《线性代数》 下页结束 返回下页 任课教师：王传伟 部 门：信息学院 办公室：文理大楼 725 室 电 话： 0538-8242504 ： 快 乐 学 习快 乐 学 习 Linear Algebra Fetion No ： 13953895638 QQ.

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1 《线性代数》 下页结束 返回下页 任课教师：王传伟 部 门：信息学院 办公室：文理大楼 725 室 电 话： 0538-8242504 E-mail ： tw516@sdau.edu.cn 快 乐 学 习快 乐 学 习 Linear Algebra Fetion No ： 13953895638 QQ No ： 490278531

2 《线性代数》 下页结束 返回 一、研究对象 三、核心方法 二、研究工具 下页 以讨论线性方程组的解为基础，研究线性空间的结 构、线性变换的形式. 《线性代数》研究对象与逻辑结构概述 利用矩阵 ( 向量 ) 理论, 求解线性方程组. 通过初等 ( 线性 ) 变换，将方程组化为最简形式的同解 方程组求解.

3 《线性代数》 下页结束 返回 四、逻辑结构 下页 《线性代数》研究对象与逻辑结构概述 线性 方程组 矩阵 理论 行列式 Cramer 法则 矩阵对角化 二次型的化简 线性 变换 初等变换

4 《线性代数》 下页结束 返回 五、两个基本问题 下页 方程组有解？ 是唯一解？ 无解，停 求唯一解，停 求通解，停 Y N Y N 例1．例1． 显然，此方程组无解. 例2．例2． 显然，此方程组有无穷多解. a 11 x 1  a 12 x 2    a 1n x n  b 1 a 21 x 1  a 22 x 2    a 2n x n  b 2 a m1 x 1  a m2 x 2    a mn x n  b m      例3．例3． 此方程组如何求解 ？

5 《线性代数》 下页结束 返回 六、参考书推荐 3. 清华大学李永乐主编的《考研数学复习全书》, 《线性代数 辅导讲义》《数学基础过关 660 题 》 2. 清华大学居余马的《线性代数》（清华大学出版社，第二 版）， 可以说专门为考研编写的，许多例题就直接来源于经济类考研 题目。以及与教材配套的辅导教材 《线性代数学习指南》 1. 同济大学数学系编《线性代数》第五版 及其配套的学习辅导 书《线性代数附册学习辅导与习题全解》, 更贴近工科类本科学生. 4. 叶盛标主编的《考研数学思维定势与常考题型》、《考研 数学秘诀》、《考研数学经典考题解读》 七、基本要求 理解内在逻辑, 掌握运算技能 ; 记录分析思路 ; 及时完成作业. 0. 《线性代数学习指导》 与教材 《线性代数》 配套的学习辅导书 ( 每章包含 : 基本内容、基本要求、疑难解析、例题解析、习题解答 )

6 《线性代数》 下页结束 返回下页 附 1 ： 关于作业和作业纸问题 1 ．统一要求使用专用的作业纸 (90 页 ) ；作业纸不足者， 可联合购买使用，由课代表联系任课教师办理； 2 ．作业由课代表同学收齐后，于下周第一次课前交给 任课老师，并注意以下问题： ①作业首页上写清楚个人的 序号, 姓名, 班级. ②课代表同学负责： ⑴将每个同学的作业的左上角用订书机订好（建议 用班费为课代表配订书机）； ⑵将收齐后的作业按从小到大的 序号 顺序排序 ; (3) 将未交作业同学名单记在纸上随作业上交.

7 《线性代数》 下页结束 返回下页 附 2 ： 关于考勤与平时成绩 1 ．由班长负责各自班的考勤 : ①有请假的, 在上课前把请假条交给任课老师, 否则视为 无效 ; ②上课前统计各自班出勤情况并报告任课老师. 特别注意 : 班长要认真负责, 不能弄虚作假, 包庇纵容, 否 则与违犯纪律者 同罚 !! 2 ．同学们应严格遵守学校各项规章制度, 具体要求 : ⑴至少提前 10 分钟进教室, 否则记迟到一次 ; ⑵有事要请假, 并把请假条交给班长, 否则记旷课一次 ; ( 3 ) 每周第一次课前按时交作业, 否则记作业未交一次.

8 《线性代数》 下页结束 返回 2 行列式的性质与计算 下页 1 行列式的概念 第 1 章 行列式 3 克莱姆法则 2.1 行列式的性质 2.2 行列式按行（列）展开法则

9 《线性代数》 下页结束 返回 第一章 行列式 本章要求 下页 1 ．了解行列式的概念，掌握行列式的性质； 2 ．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定 理计算行列式； 3 ．会用克莱姆法则解低阶线性方程组. 本章重点 利用行列式的性质和展开定理，计算行列式.

