第二模块 函数、极限、连续 第七节 无穷小量的比较 第二模块 函数、极限、连续 第七节 无穷小量的比较 定义 设 ( x ) 和 b ( x ) 为( x → x0 或 x → ) 两个无穷小量. 若它们的比有非零极限， 即 则称 (x ) 和 b (x ) 为同阶无穷小. 若 c = 1，则称 ( x ) 和 b (x ) 为等价无穷小量， 并记为 ( x ) ~ b ( x )，( x → x0 或 x → ) .
例如，在 x → 0 时 sin x 和 5 x 都是无穷小量， 且 所以当 x → 0 时，sin x 和 5 x 是同阶无穷小量. x ，sin x，tan x， 1 - cos x，ln(1 + x) 等都是无穷小量. 又如，因为在 x → 0 时，
并且 所以，当 x → 0 时， x 与 sin x， x 与 tan x， x 与 ln(1 + x ) 都是等价无穷小量， 即 x ~ sin x， x ~ tan x， ln(1 + x) ~ x.
定义 设 ( x ) 和 b (x ) 为 x → x0 (或 x → ) 时的无穷小量， 若它们的比的极限为零，即 则称当 x → x0 (或 x → )时， ( x ) 是 b ( x ) 的高阶无穷小量， 或称 b ( x ) 是 ( x ) 的低阶无穷小量，记为 ( x ) = o (b ( x )) . 例如， x2, sin x 都是 x → 0 时的无穷小量, 且 所以，当 x →0 时， x2 是 sin x 的高阶无穷小量，即 x2 = o(sin x).
定理 1 设 ( x ) ~ 1( x )，b ( x ) ~ b1( x )， 且 存在(或无穷大量)， 则 也存在或(无穷大量)， 并且
证 由定理条件可知 因此有 即可仿上面的证法 .
例 1 解 因为 x →0 时， ln (1 + x) ~ x， ex - 1 ~ x， 所以
例 2 解 因为 x →0 时， tan 5x ~ 5x， 所以
例 4 解
若直接用 x 代替 tanx 及 sinx， 则 是错误的. 因为，虽然 tanx x，sinx x ，但 tanx - sinx 0 则不成立，因此，这里用 0 代替 tanx – sinx 是错误的.