第二章 静电场（4） §2.4 分离变量法 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2016年10月21日 《电动力学》第12讲 第二章 静电场（4） §2.4 分离变量法 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2016年10月21日

上一讲复习 1、电像法的适用条件 我们设想，导体面上的感应电荷对空间中电场的影 响用导体内部某个或某几个假想电荷来代替。注意 我们在作这种代换时并没有改变空间中的电荷分布 （在求解电场的区域，即导体外部空间中仍然是只 有一个点电荷Q），因而并不影响泊松方程，问题的 关键在于能否满足边界条件。如果用这代换确实能 够满足边界条件，则我们所设想的假想电荷就可以 用来代替导体面上的感应电荷分布，从而问题的解 可以简单地表示出来。 山东大学物理学院 宗福建 2

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上一讲习题解答 设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充 满电导率为 的液体，取该两平面为 xz面和 yz 面，在 和 两点分别置 正负电极并通以电流 I ，求导电液体中的电 势。 山东大学物理学院 宗福建 8

上一讲习题解答 解：无限空间时 山东大学物理学院 宗福建 9

上一讲习题解答 1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势 体 。为满足器壁（边界上） ，应有 三对像电极（即三个像电流）。 1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势 体 。为满足器壁（边界上） ，应有 三对像电极（即三个像电流）。 山东大学物理学院 宗福建 10

上一讲习题解答 1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势体 。为 满足器壁（边界上） ，应有三对像电极（即 三个像电流）。 1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势体 。为 满足器壁（边界上） ，应有三对像电极（即 三个像电流）。 山东大学物理学院 宗福建 11

上一讲习题解答 1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势 体 。为满足器壁（边界上） ，应有 三对像电极（即三个像电流）。 1. 设容器壁为良导体金属，则容器壁为等势 体 。为满足器壁（边界上） ，应有 三对像电极（即三个像电流）。 山东大学物理学院 宗福建 12

上一讲习题解答 2. 设容器壁为绝缘体，则流向容器壁的电流为零， 为满足器壁（边界上）Jn=0 ，应有三对像电极（即 三个像电流） 山东大学物理学院 宗福建 13

上一讲习题解答 2. 设容器壁为绝缘体，则流向容器壁的电流为零， 为满足器壁（边界上）Jn=0 ，应有三对像电极（即 三个像电流） 山东大学物理学院 宗福建 14

上一讲习题解答 2. 设容器壁为绝缘体，则流向容器壁的电流 为零， 为满足器壁（边界上）Jn=0 ，应有三 对像电极（即三个像电流） 山东大学物理学院 宗福建 15

本讲主要内容 分离变量法求解泊松方程 山东大学物理学院 宗福建 16

§2.4 分离变量法 我们知道静电场标势所满足的泊松方程为： 其特解之一为： 有限区域分布电荷，选无限远处电势为零时的解。 §2.4 分离变量法 我们知道静电场标势所满足的泊松方程为： 其特解之一为： 有限区域分布电荷，选无限远处电势为零时的解。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 对一般情况，设泊松方程的解为： 则， 即： 泊松方程的解为拉普拉斯方程的通解+泊松方程特解 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。 例如电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板 上所带电荷决定的；又如电子光学系统的静电透镜 内部，电场是由于分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是自由电荷只出现在一些导体的表 面上，在空间中没有其它自由电荷分布。因此，如 果我们选择这些导体表面作为区域V的边界，则在V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ，因而泊松方程化为比较 简单的拉普拉斯（Laplace）方程 。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 拉普拉斯（Laplace）方程的通解可以用分离变量法 求出。先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在 该坐标系中由分离变量法解拉普拉斯方程。最常用 的坐标系有球坐标系和柱坐标系。这里我们写出用 球坐标系得出的通解形式（见附录Ⅱ）。球坐标用 （R，θ，φ）表示，R为半径，θ为极角，φ为方位角。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 拉氏方程在球坐标系中的通解为 §2.4 分离变量法 拉氏方程在球坐标系中的通解为 式中 a n m ,b n m ,c n m 和 d n m 为任意常数，在 具体问题中由边界条件定出。Pnm（cosθ） 为缔和 勒让德（Legendre）函数。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势不 依赖于方位角φ，这情形下通解为 §2.4 分离变量法 若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势不 依赖于方位角φ，这情形下通解为 Pn（cosθ）为勒让德函数，an和bn由边界条件确定。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 Pn（cosθ）为勒让德函数 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 Pn（cosθ）为勒让德函数 山东大学物理学院 宗福建 24

