平面向量的数量积
问题情境 W=│F││S│COSθ θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。 如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为: θ F A 如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为: θ W=│F││S│COSθ θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
. 1、向量的夹角 已知两个非零向量 和 ，在平上任取一点O，作向量 OA= , = ,则 叫做向量 与 的夹角 1) 与 的夹角 0° 指出下列图中两向量的夹角 A O B . 2） 4） 3） 1） 1) 与 的夹角 0° 2） 与 的夹角180° 4） 与 的夹角 3） 与 的夹角 （当 时， 与 ＿＿；当 时， 与 ＿＿当 时， 与 ＿＿，记作 ） 同向 反向 垂直
2、数量积的定义 已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们 把数量 叫做向量 与 的数量积（内积）记作 即 并规定 已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们 把数量 叫做向量 与 的数量积（内积）记作 即 并规定 思考1：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？ 向量的加减的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。 （这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）
a b 思考2：在下列各图中作出││COSθ的几何图形，并说明它的几何意义是什么？ B O A 1） 思考2：在下列各图中作出││COSθ的几何图形，并说明它的几何意义是什么？ O A B 2） a b 3） 过 的终点B作OA＝ 的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得 =│ │COSθ 投影是向量吗 │ │COSθ叫做向量b在向量a上的投影。 投影是一个数值（实数），当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，它是负值。 时│ │COSθ＝＿＿ 时 │ │COSθ＝＿＿ 时 │ │COSθ＝＿＿ │b│ －│b│
a·b的几何意义： O A B θ |b|cosθ a b B1 等于 的长度 与 的乘积。
重要性质: 设 是非零向量， 方向相同的 单位向量， 的夹角，则 O A B θ a b B1 特别地
× × × × √ √ 5、反馈练习:判断正误 （1）若a=0，则对任意向量b，有a•b=0 （3）若a为非零向量，且a•b=0，则b=0 （4）若a•b=0，则a=0或b=0 （5）对任意向量a有 a²=|a|² （6）若a为非零向量且a•b=a•c 则b=c 5、反馈练习:判断正误 √ × × 向量的数量积是向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的 × √ ×
6、典型例题分析
例题 进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又 要根据两个向量方向确定其夹角
7、课时作业： 24 1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p•q 2、设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－ ，求a和b的夹角 3、已知 中，AB＝a，AC＝b 当a•b<0时， 是＿＿＿三角形； 当a•b=0时， 是＿＿＿三角形 4、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影 5、已知 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA 24 135° 钝角 直角 作业5 －20
8、总结提炼 （1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质 （2）向量的数量积的物理模型是力做功 （1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、 几何意义及其性质 （2）向量的数量积的物理模型是力做功 （3）a•b的结果是一个实数（标量） （4）利用a•b=│a││b│COSθ ，可以求两向量 的夹角，尤其是判定垂直 （5）两向量夹角的范围是 （6）五条基本性质要掌握 (7) 德育与美育的渗透
证明向量数量积性质4 (4) │ • │ │ ││ │ 因为 所以│ • │ =│ ││ ││COSθ│ 又│COSθ│ 1 所以│ • │ │ ││ │ 思考：在什么情况下取等号？
反馈练习（2） 若a 0，则对任意非零向量b，有a• b 0吗？ 分析：对两非零向量a、b ，当它们的夹角 时 a•b=0
反馈练习（6） 若a 0，且a•b= a•c ，则b= c(× ) 分析：由右图易知，虽然 a•b= a•c ，但b c a c b 返回
已知 中a＝5，b＝8 ，∠C＝60°，求BC•CA 解：BC•CA＝ a•b=│a││b│COS(180°- 60°) 课堂作业5 已知 中a＝5，b＝8 ，∠C＝60°，求BC•CA 解：BC•CA＝ a•b=│a││b│COS(180°- 60°) =5 ×8 ×cos 120° =-20 A C B 60° 120° a b D