與計算。 5-n-14 五年級 能認識重量單位「公噸」及「公噸」、「公斤」間的關係，並作相關計算。 六年級

縱向觀點 4-n-15 能認識面積單位「平方公尺」，及「平方公分」、「平方公尺」間的關係，並作相關計算。 先備經驗 5-n-15 五年級 能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其關係，並作相關計算。 六年級 6-n-11 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（同6-s-03*）

縱向觀點 4-n-17能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同體積的大小，並認識體積單位「立方公分」。 先備經驗 五年級 5-n-17能認識體積單位「立方公尺」，及「立方公分」、「立方公尺」間的關係，並作相關計算。 5-n-18能理解長方體和正方體的體積公式。（同5-s-07） 六年級 6-n-13 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。（同6-s-06）

單位換算的教學與練習 單位之間的關係要認識清楚 數位媒材的應用 各種單位換算學習單 教師教學用定位板

縱向觀點 3-n-14 能認識容量單位「公升」、「毫公升」（簡稱「毫升」）及其關係，並作相關的實測、估測與計算。 先備經驗 5-n-19 五年級 5-n-19 能理解容量、容積和體積間的關係。 六年級

名詞界定 容量、容積與體積均為空間大小的量。 體積：代表實體佔有的空間大小。 容量：指容器可裝載的最大液量。 容積：容積是指容器內部空間的大小，其 概念是體積概念。例如：冰箱內部 的容積。 液量：指容器內液體的量。如：水量。

容積概念的引入 從容量引入 哪一個比較容易理解？ 從堆疊1立方公分積木引入 1公升的水所佔的空間是1000立方公分（水也有體積） 沉入水中的物體的體積，等於此物體所排開的水的水量，也就是水所佔空間的體積 哪一個比較容易理解？

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