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11 《线性代数》 下页结束 返回 第 1 章 行列式 1.1 二三阶行列式 (a 11 a 22  a 12 a 21 ) x 2  a 11 b 2  b 1 a 21 (a 11 a 22  a 12 a 21 ) x 1  b 1 a 22  a 12 b 2 第 1 节 行列式的概念 用 a 22 和 a 12 分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去 x 2 得 同理，消去 x 1 得 当 时，方程组的解为 下页 1. 二阶行列式 用消元法解 二元一次 方程组

12 《线性代数》 下页结束 返回 当 时，方程组的解为 下页 这就是二元一次方程组的解的一般表达式. 思考 : 以上表达式有什么结构特点 ? 分子分母都是两个数积的差 ! 第 1 章 行列式

13 《线性代数》 下页结束 返回 当 时，方程组的解为 为便于叙述和记忆， 引入符号 D = D1 =D1 = 按照二阶行列式定义可得 D2 =D2 = 于是，当 D ≠0 时，方程组的解为 下页 二阶 行列式 系数行列式 对角线法则

14 《线性代数》 下页结束 返回 用加减消元法, 同样可得到三元一次方程组求解公式 2. 三阶行列式 求解三元方程组 下页

15 《线性代数》 下页结束 返回 类似引入符号 其中 D 1, D 2, D 3 分别为将 D 的第 1 、 2 、 3 列换为常数列后得到的行列式. 2. 三阶行列式 求解三元方程组 称 D 为三阶行列式. 下页 系数 行列式 当 D≠0 时方程 组的解为 元素 a i j 列标 行标

16 《线性代数》 下页结束 返回 其中 D 1, D 2, D 3 分别为将 D 的第 1 、 2 、 3 列换为常数 项列后得到的行列式, 即

17 《线性代数》 下页结束 返回 三阶行列式对角线法则 D= 注意 : 对角线法 则只适用于二阶 与三阶行列式．

18 《线性代数》 下页结束 返回 j = 1, 2, …, n n 阶行列式 其中 D j 为将 D 的第 j 列换为常数项后得到的行列式. 3. 猜想 : n 元一次方程组 下页 系数 行列式 方程组的解 : Cramer 法则

19 《线性代数》 下页结束 返回 21543 如，如， 3421 例 1 ．写出所有的 3 级排列. 解：所有的 3 级排列为： 321. 312 ， 231 ， 213 ， 132 ， 123 ， 1.2 排列 定义 1 n 个自然数 1,2,…,n 按一定的次序排成的一个无重复数字 的有序数组称为一个 n 级排列，记为 i 1 i 2 …i n. 下页 1. n 级排列 思考 : 所有的 n 级排列一共有多少个 ? 所有的 n 级排列共有 n! 个. 其中，排列 12…n 称为自然排列. 4 级排列 5 级排列 第 1 章 行列式

20 《线性代数》 下页结束 返回 3 4 2 1 逆序数的计算方法 ( 向前看法 ) 4 3 2 1 从而得 τ(3421) . 5 2. 逆序及逆序数 定义 2 在一个 n 级排列 i 1 i 2    i n 中，若一个较大的数排在一个 较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序. 一个排列中逆序的总 数，称为这个排列的逆序数，记为 τ(i 1 i 2    i n ). 下页 练习： 求排列 32541 的逆序数. 答： τ(32541) . 第 1 章 行列式

21 《线性代数》 下页结束 返回 3. 奇排列与偶排列 2. 逆序及逆序数 逆序数是奇数的排列，称为奇排列. 逆序数是偶数或 0 的排列，称为偶排列. 四级 排列 3421 自然排列 12…n 一定是偶排列， 因为 τ(3421)  因为 τ(12…n) . 下页 定义 2 在一个 n 级排列 i 1 i 2    i n 中，若一个较大的数排在一个 较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序. 一个排列中逆序的总 数，称为这个排列的逆序数，记为 τ(i 1 i 2    i n ). 说明 : 一般说来, 在 n 个数码的全排列中，奇偶排列各占一半. 第 1 章 行列式 所以 3421 是奇排列； 五级 排列 32541 因为 τ(32541)  所以 32541 是偶排列；

22 《线性代数》 下页结束 返回 三阶行列式的定义 观察特点与规律 （ 1 ）三阶行列式共有 项，即 项． （ 2 ）每项的绝对值都是位于不同行不同列的三个 元素的乘积 ( 并且不重不漏 ) ． 1.3 n 阶行列式 思考 : 每项的正负号有什么规律 ? 1. 概念的引入

23 《线性代数》 下页结束 返回 例如 列标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 （ 3 ）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 列的三个元素的下标排列．

24 《线性代数》 下页结束 返回 （ 1 ）三阶行列式共有 项，即 项． （ 2 ）每项的绝对值都是位于不同行不同列的三个 元素的乘积 ( 并且不重不漏 ) ． （ 3 ）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 列的三个元素的下标排列． 概括 : 三阶行列式的值定义为所有位于不同行不同列 列的三个元素的积的代数和． 项数 构成 符号 总结

