第六章 机械波 mechanical wave

教学基本要求 第六章 机械波 一 掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系； 教学基本要求 第六章 机械波 一 掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系； 二 理解机械波产生的条件. 掌握由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法. 理解波函数的物理意义. 三 了解惠更斯原理和波的叠加原理. 理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件； 四 理解驻波及其形成，了解驻波和行波的区别；

6-1 机械波的形成 波长 周期和波速 振动在空间的传播过程叫做波动 机械波 机械振动在弹性介质中的传播. 波动 电磁波 交变电磁场在空间的传播. 一、机械波的形成 　当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个部分之间的弹性力间的相互作用，振动就由近及远的传播出去 （１）机械波实质上是介质中大量质元参与的集体振动 （２）机械波产生的条件是： 1）波源； 2）弹性介质

二、横波与纵波 横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （仅在固体中传播 ） 特征：具有交替出现的波峰和波谷.

纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. （可在固体、液体和气体中传播） 特征：具有交替出现的密部和疏部.

y 三、描述波动的物理量 1.波长 ： 沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度. A O - 1.波长 ： 沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度. y O A - 2.周期 ： 波前进一个波长的距离所需要的时间.用T 表示。

* 周期或频率只决定于波源的振动。 3.频率 ： 周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目. 3.频率 ： 周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目. 由于波源作一次完全振动，波就前进一个波长的距离，所以 * 周期或频率只决定于波源的振动。 4.波速 ： 波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离.

说明 (1) 波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同。 (2) 波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度； 其大小主要决定于媒质的性质，与波的频率无关。 例如： a. 拉紧的绳子或弦线中横波的波速为： — 张力 — 线密度 b. 均匀细棒中，纵波的波速为： — 固体棒的杨氏模量 — 固体棒的密度

1、波线：沿波传播的方向画一些带箭头的线叫波线。 四、波线 波面 波前 1、波线：沿波传播的方向画一些带箭头的线叫波线。 2、波面：波源在某一时刻的振动相位同时到达的各点所组成的面，称为波面，又称为同相面。 波面有许多个，最前面的那个波面称为波前。 波面 波前 波线 平面波 波线 波前 球面波 平面波球面波在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直.

6-2 平面简谐波的波函数 简谐波： (harmonic waves)介质传播的是谐振动，且波所到 之处，介质中各质点作同频率的谐振动。 平面简谐波：波面为平面的简谐波 一、平面简谐波的波函数（波动方程） 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y( x, t ) 称为波函数. 各质点相对平衡位置的位移 波线上各质点平衡位置

P t 时刻点 P 的运动 设波源O的振动方程为 时间推迟方法 点O 的振动状态 点 P 时刻点O 的运动 P点在t时刻的位移为

由于P点是任意选取的，所以上式描述了在波的传播方向上，介质中任一点（距离原点为x）在任一时刻 t 的位移，这就是 x 方向传播的平面简谐波的波函数，也叫平面简谐波的波动方程。 波函数的其它形式

l 讨论: 1.沿x轴负向传播的平面简谐波波函数 O x P P点的振动状态在时间上超前O点 P点t时刻的位移 O点t+x/u时刻的位移

2.如图简谐波以余弦函数表示，求 O、a、b、c 各点振动初相位. t=T/4 t =0 O O O O

二、波函数的物理意义： (1) 对于给定的位置坐标(x = x0)，波动方程表示该处质点的振动方程。 (2) 对于给定时刻(t = t0)，波动方程表示该时刻波线上各质点分布情况，即为该时刻的波形方程。

(3) 若x和t 都是变量，波动方程表示波线上不同质点、不同时刻的位移。即波形的传播 t+t 时刻波形 波形以速度u向前传播。 *若波以速度u 沿x轴负方向传播，则波动方程为

例1 一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播，设波沿x轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为3 例1 一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播，设波沿x轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为3.0cm，振动频率为25Hz，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24cm。当t=0时，在x=0处质元的位移为零并向轴正向运动。试写出该波的波动方程。 解： x=0处质元的振动方程为： 波动方程为：

例题2 如图，实线为一平面余弦横波在t=0时刻的波形图，此波形以u=0 例题2 如图，实线为一平面余弦横波在t=0时刻的波形图，此波形以u=0.08m/s的速度沿X轴正向传播，试求：(1) a、b两点的振动方向；(2) O点的振动方程；(3) 波动方程。 解： O点的振动方程为 波动方程为

本次作业： 5-27、6-10、6-13 下次上课内容： 6-3——6-5

第十次作业 答案 5-7 (1) 设所求方程为 (2) P点相位为0， 5-10 相位差：

5-16 设该物体的振动方程为 已知： 得： 振动方程 (1) (2) 由旋转矢量得：

6-2 平面简谐波的波函数 简谐波： (harmonic waves)介质传播的是谐振动，且波所到 之处，介质中各质点作同频率的谐振动。 平面简谐波：波面为平面的简谐波 一、平面简谐波的波函数（波动方程） 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y( x, t ) 称为波函数. 各质点相对平衡位置的位移 波线上各质点平衡位置

