§4一般逻辑系统 定义18.17:一个逻辑L是由下述集合所组成的系统:元素(称为命题)集P;函数集V(这些函数都是从P到某个值集W的,称为赋值.特别若|W|>2则称L为多值逻辑系统);以及对应于P的每个子集A导出P中元素的有限序列集(称为由前提A得到的证明)。

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定义18.2:设X是可列集,X上的自由T-代数称为X上关于命题演算的命题代数,记为P(X),并称X为命题变量集,X中的元素称为命题变元,P(X)中的每个元素称为命题演算的合式公式,简记为wff,仅由一个命题变元符组成的合式公式称为原子公式,所有原子公式全体称为原子公式集。
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§4一般逻辑系统 定义18.17:一个逻辑L是由下述集合所组成的系统:元素(称为命题)集P;函数集V(这些函数都是从P到某个值集W的,称为赋值.特别若|W|>2则称L为多值逻辑系统);以及对应于P的每个子集A导出P中元素的有限序列集(称为由前提A得到的证明)。

例如:X上命题演算的逻辑,记为Prop(X),它是由集合P=P(X)(X上自由命题代数),所有的P(X)到Z2同态映射集V,以及满足定义18 例如:X上命题演算的逻辑,记为Prop(X),它是由集合P=P(X)(X上自由命题代数),所有的P(X)到Z2同态映射集V,以及满足定义18.13的证明集组成,后者包含从P(X)的每个子集A导出P(X)中元素的有限序列(称为由假设A得到的证明)集。

在逻辑L中,语义蕴含由赋值所定义,记号A╞p读成“A语义蕴含p”或称“p是A的后件”,语法蕴含由证明所定义,记号A┣p读成“A语法蕴含p”或称“p是A的推导”。若╞p,则称p是L的重言式;若┣p,则称p是L的定理。 定义18.18:如果A┣p必有A╞p,则称逻辑L是可靠的(sound)。 定义18.19:如果F不是L的定理,则称逻辑L是协调的(consistent)。

定义18.20:如果A╞p必有A┣p,则称逻辑L是完备的(complete)。 可靠性和完备性把真值和证明联系起来,而协调性则是纯语法性质,即任何逻辑都不会导致矛盾。 定义18.21:如果存在一个算法,对逻辑L的每个命题p,能在有限步内确定p是否为重言式,则称逻辑L是有效性可判定的。 定义18.22:如果存在一个算法,对逻辑L的每个命题p,能在有限步内确定p是否为定理,则称逻辑L是可证明性可判定的

§5 命题演算的性质 定理18.8(可靠性定理):设AP(X),pP(X)。若A┣p,则有A╞p。简言之:Ded(A) Con(A)。 证明:设p1,…,pn=p是从A推导p的证明序列,要证明的是p为A的后件。 设v是P(X)到Z2的赋值,且v(A){1},施归纳于证明序列长度n。 n=1,则p=p1,故pA∪A,由习题18.6知每个公理都是重言式,且v(A){1},所以v(p)=1。

现假设n>1,且对任何nk,若p可从A用 nk步证明序列推出,必有A╞p。 pn=p有下述两种情况: (i)pnA∪A,因此有v(pn)=1, (ii)对某个i,j<n,有pi=pjpn,此时 v(pi)=v(pjpn),由v的同态性质知: v(pi)=v(pj)v(pn),故v(pn)=1。

推论20.3:(协调性定理):F不是Prop(X)的定理。

定义18.23:设AP(X),若FDed(A),则称A是协调的。若A是协调的,且对任何BP(X),当B真包含A时,B必定不协调,则称A是极大协调子集。

引理18.3:设AP(X),则A是极大协调子集当且仅当 (i)FA,并且 (ii)A=Ded(A),并且 (iii)对所有的pP(X),或者pA或者pA。 证明:(1)A是极大协调子集,则(i),(ii) 和(iii)成立. (2) 若(i),(ii)和(iii)成立,则A是极大协调子集.

引理18.4:设A是不协调的,则存在A的有限子集是不协调的。 引理18.5:设A是P(X)的协调子集,则A必被某个极大协调子集所包含。 用构造方法 (1)构造一组协调子集序列n和* (2)证明n是协调的 采用归纳法 (3)证明*是极大协调子集 先证*是协调的,采用反证法 再证*是极大的

定理18.9(可满足性定理):设A是P(X)的协调子集,则存在赋值v:P(X)Z2,使得v(A) {1}。 0元运算:v(F)=0 二元运算: (1)qM (2)pM (3)pM, qM

定理18.10(完备性定理):设AP(X),pP(X),若在Prop(X)中有A╞p,则在 Prop(X)中有A┣p。 引理18.6:设w=w(x1,…,xn)P(X),则╞w当且仅当w的真值函数fw是常值函数1。 定理18.11:Prop(X)的有效性是可判定的 推论18.4:Prop(X)是可证明性可判定的。

x>3,就无法用命题的形式来表示, 含有变量。 不能断定x>3是真还是假。 只有用变量x代之以具体的值时, 如以5代替x的值时:就变成5>3,这是一个真命题。 而当x取值为2时,就是2>3,成了一个假命题。

在数学中有下面三个命题: P: 所有的有理数都是实数。 Q: 3是有理数。 所以 R:3是实数。 当前面两个命题为真时,可得出第三个命题也是真的。即第三个命题是前两个命题的逻辑推论。 用符号P,Q,R分别表示这三个命题,则应有{P,Q}╞R, 但在命题逻辑中是无法得出此结论的。 需要引进新的逻辑系统——谓词逻辑

作业: P241 14