粒子的波动性

实物粒子的波粒二象性、不确定关系

一、德布罗意物质波的假设 1.物质波的引入 光具有粒子性，又具有波动性。 光子能量和动量为 上面两式左边是描写粒子性的 E、P；右边是描写波动性的 、。 将光的粒子性与波动性联系起来。 　　1923年，德布罗意最早想到了这个问题，并且大胆地设想，对于光子的波粒二象性会不会也适用于实物粒子。 一切实物粒子都有具有波粒二象性。 实物粒子：静止质量不为零的那些微观粒子。

实物粒子的波粒二象性的意思是：微观粒子既表现出粒子的特性，又表现出波动的特性。 实物粒子的波称为德布罗意波或物质波，物质波的波长称为德布罗意波长。 2.德布罗意关系式 德布罗意把爱因斯坦对光的波粒二象性描述应用到实物粒子， 动量为 P 的粒子波长： 德布罗意公式 德布罗意是第一个由于博士论文（提出的物质波的假设）获得了诺贝尔奖。

例1：试计算动能分别为100eV、1MeV、1GeV的电子的德布罗意波长。 解：由相对论公式： 得： 代入德布罗意公式， ，有： 若：Ek<<m0c2 则：

若： Ek>>m0c2 则：

（1）当EK=100eV时，电子静能E0=m0c2=0.51MeV，有： 则： 以上结果与X射线的波长相当， （4）当EK= 1MeV 时，有：

例2：质量 m= 50Kg的人，以 v=15 m/s 的速度运动，试求人的德布罗意波波长。 （4）当EK= 1GeV 时， ，有： 例2：质量 m= 50Kg的人，以 v=15 m/s 的速度运动，试求人的德布罗意波波长。 解： 上面的结果说明宏观物体的波动性是不显著的，对宏观物体不必考虑其波动性，只考虑其粒子性即可。

3.从德布罗意波导出玻尔角动量量子化条件 电子在轨道运动时，当电子轨道周长恰为物质波波长的整数倍时，可以形成稳定的驻波，这就对应于原子的定态。 电子波动反映到原子中，为驻波。

例：求静止电子经 15000V 电压加速后的德波波长。 解：静止电子经电压U加速后的动能 由 代入

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1927年 C.J.戴维森与 G.P.革末作电子衍射实验，验证电子具有波动性。 4.德布罗意波的实验验证 探测器 电子束 电子枪 镍单晶 X 射线照在晶体上可以产生衍射，电子打在晶体上也能观察电子衍射。 1. 电子衍射实验1 1927年 C.J.戴维森与 G.P.革末作电子衍射实验，验证电子具有波动性。 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。

实验发现，电子束强度并不随加速电压而单调变化，而是出现一系列峰值。 当 U=54V, θ=500 时 电流有一峰值，此实验验证了电子具有波动性， 电子加速 电子束在两晶面反射加强条件：

再由： 电子衍射掠射角： 镍单晶 与实验值相差很小。 这表明电子具有波动性，实物粒子具有波动性是正确的。

动画 2. 电子衍射实验2 电子束在穿过细晶体粉末或薄金属片后，也象X射线一样产生衍射现象。 屏 P 多晶薄膜 高压 栅极 阴极 电子束在穿过细晶体粉末或薄金属片后，也象X射线一样产生衍射现象。 1927年 G.P.汤姆逊（J.J.汤姆逊之子） 也独立完成了电子衍射实验。与 C.J.戴维森共获 1937 年诺贝尔物理学奖。 动画 此后，人们相继证实了原子、分子、中子等都具有波动性。 13

5.德布罗意波的统计解释 究竟怎样理解波和它所描写的粒子之间的关系? 对这个问题曾经有过各种不同的看法。例如，有人认为波是由它所描写的粒子组成的。这种看法与实验不符。我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波真是由它所描写的粒子所组成，则粒子流的衍射现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的。但事实证明，在粒子流衍射实验中，照象片上所显示出来的衍射图样和入射粒子流强度无关，也就是说和单位体积中粒子的数目无关。如果减小入射粒子流强度，同时延长实验的时间，使投射到照象片上粒子的总数保持不变，则得到的衍射图样将完全相同。即使把粒子流强度减小到使得粒子一个一个地被衍射，照片上一次出现一个孤立的点，体现了电子的粒子性。只要经过足够长的时间，所得到的衍射图样也还是一样。这说明每一个粒子被衍射的现象和其他粒子无关，衍射图样不是由粒于之间的相互作用而产生的。