P t 时刻点 P 的运动 设波源O的振动方程为 时间推迟方法 点O 的振动状态 点 P 时刻点O 的运动 P点在t时刻的位移为

由于P点是任意选取的，所以上式描述了在波的传播方向上，介质中任一点（距离原点为x）在任一时刻 t 的位移，这就是 x 方向传播的平面简谐波的波函数，也叫平面简谐波的波动方程。 波函数的其它形式

l 讨论: 1.沿x轴负向传播的平面简谐波波函数 O x P P点的振动状态在时间上超前O点 P点t时刻的位移 O点t+x/u时刻的位移

2.如图简谐波以余弦函数表示，求 O、a、b、c 各点振动初相位. t=T/4 t =0 O O O O

二、波函数的物理意义： (1) 对于给定的位置坐标(x = x0)，波动方程表示该处质点的振动方程。 (2) 对于给定时刻(t = t0)，波动方程表示该时刻波线上各质点分布情况，即为该时刻的波形方程。

(3) 若x和t 都是变量，波动方程表示波线上不同质点、不同时刻的位移。即波形的传播 t+t 时刻波形 波形以速度u向前传播。 *若波以速度u 沿x轴负方向传播，则波动方程为

例1 一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播，设波沿x轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为3 例1 一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播，设波沿x轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为3.0cm，振动频率为25Hz，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24cm。当t=0时，在x=0处质元的位移为零并向轴正向运动。试写出该波的波动方程。 解： x=0处质元的振动方程为： 波动方程为：

例题2 如图，实线为一平面余弦横波在t=0时刻的波形图，此波形以u=0 例题2 如图，实线为一平面余弦横波在t=0时刻的波形图，此波形以u=0.08m/s的速度沿X轴正向传播，试求：(1) a、b两点的振动方向；(2) O点的振动方程；(3) 波动方程。 解： O点的振动方程为 波动方程为

6-3 波 的 能 量 一、波动能量的传播 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能。 同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能。 以棒中的纵波为例分析波动能量的传播 设波在截面积为S的细棒中沿x方向传播，简谐波函数为： 棒上取一质元

质元的动能为： 质元的势能为： 质元的总能量为： 讨论 1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随 x，t 作周期性变化，且变化是同相位的。 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大。 体积元的位移最大时，三者均为零。

2）任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量。任一体积元的机械能不守恒。 波动是能量传递的一种方式。 能量密度与平均能量密度 (1) 单位体积内波的能量称为能量密度。 (2) 能量密度在一个周期内的平均值为平均能量密度。 结论：机械波的能量与振幅的平方、频率的平方以及介质的密度成正比。

S udt 二、波的能流和能流密度 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量 能流也是周期性变化的，其在一个周期内的平均值称为平均能流。 ( 波的强度 ) 单位时间，通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流。

6-4 惠更斯原理 波的衍射 一、惠更斯原理 　介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前。 根据惠更斯原理，可用几何作图方法，确定下一时刻的波前。 子波波源 波前 子波

波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播。 二、波的衍射 　波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播。 波的衍射 水波通过狭缝后的衍射

6-5 波 的 干 涉 一、波的叠加原理 几列波空间相遇后， 仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其它波一样。 在相遇区域内任一点的振动为各列波单独存在时在该点所引起的振动的合振动。

二、波的干涉条件和公式 频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.

* 波的相干条件 1) 频率相同 2) 振动方向平行 3) 相位相同或相位差恒定 设两个角频率都是  而且振动方向相同的波源S1、S2发出的两列相干波在介质中某点P相遇，P点与S1、S2的距离分别为r1和r2 波源振动 点P的两个分振动

P点的合振动为： 式中A和 如下确定： 可以看出A是与时间无关的稳定值，其大小取决于该点处两分振动的相位差

讨 论 　1) 合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的。 振动始终加强 2) 振动始终减弱 其他

3)   波程差 若 1=2 则 振动始终加强 振动始终减弱

例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波源。其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波峰时，点B 恰为波谷。设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉的结果。 解： 15m 20m A B P 设 A 的相位较 B 超前 点P 振动减弱，合振幅为：

6-6 驻 波 一、驻波的产生 产生条件：1. 相干波 2. A,u相同 3.方向相反 6-6 驻 波 一、驻波的产生 驻波是由振幅相同的两列同类相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成，是一种特殊的干涉现象. 产生条件：1. 相干波 2. A,u相同 3.方向相反

驻波的特点： （1）有波形，却无波形传播（无相位，能量传播） （2）各质点在分段上振动，但振幅不等 （3）各分段上振动相位相同，相邻两分段的振动相位相反

二、驻波方程 设向右传播和向左传播的波的表达式分别为： 叠加后，介质中各处质点的合位移为： 1、驻波的振幅 不同点的振幅不同，振幅最大的点为波腹，振幅为零的点为波节。

相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在波节处产生  的相位跃变 。 波腹处的坐标满足条件： 波节处的坐标满足条件： 相邻波腹(节)间距 2、驻波的相位 波腹 相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在波节处产生  的相位跃变 。 波节 x

1) 没有波形的推进，也没有能量的传播，参与波动的各个质点处于稳定的振动状态。 3、驻波的波形特点 振源 固定端反射 软绳 自由端反射 1) 没有波形的推进，也没有能量的传播，参与波动的各个质点处于稳定的振动状态。 当形成驻波时 驻波实质上是一种特殊的振动！ 2) 各振动质点的振幅各不相同，但却保持不变，有些点振幅始终最大，有些点振幅始终为零。 四、半波损失 当波由波疏介质垂直向波密介质入射并在分界面反射时，反射波在分界处有 相位的突变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失。 有 相位突变 总是出现波腹 总是出现波节

波密 波疏 (有相位突变） (无相位突变） 波疏 波密

本次作业： 6-11、6-14、6-20 下次上课内容： 习 题 课（四）