第八章 多元函数 §8.1空间解析几何简介 §8.2多元函数的概念 §8.3二元函数的极限与连续

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1 第八章 多元函数 §8.1空间解析几何简介 §8.2多元函数的概念 §8.3二元函数的极限与连续
第八章 多元函数 §8.1空间解析几何简介 §8.2多元函数的概念 §8.3二元函数的极限与连续 主要教学内容 (1) 空间解析几何的一些基本常识；(2) 多元函数的概念； (3)二元函数极限与连续． 教学目的及要求: 了解空间解析几何的一些基本常识、掌握多元函数的概念，会求二元函数的定义 域、了解二元函数极限与连续的概念． 重点难点及解决措施: 重点: 会看空间图形，求二元函数的定义域. 难点: 多元函数概念的理解. 解决措施: 注重启发与分析. 教学方法及段设计: 讲授法. 课时：2课时

2 二、空间解析几何的基本概念及常见的曲面方程和图形 1、空间直角坐标系
一、本章主题 从这次课开始，我们学习多元函数微分学的内容。即多元函数的极限、连续、可导、可积等内容。之前我们是就一元函数的极限、连续、可导、可积进行学习的。二元函数的理论与一元函数的理论有很大的区别，但二元函数与三元函数以及四元函数等的理论差别不大，因此，我们研究多元函数的理论主要研究二元函数的理论。要学好二元函数的知识，必需先了解一些空间解析几何的知识，这次课我们就空间解析几何的知识进行学习。 二、空间解析几何的基本概念及常见的曲面方程和图形 1、空间直角坐标系 （为了确定平面上一点的位置，我们建立了平面直角坐标系。那么，要确定空间中一点的位置，我们也需要空间上的直角坐标系）

3 在空间中取定一点 ，过点 做三条相互垂直的直线
在空间中取定一点 ，过点 做三条相互垂直的直线 ，称它们为坐标轴。三条轴都以 为原点，各具有长度单位，并规定了正方向。这三条轴又称为 它们构成一个空间直角坐标系 称为 坐标系。 注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位； (2)通常把 轴和 轴配置在水平面上 而 轴则是铅垂线； (3)数轴的正向通常符合右手规则。 2、坐标平面 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面， 这种平面称为坐标面， 比如， 轴及 轴所确定的坐标面叫做 面， 另两个坐标面是 。

4 3、卦限 三个坐标面把空间分成八个部分， 每一部分叫做卦限，含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限，它位于面 的上方。在面 的上方，按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限。 在面 的下方， 与第一卦限对应的是第五卦限，按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限。八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示。 4、空间中一点 M 的坐标 坐标原点的坐标为（0，0，0） x轴上任意一点的坐标为（x，0，0） y轴上任意一点的坐标为（0，y，0） z轴上任意一点的坐标为（0，0，z）

5 5、空间任意两点间的距离 给定空间两点 和 ，则点 与点 之间的距离公式为： 特别地，点 到原点的距离为 例1、在 轴上求与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点。 解：由于在 轴上的点横坐标，纵坐标都是0，因此设所求点的坐标为（0，0，z）根据题意 , 解得 即所求的点是（0，0，14/9） 6、曲面与方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹。 在这样的意义下，如果曲面S与三元方程 有下述关系：

6 (2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 ， 那么， 方程 就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 的图形。
常见的曲面方程： 1）平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 2）母线垂直于平面 的圆柱面方程 3）球心在 ，半径为 R 的球面方程 4）椭球面的方程 5）椭圆抛物面的方程

7 6）双曲抛物面（又叫马鞍面）的方程 7）椭圆锥面的方程 例2、指出下列各方程表示哪种曲面。 1） ） 3） ） 解：1）中心在原点的椭球面． 2）母线垂直于　　 面的柱面，与 面的截面是椭圆． 3）母线垂直于 面的柱面，与 面的截面是双曲线． 4）球心在原点半径为1的球面 ．

8 变量 称为自变量， 称为因变量， 称为函数的定义域，记为 。对于 ，所对应的
三、多元函数的概念 定义1 设 为一个非空的 元有序数组的集合。对于每一个有序数组 ，按照某一确定对应规则 ，都有唯一确定的实数 与之对应，则称此对应规则 为定义在 上的 元函数，记为 变量 称为自变量， 称为因变量， 称为函数的定义域，记为 。对于 ，所对应的 值，记为 或 称为当 时，函数 的函数值。全体函数值的集合

9 称为函数的值域，记为 。 当 时，为一元函数，记作 当 时，为二元函数，记作 二元及二元以上的函数统称为多元函数。与一元函数一样，多元函数的定义包含着两个要点：一是对应关系 ，二是定义域与值域。 一元函数与多元函数的差别在于：自变量在不同的空间取值（元数与空间维数一致），函数的图形是比自变量取值范围高一维的空间曲面。 具有两个及两个以上自变量的函数又称为多元函数.