物质波振幅的平方与粒子在该处邻近出现的概率成正比。 电子出现的概率反映该处的波强。 电子密处，概率大。 粒子观点 电子疏处，概率小。 电子密处，波强大。 波动观点 电子疏处，波强小。 波强 振幅A2 粒子密度 概率 机械波是机械振动在空间传播，德布罗意波是对微观粒子运动的统计。

二、不确定关系 经典力学中，物体初始位置、动量以及粒子所在力场的性质确定后，物体以后的运动位置就可确定。但对微观粒子，因具有的波动性，其坐标和动量不能同时确定。我们不能用经典的方法来描述它的粒子性。 1.电子单缝衍射 播放动画

入射前电子在 x 方向无动量，电子通过单缝时位置的不确定范围为：a=Dx， 其第一级暗纹的衍射角满足： 电子通过单缝后，由于衍射的作用，获得 x方向动量 Px， 在x方向的动量的不确定量为： 代入德布罗意关系：

即 考虑到更高级的衍射图样，则应有： 即 量子力学严格证明给出： 式中： 由于公式通常只用于数量级的估计，所以它又常简写为： 推广到三维空间，则还应有：

1927年海森伯提出：粒子在某方向上的坐标不确定量与该方向上的动量不确定量的乘积必不小于普朗克常数。 2.海森伯不确定关系 1927年海森伯提出：粒子在某方向上的坐标不确定量与该方向上的动量不确定量的乘积必不小于普朗克常数。 海森伯不确定关系告诉我们：微观粒子坐标和动量不能同时确定。粒子位置若是测得极为准确，我们将无法知道它将要朝什么方向运动；若是动量测得极为准确，我们就不可能确切地测准此时此刻粒子究竟处于什么位置。 不确定关系是物质的波粒二象性引起的。 对于微观粒子，我们不能用经典的来描述。

例1：若电子与质量 m = 0. 01 Kg 的子弹，都以 200 m/s 的速度沿 x 方向运动，速率测量相对误差在 0 例1：若电子与质量 m = 0.01 Kg 的子弹，都以 200 m/s 的速度沿 x 方向运动，速率测量相对误差在 0.01% 内。求在测量二者速率的同时测量位置所能达到的最小不确定度 Dx 。 解：（1）电子位置的不确定度 电子动量不确定度

（2）子弹位置的不确定度 子弹动量不确定度 子弹 很小，仪器测不出， 用经典坐标、动量完全能精确描写。对微观粒子不能用经典力学来描写。

3.能量和时间的不确定关系 在量子力学中，对能量和时间的同时测量也存在类似的不确定关系，即：  E 表示粒子能量的不确定量，而t可表示粒子处于该能态的平均时间。 例1:某原子的第一激发态的能级宽度为 E=6 10-8电子伏，试估算原子处于第一激发态的寿命t。 解:根据时间与能量的不确定关系，有:

定义：两个量的相乘积与h有相同量纲（J.S）的物理量称为共轭量。 可以证明：凡是共轭的量都是满足不确定关系的。

例2:电子在原子大小范围( x=10-10米)内运动，试求电子所能有的最小动能。 解:根据时间与能量的不确定关系，有:

例3：电视机显像管中的电子枪的枪口约0.1mm，电子的加速电压为9kV，求电子束的纵向速度的不确定量。若电子枪到显示屏的距离为50cm,电子达到显示屏时的位置偏差为多少？ 解： 电子沿y方向的速度由： 电子到达荧光屏上时：

4. 不确定关系的物理意义 不确定关系是建立在波粒二象性基础上的一条基本客观规律，它是波粒二象性的深刻反应，也是对波粒二象性的进一步描述。 不确定关系是由物质本身固有的特性所决定的，而不是由于仪器或测量方法的缺陷所造成的。不论测量仪器的精度有多高，我们认识一个物理体系的精确度也要受到限制。 不确定关系说明经典描述手段对微观粒子不再适用。 不确定关系指明了宏观物理与微观物理的分界线。在某个具体问题中，粒子是否可作为经典粒子来处理，起关健作用的是普朗克恒量h的大小。

5. 不确定关系的应用 在原子尺度内， 是个良好的近似。  估算氢原子可能具有的最低能量 电子束缚在半径为r 的球内，所以 按不确定关系 当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量： 代入上式得：

处于基态的原子能量是稳定的应满足： 由此得出基态氢原子半径： 基态氢原子的能量： 与波尔理论结果一致。 本例还说明：量子体系有所谓的零点能。 因为若束缚态动能为零，即速度的不确定 范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大， 即不被束缚。这与事实相左。

 解释谱线的自然宽度 原子中某激发态的平均寿命为 普朗克 能量子假说 不确定关系 它能解释谱线的自然宽度 谱线的 自然宽度