§2.4 分离变量法 n=0时， 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 n=1时， 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 n=2时， 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 例1 电容率为 ε 的介质球置于均匀外电场 E0中， 求电势。 （取介质球球心处电势为零。） 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 解 介质球在外电场中极化，在它表面上产生束缚 电荷。这些束缚电荷激发的电场叠加在原外电场 E0 上，得总电场E 。束缚电荷分布和总电场E互相制约， 边界条件正确地反映这种制约关系。 设球半径为R0，球外为真空。 这问题具有轴对称性，对称轴 为通过球心沿外电场E0 方向的 轴线，取此轴线为极轴。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 介质球的存在使空间分为两均匀区域——球外区域 和球内区域。两区域内部都没有自由电荷，因此电 势φ都满足拉普拉斯方程。以φ1代表球外区域的电势， φ2代表球内的电势，两区域的通解为（an,bn,cn,和 dn是待定常数）。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 边界条件包括： （1）无穷远处， E → E0 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 边界条件包括： （2）取介质球心处电势为零。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 边界条件包括： （3）在介质面上： （R=R0） 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 所有系数已经定出，因此本问题的解为 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 电场为 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 球内的电场为 3ε0E0/(ε+2ε0)，因为 3ε0/(ε+2ε0)总小于1，所以球内的电场比原外场 E0 弱，这是由于介质球极化后在右半球面上产生正 束缚电荷，在左半球面上产生负束缚电荷，因而在 球内束缚电荷激发的场与原外场反向，使总电场减 弱。在球内总电场作用下，介质的极化强度为 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 介质球的总电偶极矩为 φ1中的第二项是这个电偶极矩所产生的电势 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 例2 总电荷为零的导体金属球置于均匀外电场 E0 中，求电势。（金属球表面处电势为零。） 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 解 金属球在外电场中产生感应电荷。这些 感应电荷激发的电场叠加在原外电场 E0上， 得总电场E 。感应电荷分布和总电场E互相制 约，边界条件正确地反映这种制约关系。 设球半径为R0，球外为真空。这问题具有轴 对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0 方向 的轴线，取此轴线为极轴。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 球外区域没有自由电荷，因此电势φ都满足拉普拉 斯方程。以φ代表球外区域的电势， an,bn, 是待 定常数。 §2.4 分离变量法 球外区域没有自由电荷，因此电势φ都满足拉普拉 斯方程。以φ代表球外区域的电势， an,bn, 是待 定常数。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 边界条件包括： （1）无穷远处， E → E0 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 边界条件包括： （2）取金属球表面电势为零。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 导体面上电荷面密度为 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 金属球外空间的电势为 导体面上电荷面密度为 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 设想这球壳被垂直于E0的平面分割成两个半 球壳。为了使这两个半球壳不致分开，需要 加多大的外力？（其中，面电荷所在处的电 场强度等于该面两边电场强度极值之和的一 半，即E=(E++E-)/2，E+和E-分别为从该面两边 趋于该面上同一点时电场强度的极限值。） 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 与介质球问题比较：介质球 金属球 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 例3 总电荷为Q的导体金属球置于均匀外电场 E0中， 求电势。（金属球表面处电势为零。） 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 解 金属球在外电场中产生感应电荷。这些 感应电荷激发的电场叠加在原外电场 E0上， 得总电场E 。感应电荷分布和总电场E互相制 约，边界条件正确地反映这种制约关系。 设球半径为R0，球外为真空。这问题具有轴 对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0 方向 的轴线，取此轴线为极轴。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 球外区域没有自由电荷，因此电势φ都满足拉普拉 斯方程。以φ代表球外区域的电势， an,bn, 是待 定常数。 §2.4 分离变量法 球外区域没有自由电荷，因此电势φ都满足拉普拉 斯方程。以φ代表球外区域的电势， an,bn, 是待 定常数。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 边界条件包括： （1）无穷远处， E → E0 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 边界条件包括： （2）取金属球表面电势为零。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 金属球外空间的电势为 导体面上电荷面密度为 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 金属球外空间的电势为 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 与介质球问题比较：介质球 金属球 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 例4 电容率为ε的均匀带电ρf介质球置于均匀外 电场 E0中，求电势。（取介质球心处电势为零。） §2.4 分离变量法 例4 电容率为ε的均匀带电ρf介质球置于均匀外 电场 E0中，求电势。（取介质球心处电势为零。） 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 解 介质球在外电场中极化，在它表面上产生束缚 电荷。这些束缚电荷激发的电场叠加在原外电场 E0 上，得总电场E 。束缚电荷分布和总电场E互相制约， 边界条件正确地反映这种制约关系。 设球半径为R0，球外为真空。这问题具有轴对称性， 对称轴为通过球心沿外电场E0 方向的轴线，取此轴 线为极轴。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 先不考虑均匀场的影响，则 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 介质球的存在使空间分为两均匀区域——球外区域 和球内区域。以φ1代表球外区域的电势， φ2代表 球内的电势，两区域的通解为，an,bn,cn,和dn是待 定常数。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 边界条件包括： （1）无穷远处， E → E0 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 边界条件包括： （2）取介质球心处电势为零。 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 边界条件包括： （3）在介质面上： （R=R0） 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 山东大学物理学院 宗福建

§2.4 分离变量法 所有系数已经定出，因此本问题的解为 对比均匀外场中带电金属球问题： 山东大学物理学院 宗福建

课下作业： 课下作业： 第71-73页，第6，7，8，18题。 补充题：用分离变量法求解接地金属球 外一个点电荷的势，和电像法相比较， 并证明其两个解是完全相同的。 山东大学物理学院 宗福建

课下作业：思考题 1、半径为R0的介质球置于均匀外电场E0中（真空），求空间电势和电 场分布。取介质球球心处的电势为零。 2、具有均匀外电场E0的均匀介质中有一个半径为R0的真空空洞，求空 间电势和电场分布。取空洞球心处的电势为零。 3、半径为R0的不带电导体球置于均匀外电场E0中（真空），求电势、 电场和导体上的电荷面密度。取导体球球面处的电势为零。 4、半径为R0的带电荷Q的导体球置于均匀外电场E0中（真空），求电 势、电场和导体上的电荷面密度。取导体球球面处的电势为零。 5、在均匀外电场E0中置入一带均匀自由电荷 ρf 的介质球(电容率 ε)， 求空间各点的电势和电场分布。取介质球球心处的电势为零。 山东大学物理学院 宗福建

谢谢！