一樑係由兩種或多種不同材料所構成則稱之為複合樑 (composite beams)。 工程師故意以能更有效的承受作用負載之方法來設計樑。 第6章 彎　曲 254 *6.6　複合樑 一樑係由兩種或多種不同材料所構成則稱之為複合樑 (composite beams)。 工程師故意以能更有效的承受作用負載之方法來設計樑。 蓋因樑之彎曲公式推導時其材料乃均質的，故此公式不能直接用於求複合樑內之正向應力。 以修正或“轉換”此樑之截面為單一材料製成之樑。 利用應力分佈，基於試誤法 (trial-and-error) 吾人可定出中性軸位置及樑內最大應力。這些須滿足應力分佈在截面上產生零合力及應力分佈對中性軸之力矩等於 M。

第6章 彎　曲 254

254 一較簡單方法為將樑轉換成單一材料。 因須保留圖6-36(b) 中應變分佈，故樑中高度 h 維持不變。然而，為了能承載一相當於圖6-36(c) 中剛性材料 1 所承載之負荷，此樑上部分別須較寬廣。 此無因次數字 n 稱之為轉換因子 (transformation factor)。其表示欲將材料1轉換為材料2，此時在圖6-36(a) 中具寬度 b 原始樑之截面須將材料1之寬度增加為 b2 = nb 如圖6-36(e)。 (6-20) 第6章 彎　曲

第6章 彎　曲 255

故須將轉換截面上應力乘以轉換因數 n ( 或 n')。亦即， 256 故須將轉換截面上應力乘以轉換因數 n ( 或 n')。亦即， (6-21) 第6章 彎　曲

 一旦經轉換後的截面上應力求得後，實際樑中的應力須乘上此轉換因子，方可得知。 第6章 彎　曲 256  複合樑是由不同材料所製，以便承載更有效率的負載。而應用彎曲公式需要均勻的材料，因此樑的截面須轉換成單一材料，如此彎曲公式方可用來計算其彎曲應力。  轉換因子即為組成樑之不同材料的彈性模數的比值。類似倍增器，可將複合樑之截面尺寸轉換成單一材質所需之尺寸，而且仍使此樑擁有原組合樑的強度。剛性材料因此可以較多的較軟材來替代，反之亦然。  一旦經轉換後的截面上應力求得後，實際樑中的應力須乘上此轉換因子，方可得知。

256 *6.7　補強混凝土樑 當混凝土承受拉伸時，對於抵抗脆裂 (cracking) 非常脆弱。故其本身不適於抵抗彎矩。為了克服此項缺點，工程師在混凝土拉伸區置一鋼補強桿於混凝土樑間圖，這些桿應置於樑之中性軸最遠處，使得桿之內力對中性軸之力矩為最大。 第6章 彎　曲

第6章 彎　曲 256

第6章 彎　曲 257 6-21

第6章 彎　曲 257

第6章 彎　曲 258

第6章 彎　曲 258

第6章 彎　曲 259 6-22

第6章 彎　曲 259

第6章 彎　曲 259

第6章 彎　曲 259

彎曲公式適用於直的 (straight) 稜柱體構件，因其力對直的構件之正向應變從中性軸線性變化推導而得。 第6章 彎　曲 260 *6.8　曲　樑 彎曲公式適用於直的 (straight) 稜柱體構件，因其力對直的構件之正向應變從中性軸線性變化推導而得。 曲樑 (curved beam) 分析，即一構件具一曲軸並承受彎曲。典型例子如吊鉤及節鏈。

為便於分析，確認在圖6-40(a) 中從構件曲率中心 O' 延伸之三種半徑。分別敘述如下： 表示截面面積 第6章 彎　曲 260 為便於分析，確認在圖6-40(a) 中從構件曲率中心 O' 延伸之三種半徑。分別敘述如下： 表示截面面積 形心之已知位置表示中性軸未確定位置，r 則表示在截面上任意點或面積元素 dA 位置。注意，中性軸位在截面間，因彎矩 M 使樑頂部纖維呈壓縮及其底部纖維拉伸，並且，由定義知中性軸係一具零應力及應變之線。 (6-22)

第6章 彎　曲 260

截面上面積元素 dA 之任意位置，係從構件曲率中心 O' 定出。 第6章 彎　曲 261 (6-23) 式中 R = 中性軸位置，係從構件曲率中心 O' 定出。 A = 構件截面面積。 r = 截面上面積元素 dA 之任意位置，係從構件曲率中心 O' 定出。 式 (6-23) 中積分項，對各種幾何截面均可經由計算而得。一些常見截面之結果已示於表6-1中。

第6章 彎　曲 261

從曲率中心至中性軸量測之距離，由式 (6-23) 求得。 R = 第6章 彎　曲 262 (6-24) 構件截面面積。 A = 從曲率中心至中性軸量測之距離，由式 (6-23) 求得。 R = 從曲率中心至截面面積形心之量測距離。 從曲率中心至欲求應力點之量測距離。 內彎矩，係由截面法及平衡方程式及對截面中性軸求得。若其傾向於增加構件曲率半徑 i.e.，傾向於拉開構件則為正。 M = 構件中正向應力。  = 式中

由圖6-40(a)，y = Rr 或 r = Ry。而 為一很小距離常數。將其代入式 (6-24)，吾人可寫出 第6章 彎　曲 262 由圖6-40(a)，y = Rr 或 r = Ry。而 為一很小距離常數。將其代入式 (6-24)，吾人可寫出 (6-25) 上面兩條方程式稱之為曲樑公式，如同彎曲公式，其乃用於求彎曲構件之正向應力分佈。 應力作用在樑圓周方向，有時稱為周向應力 (circumferential stress)。 對於曲率半徑大於構件深度5倍以上，則彎曲公式可正常地用於求解應力，其值比由曲樑公式所得約少7%。當曲率半徑 - 深度比超過5時，則誤差值更少。

第6章 彎　曲 262

 當曲率半徑小於樑5倍的深度時，曲樑公式應可用來求樑中周向應力。 第6章 彎　曲 263  當曲率半徑小於樑5倍的深度時，曲樑公式應可用來求樑中周向應力。  由於樑的彎曲率，因此曲樑中的正向應變並不會像直樑中一樣隨縱深呈線性的變化。  因彎曲所產生的徑向應力分量，通常可以忽略，尤其是當截面為實心截面且非薄板。

截面性質 263 為了使用曲樑公式，建議採取下列步驟：  求截面面積 A 及 形心位置，其由曲率中心量測。 第6章 彎　曲 263 　　為了使用曲樑公式，建議採取下列步驟： 截面性質  求截面面積 A 及 形心位置，其由曲率中心量測。  應用式 (6-23) 或表6-2定出中性軸位置 R。若截面面積係由 n 個“組合”部分組成，對各部分求 。然後，對於整個截面，由式 (6-23)， 。所有情況， 。

第6章 彎　曲 263 正向應力  利用式 (6-24) 可求得在距離曲率中心 r 位置之點的正向應力。若從中性軸至點的量測距離為y，則計算 並應用式 (6-25)。  因 值非常小，最好以足夠的準確度求及以便相減所得具至少三位有效數字。  若此值為正則應力為拉伸，而若此值為負則應力為壓縮。  吾人可繪出作用在截面上之應力分佈，或材料體積元素並示出在截面上已求得此點之應力。

第6章 彎　曲 263 6-24

第6章 彎　曲 263

第6章 彎　曲 264

第6章 彎　曲 264