正方形的性质.

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正方形的性质

你预习了吗? (1)正方形的定义? 有一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 (2)正方形的性质? 正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等。 正方形性质定理2:正方形的两条对 角线相等并且互相垂直平分,每一条对 角线平分一组对角。

如图,已知正方形ABCD,延长AB到E,作AG⊥EC于G,AG交BC于F, 求证:AF=CE。 1 2

已知:如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O;正方形A’B’C’D’的顶点A’与点O重合,A’ B’交BC于点E,A’D’交CD于点F,求证:OE=OF 4 3 5 2 1 E

(1)观察四边形OECF的面积与正方形ABCD的面积有何关系? (2)如果将正方形A’B’C’D’换成扇形OB’D’,满足什么条件时上述的关系还成立吗?

已知:如图,在正方形ABCD 中,E是BC的中点,点F在 CD上,∠FAE=∠BAE, 求证:AF=BC+FC G

已知:如图,在正方形ABCD 中,E是BC的中点,点F在CD 上,∠FAE=∠BAE, 求证:AF=BC+FC G

如图4-54,正方形ABCD,AB=4a,M为AB的中点,ED=3AE。 (1)求ME的长。 (2)求证△EMC为直角三角形。

如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,且AE⊥BF,垂足为M。 求证:AE=BF

G 2 F M M 3 1 E’ E E

G G F F F M F’ M M H E E E’ E

正方形的判定方法 请同学们回答以下问题: ①对角线相等的菱形是正方形吗?为什么? ②对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么? ③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么? ④四条边都相等的四边形是正方形吗?为什么? ⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗?

判定方法 1)矩形、菱形法:先判定四边形是矩形,再判定这个矩形是菱形(一组邻边相等的矩形);或者先判定四边形是菱形,再判定这个菱形也是矩形(有一个角是直角的菱形)。 (2)定义法:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形,这是直接利用定义来判定的。

例1 已知:如图4-53,点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA'=BB'=CC'=DD'。