10 四、二元函数的几何意义 一元函数的几何意义是平面上的一条曲线． 二元函数的几何意义是空间中的一张曲面． 五、二元函数的定义域 二元函数的定义域就是使这个解析式有定义的自变量取值的全体所确定的集合，在几何上表示一个平面区域。所谓平面区域可以是整个平面或者是平面上由几条曲线所围成的部分。 围成平面区域的曲线称为该区域的边界；包括边界在内的区域称为闭区域；不包括边界的区域称为开区域；包括部分边界的区域称为半开区域；如果区域延伸到无穷远处，则称为无界区域，否则称为有界区域；

11 求下列函数的定义域 1) ) 3) ) 5) 解：1）定义域是全平面，无界的开区域。 2）定义域是 3）要使函数有意义，必须 即 故函数的定义域是 有界闭区域

12 4）要使函数有意义，必须 即 亦即 ，故函数的定义域为 5）要使函数有意义，必须 故函数的定义域为 有界开区域 六、邻域 1、点 的δ邻域 2、内点 3、边界点

13 七、二元函数的极限 定义2 设二元函数 的定义域为D，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正数 ，使得当 时， 恒成立，则称当 趋于 时，函数 以 为极限。记为 或 注意： (1) 二重极限存在，是指P以任何方式趋于 时 函数都无限接近于 ； (2) 当P以两种不同方式趋于 时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在。

14 例如 当点 沿着 轴趋近于（0，0）时，由于 轴上点的纵坐标 都是0，原式= 当点 沿着直线 y=x 轴趋近于（0，0）时，由于直线y=x上点的横坐标与纵坐标相等，原式= 因此 不存在。 八、二元函数的连续性 1、二元函数连续的定义 设二元函数 满足条件：

15 （1）在点 的某个邻域内有定义，且它邻域非空
（2） 存在 （3） 则称函数 在点 处连续，否则称点 是函数 的间断点。 2、如果函数 在平面区域 内的每一点都连续,则称函数 在区域 内连续。 3、连续函数的图形是一张无孔隙、无裂缝而稠密的曲面。 4、可以证明，一切多元初等函数在其定义区间内是连续的。由这个结论我们可以求二元函数的极限。 5、求下列函数的极限。

16 性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值。
（1） 解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= 九、有界闭区域上连续函数的性质 性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数 必定在D上有界 且能取得它的最大值和最小值。 性质2 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。

17 十、小结 1、空间直角坐标系，空间两点的距离 2、曲面与方程的概念，旋转曲面和柱面方程 3、多元函数的概念 4、二元函数的极限与连续性的概念 十一、作业 P362 1、(2)---(5)

18 §8.4 偏导数 §8.5 全微分 主要教学内容 (1) 偏导数； (2) 全微分.
(1) 偏导数； (2) 全微分. 教学目的及要求: 掌握偏导数的概念，会求二元函数的偏导数和二阶偏导数； 掌握全微分的定义，会求二元函数的全微分 重点难点及解决措施: 重点: 掌握二元函数的偏导数、全微分的计算 难点: 高阶偏导数. 解决措施: 注重启发与分析. 教学方法及段设计: 讲授法. 课时：2课时

19 由于多元函数的自变量的变化是彼此无关的，因此我们可以讨 论函数关于一个自变量的变化率，而其他的自变量都固定（即看作
一、偏导数的概念 由于多元函数的自变量的变化是彼此无关的，因此我们可以讨 论函数关于一个自变量的变化率，而其他的自变量都固定（即看作 常数），这种变化率叫偏导数。 1、二元函数在点 的偏导数 定义： 设函数 在点 的某一邻域内有定义 当 固定在 ，而 在 处有增量 时 相应地函数有增量 ， 如果极限 存在， 则称此极限为函数 在点 处对 的偏导数， 记作： 同理有：

