3．1.5 空间向量运算的坐标表示
学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标． 2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直． 3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．
3.1.5 空 间 向 量 运 算 的 坐 标 表 示 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案 温故夯基
知新益能 1．空间向量的坐标运算 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)a＋b＝_______________________ ； (2)a－b＝_______________________ ； (3)λa＝________________ (λ∈R)； (4)a·b＝________________； (5)a∥b⇔________,________ ,_________ (λ∈R)； (6)a⊥b⇔___________________； (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1 a2＝λb2 a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
问题探究 提示：正确． 2．如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算之间的关系？ 提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一致．
课堂互动讲练 考点突破 空间向量的坐标运算 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时,向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．
例1
坐标形式下平行与垂直条件的应用 利用空间向量的坐标运算来解题，要熟练掌握以下两个常用的充要条件，若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a∥b⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
例2
互动探究 将本例中条件“若向量ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若向量ka＋b与a＋kb互相平行”，其他条件不变，求k的值． ∴ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， a＋kb＝(1,1,0)＋(－k,0,2k)＝(1－k,1,2k)，
利用向量的坐标表示求夹角和距离 利用空间直角坐标系解立体几何中的题，需首先建立空间直角坐标系，选取图中有公共起点且互相垂直的三条线段所在直线为坐标轴；再利用公式解决夹角、模等问题．
如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是DD1、BD、BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求CE的长． 例3
【名师点评】 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求，利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
方法感悟 1．空间向量在几何中的应用 有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直；利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用．
2．关于空间直角坐标系的建立 建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较方便的写出点的坐标．
知能优化训练
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