25 《线性代数》 下页结束 返回 概括 : 三阶行列式的值定义为所有位于不同行不同列 列的三个元素的积的代数和．

26 《线性代数》 下页结束 返回 定义 4 符号 称为 n 阶行列式， 它表示代数和 其中和式中的排列 j 1 j 2    j n 要取遍所有 n 级排列. 元素 a i j 列标 行标 下页 2. n 阶行列式定义 2 、 3 阶行列式的定义

27 《线性代数》 下页结束 返回 说明 1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数 和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 ; 4 、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素 的乘积 ; 2 、 阶行列式是 项的代数和, 其中正负项各占一半, 3 、行列式是一个数 ; 6 、上式称为 n 阶行列式的完全展开式. 之前的符号是 5 、 项 a 11 a 21 … a n1 a 12 a 22 … a n2 a 1n a 2n … a nn …………………… = 7 、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;

28 《线性代数》 下页结束 返回 a 14 a 23 a 31 a 44 a 14 a 23 a 31 a 44 a 14 a 23 a 31 a 42 例如，四阶行列式 a 11 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44  (  1) τ(4312)  a 14 a 23 a 31 a 42 为行列式中的一项. 表示的代数和中有 4!  24 项. a 14 a 23 a 31 a 42 的列标排列为 4312 所以它不是行列式中的一项. 中有两个取自第四列的元素， 下页  为奇排列  ， 取自不同行不同列, 注意 : 对角 线法则只适 用于二阶与 三阶行列式

29 《线性代数》 下页结束 返回 a 11 a 21 … a n1 a 12 a 22 … a n2 a 1n a 2n … a nn …………………… = 下页 a 11 a 21 … a n1 a 12 a 22 … a n2 a 1n a 2n … a nn …………………… = 定义 4’ 3. 行列式的等价定义

30 《线性代数》 下页结束 返回 思考 : 在 6 阶行列式中，下列项应带什么符号. 解 431265 的逆序数为 所以 前边应带正号. 342165 的逆序数为 所以 前边应带正号.

31 《线性代数》 下页结束 返回 D = 4. 行列式计算 (1)---- 利用定义计算 解：根据行列式定义 例 1 ．计算 2 阶行列式 D = 注： 3 阶行列式的计算类似，略. 下页

32 《线性代数》 下页结束 返回 例 2 ．计算 n 阶下三角形行列式 D 的值 其中 a ii  0(i  1, 2,   , n). D  a 11 a 21 a 31 … a n1 0 a 22 a 32 … a n2 0 a 33 … a n3 0 … a nn ………………………… 解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零， D  (  1) τ(1 2    n) a 11 a 22 a 33    a nn 第一行只能取 a 11 ， 第三行只能取 a 33 ， 第二行只能取 a 22 ， 第 n 行只能取 a nn.       ， 这样不为零的乘积项只有 a 11 a 22 a 33    a nn ， 所以  a 11 a 22 a 33    a nn. 下页

33 《线性代数》 下页结束 返回 下三角行列式的值： a 11 a 21 a 31 … a n1 0 a 22 a 32 … a n2 0 a 33 … a n3 0 … a nn …  a 11 a 22 a 33    a nn. 上三角行列式的值： a 11 0 … 0 a 12 a 22 0 … 0 a 13 a 14 a 33 … 0 a 1n a 2n a 3n … a nn …  a 11 a 22 a 33    a nn. 对角形行列式的值： a 11 0 … 0 a 22 0 … 0 a 33 … 0 … a nn …  a 11 a 22 a 33    a nn. 结论： 下页

34 《线性代数》 下页结束 返回 例 3 ．计算 n 阶下三角形行列式 D 的值： D  00…0bn00…0bn … b n-1 * 00…**00…** b1*…**b1*…** 0b2…**0b2…** 解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零， D  (  1) τ(n n-1    21) b 1 b 2 b 3    b n 第一行只能取 b 1 ， 第 n-1 行只能 第二行只能取 b 2 ， 第 n 行只能取 b n.       ， 这样不为零的乘积项只有 b1b2b3   bn，b1b2b3   bn， 所以 取 b n-1 ， 下页

35 《线性代数》 下页结束 返回 作业： 19 页 1 (1) 20 页 2 (3) 3 (2)(3) 预习： 第 2 节 结束

36 《线性代数》 下页结束 返回 思考题 已知

37 《线性代数》 下页结束 返回 思考题解答 解 含 的项有两项, 即 对应于

38 《线性代数》 下页结束 返回 补充 : 计算排列的逆序数的方法： 方法 1 ： n 个数的任一 n 元排列，先看数 1 ，看有多少个比 1 大 的数排在 1 前面，记为 再看有多少个比 2 大的数排在 2 前面，记为 继续下去，最后至数 n ，前面比 n 大的数显然没有， 则此排列的逆序数为

39 《线性代数》 下页结束 返回 方法 2 ： n 元排列 的逆序数 方法 3 ：

40 《线性代数》 下页结束 返回 求排列 32514 的逆序数. 解 （法1）（法1） （法2）（法2） （法 3 ） 例2例2 求排列 453162 的逆序数. 例1例1 解