20 2、二元函数在区间D上的偏导数 如果函数 在区域D内每一点 都有偏导数 则这两个偏导数在D 内一般也是二元函数，它们叫 的偏导函数，通常称为偏导数。 3、由偏导数的定义可知，求二元函数对一个变量的偏导数时，只需将其它自变量作为常数，用一元求导法即可求得。即求 时 只要把 暂时看作常量而对 x 求导数 求 时 只要把 暂时看作常量而对 求导数。 二、举例 例1、求下列函数的偏导数。 1）函数 在点（1，2）处的偏导数 2）

21 3） 解：1） 则 2） 三、练习 p363 2（1）（3）（5）（7） 四、二阶偏导数 1、二元函数 的偏导数 仍然是 的函数，如果偏导函数 对 仍有偏导数，我们称它为原来函数 的二阶偏导数.

22 2、二阶偏导数有四种情况 1） 2） 3） 4） 其中2）3）称为二阶混合偏导数

23 3、举例 例1 求 的二阶偏导数。 解： 则 4、有关二阶混合偏导数的结论 如果函数 的两个二阶混合偏导数在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。 这就是说只要满足条件，二阶混合偏导数与求导的次序无关。 例2、设三元函数

24 则 例3、设 证明：

25 因此 5、一阶导数在经济中应用就是边际啊、弹性等，偏导数在经济中也有应用。 例如 P331 例5 6、练习 p363 3(1) 五、全微分 1、全微分的定义

26 1）全增量 :若自变量在 处有改变量 ，则函数 相应的改变量 称为函数 在点 处的全增量。 2）全微分定义：如果全增量 可以表示为 其中A，B是 的函数，与 无关； 阶的无穷小量。则称 是函数 在点 处的全微分，记作： ，此时称函数 在点 处可微。 3）定理8.1 设函数 在点 的某一邻域内有连续的偏导数 ，则函数 在该点的全微分存在，且

27 4）习惯上，我们将自变量的增量 记为 并称为自变量
的微分，则函数的全微分就写为 3、举例 例1、求下列函数的全微分。 1） ） ） 解：1） 则 2） 则 3） 则

28 4、全微分的应用 全微分在对多元函数的近似计算方面也非常有用。 或 例2 P335 例2 例3 求 的近似值。 解：需要计算的值可以看作函数 在x=2.02，y=1.97 处的 函数值。若 显然， ，

29 所以，由 式有 4、练习 p363 4(1)(2) 六、小结 1、偏导数与全微分的定义及计算方法； 2、高阶偏导数的计算法； 3、全微分存在的必要条件和充分条件。 七、作业 P362 1、(2)---(5) 2、3

30 §8.6 复合函数的微分法 主要教学内容：复合函数的求导法则
教学目的及要求: 熟练掌握求多元复合函数一阶偏导数和全微分的方法，会求复合函数的二阶偏导数 重点难点及解决措施: 重点: 复合函数的偏导数计算方法. 难点: 复合函数的偏导数计算方法. 解决措施: 注重启发与分析. 教学方法及段设计: 讲授法. 课时：2课时

31 一、复习一元复合函数的求导法则 二、新课设计 1、二元复合函数的求导法则：设函数 z 是中间变量 的函数 ，而 又是自变量 的函数，，如果函数 在点 的偏导数 都存在，且在对应于 的点 处，函数 可微，则复合函数 对 的偏导数存在，且 2、举例 例1、设

32 解： 则 例2、设

33 如果复合函数是两个中间变量 ，一个自变量 x ，则偏导数就只有一个关于 x 的偏导数，这时称为 z 对 x 的全导数,
即 如果复合函数是一个中间变量 u ，两个自变量 ，则 例2、设 解： 例3、设

34 解： 则 3、练习 p364 9（2）（3） 三、小结：复合函数的偏导数计算法 四、作业 p363 4（3）（4）（5）、5 (2)、6、8、9（1）（4）

35 §8.7 隐函数的微分法 主要教学内容：隐函数的求导法则
教学目的及要求: 掌握隐函数求导的法则，会利用法则求函数的导数。巩固前面的求导方法． 重点难点及解决措施: 重点: 应用法则对不同的情况求导. 难点: 隐函数求导的法则. 解决措施: 注重启发与分析. 教学方法及段设计: 讲授法. 课时：2课时

