目标 重点 难点 从具体情境中抽象出抛物线的模型，掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题.. 抛物线的定义和标准方程 难点 抛物线标准方程的推导过程

广东省阳江市第一中学周游数 4

· · · 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征： 复习回顾： e=1 (其中定点不在定直线上) (1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线; l F · M e＞1 · M F l 0＜e ＜1 · F M l e=1 知识要点1 那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？ 5

提出问题： 如图，点 是定点， 是不经过点 的定直线。 是 上任意一点，过点 作 ，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？ H M F 几何画板观察

· ? l e=1 问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？ 我们把这样的一条曲线叫做抛物线. M F 可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

· d 为 M 到 l 的距离 |MF|=d l e=1 一、抛物线的定义: d 在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线. 焦点 |MF|=d 点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线 准线 d 为 M 到 l 的距离 知识要点2 8

二、标准方程的推导 y x 解：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy. M(x,y) 依题意得 两边平方,整理得 这就是所求的轨迹方程.

﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 三、标准方程 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？ 把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上. 且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离 焦点坐标是 准线方程为: 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？ ﹒ y x o ﹒ y x o ﹒ y x o ﹒ y x o 例1 方案(1) 方案(2) 方案(3) 方案(4) 10

四．四种抛物线的对比 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py 准线方程 焦点坐标 标准方程 图 形 x F O y l 四．四种抛物线的对比 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) P的意义:抛物线的焦点到准线的距离 x2=2py (p>0) 方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点的位置. x2=-2py (p>0)

想一想 求P！ 数形共同点: (1)原点在抛物线上; (2)对称轴为坐标轴; (3)焦点到准线的距离均为P； (1)原点在抛物线上; (2)对称轴为坐标轴; (3)焦点到准线的距离均为P； (4) 焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。 口诀: 对称轴要看一次项,符号确定开口方向; （看x的一次项系数,正时向右,负向左; 看y的一次项系数,正时向上,负向下.） 求P！ 想一想 求抛物线的标准方程、焦点坐标、 准线方程时，关键是求什么？

思考： 二次函数 的图像为什么是抛物线？ 当a>0时与当a<0时，结论都为：

例1 （1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程

（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求抛物线的标准方程

l x o y F 解：（2）因为焦点在 y 轴的负半轴上，并且 （0,－2） p 2 解：（2）因为焦点在 y 轴的负半轴上，并且 = 2，p = 4 ，所以所求抛物线的标准方程是 x2 =－8y .

（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程 y 2 =－4 x

y l x F o X = 1 解：（3）因为准线方程是 x = 1，所以 p =2 ，且焦点在 x 轴的负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是 y2 =－4x .

（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程

解：（4）因为(3，2)点在第一象限，所以抛物线的开口方向只能是向右或向上，故设抛物线的标准方程是 y2 = 2px（p>0），或 x2 = 2py（p>0），将（3，2）点的坐标分别代入上述方程可得抛物线的标准方程为 y (3,2) x o y 2 = x 或 x 2 = y 4 3 9 2

y2 =12x y2 =x y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y 课堂练习： 1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： y2 =12x （1）焦点是F（3，0）； （2）准线方程 是x == ； y2 =x （3）焦点到准线的距离是2。 y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y 2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2 = 20x (2)x2= y (3) (4)x2 +8y =0 焦点坐标 准线方程 (1) (2) (3) (4) 例3 （5，0） x=-5 y= - — 1 8 （0，—） 1 8 （0，-2） y=2 21

例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。

解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。 设抛物线的标准方程是 ，由已知条件 可得，点A的坐标是 ，代入方程，得 即 所以，所求抛物线的标准方程是 ，焦点的坐标是

应用提高 抛物线 上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.

作业及练习 25

A. B. C. D. （2000.全国）过抛物线 的焦点 作一 条直线交抛物线于 ， 两点，若线段 与 的长分别为 ，则 等于（ ） （2000.全国）过抛物线 的焦点 作一 条直线交抛物线于 ， 两点，若线段 与 的长分别为 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 分析：抛物线 的标准方程为 ，其 焦点为 . 取特殊情况，即直线 平行与 轴， 则 ，如图。 故

思考题：抛物线的方程为x=ay2（a≠0)求它的焦点坐标和准线方程？

抛物线的方程为x=ay2（a≠0)求它的焦点坐标和准线方程？ ∴2p= 1 a 解：抛物线标准方程为：y2= x 1 a ①当a>0时, , 抛物线的开口向右 p 2 = 1 4a 4a 1 ∴焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x= ②当a<0时, , 抛物线的开口向左 p 2 = 1 4a ∴焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x= 4a 1

. 例3点M到点F(4，0)的距离比它到直线l: x+5=0 的距离小 1，求点M的轨迹方程。 解（直接法）： y l M 设 M(x，y)，则由已知，得 l y . o x M F |MF|+1=|x+5| 另解(定义法)： 由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离. 点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线. 由抛物线定义知：

． 2 p X0 + — 思考题 : M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点， 若点M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离 是——————————. X0 + — 2 p O y x ． F M

练习1 求适合下列条件的标准方程。 （1）焦点为（6，0） （2）焦点为（0，-5） （3）准线方程为 （4）焦点到准线的距离为5。

点拨：求抛物线的标准方程关键是知道标准方 练习2： 的准线与直线x=1的距离为３， 设抛物线 求抛物线方程 这时抛物线的方程是 时，抛物线的方程是 解得 解：当 时,由２p=m,得 这时抛物线的标准方程是 抛物线的准线与直线 的距离为３ 点拨：求抛物线的标准方程关键是知道标准方 程的类型和ｐ的值

能力提升 1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上一点M(-3，m)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程. 2、求顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线且截直线2x-y+1=0所得的弦长为 的抛物线的方程. 解：设所求的抛物线方程为y2=mx 把y=2x+1代入y2=mx化简得： 4x2+(4-m)x+1=0

所以所求的抛物线方程为y2=12x或y2=-4x. 注意：

(2009山东卷理)设双曲线 的一条渐近线与 A. B. 5 C. D. 抛物线y=x D +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).

B 的面积为4,则抛物线方程为( ). A. (2009山东卷文)设斜率为2的直线 过抛物线 的焦点F,且和 轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点) 的面积为4,则抛物线方程为( ). B A. B. C. D.

1、已知抛物线的标准方程是(1)y2=-6x,(2)x2=6y, 求它的焦点坐标和准线方程. 选做作业： 1、已知抛物线的标准方程是(1)y2=-6x,(2)x2=6y, 求它的焦点坐标和准线方程. 2、根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)焦点坐标是(0,4); (2)准线方程是y=-4; (3)经过点A(-3,2); (4)焦点在直线4x-3y-12=0上; (5)焦点为椭圆x2+4y2=4的顶点. x y O Ｈ F M 3、抛物线x2=4y上一点M的纵坐标为4,则点M与抛物线焦点的距离为 . 5

D C 4.过抛物线y2=4x的焦点，作直线L交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|=______. 5.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为( ) (A)1/8 (B)-1/8 (C)8 (D)-8 6.已知抛物线 的焦点F和点A(-1,8),P为抛物线上的点，则 的最小值是（ ） （A) 16 (B) 6 (c) 12 (D) 9 7.一动圆圆心在抛物线 上，过点（0，1）且恒与定直线l相切，则直线l的方程为 （ ） （A)x=1 (B) (C) y=-1 (D) 8 B D C

焦 点 到 准 线 的 距 离 1.抛物线的定义: 2.抛物线的标准方程有四种不同的形式: 每一对焦点和准线对应一种形式. 3.p的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离 4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向． 知识要点3 39