36 一、新课设计 1、隐函数求导公式 1）隐函数的概念： 我们知道由式子 直接表达了因变量 y 与自变量 x 的关系的函数我们称之为显函数。而由方程 表达的函数我们称之为隐函数。 当自变量为两个，即 我们也称之为显函数，而由方程 表达的函数我们也称之为隐函数。 2）隐函数的求导法：两边同时对 x 求导，注意 y 是 x 的函数，因此 y 的函数是 x 的复合函数

37 例1、已知 解：两边同时对 x 求导： 整理得 从而 其实对于 ，由于 是 x 的复合函数，按照复合函数的求导法则，我们有 例2、已知 解：令 则 故

38 3）隐函数 的求导法：基于上面的理论，我们有
2、举例 例3、求方程 所确定的隐函数的偏导数。 解：令 ，则 从而

39 例4、已知 解：令 ，则 从而 3、练习、p (4) 二、小结：掌握隐函数微分法 三、作业 P 、17、18

40 §8.8 二元函数的极值 主要教学内容：二元函数的极值
教学目的及要求: 掌握极值的定义，极值存在的条件，极值的判别定理，会求二元函数的极值． 重点难点及解决措施: 重点: 理解极值的思想，会求简单的极值. 难点: 拉格朗日乘数法. 解决措施: 注重启发与分析. 教学方法及段设计: 讲授法. 课时：2课时

41 定义：设二元函数 的定义域为D， 是D的一个内点。如果对于点 的某一邻域内的所有点 ，总有
教学设计： 一、新课设计： 1、二元函数的极值概念 定义：设二元函数 的定义域为D， 是D的一个内点。如果对于点 的某一邻域内的所有点 ，总有 ，则称 是函数 的极大值；如果总有 则称 是函数 的极小值。 函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。 例1、函数 在点(0 0)处有极小值。

42 例2、函数 在点(0 0)处有极大值。 例3、函数 在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值。 2、二元函数极值存在的条件 1)极值存在的必要条件定理 8.3：如果二元函数 在点 处取得极值，且两个一阶偏导数存在，则有 。 2）凡是能使函数对各自变量的一阶偏导数同时为零的点，我们称它为驻点。 3）偏导数存在时的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。 4）驻点或偏导数不存在的点可能是函数的极值点。 5）极值存在的充分条件定理

43 定理8.4：如果二元函数 在点 的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且 是它的驻点，设
则 1） 2） 3） 4）

44 3、举例 例1、确定函数 的极值点. 解：由方程组 得 即驻点为（1，0），（1，2），（-3，0），（-3，2）。 又 则在点（1，0）处， ，有极小值 在点（1，2）处， ，无极值

45 在点（-3，0）处， ，无极值 在点（-3，2）处， ，有极大值 所以此函数的极小值点为（1，0），极大值点为（-3，2） 例2 P342 例5 例3 P342 例6 4、练习 p (1) 5、条件极值的概念 上一节对二元函数求极值的方法中，变量 x，y 可以在区域 D 内独立变化，不受其他条件约束，这样求得的极值称为无条件极值，简称极值。但在实际问题中往往要求自变量 x，y 还要满足一定的附加条件，这样求得的极值叫做条件极值。

46 所谓的条件极值，就是函数 在条件 下的极值。
（1）求条件极值的方法 1）转化法： 首先从 中解出 ，再带入函数 ，得 ，这样就使条件极值转化为求 的无条件极值。 例1、求函数 的极大值，其自变量 x，y 满足条件 。 解： 得 这时 z 已是 x 的一元函数。

47 由 解得 x = 1 此问题只有一个极大值，所以点（1，1）为函数 满足条件 下的极大值点，且极大值为 2) 拉格朗日乘数法： 先设 为某一个常数（称为拉格朗日乘数），作函数 (称为拉格朗日函数 （1） 再求 对 的偏导数，并令其为零 （2） （3）

48 及 （4） 由方程(2)(3)(4)组成方程组求得 ， 值后，点 即是函数 在条件 的可能极值点。至于如何确定点 是否为极值点，一般还要根据具体情况进行判别。 例2、求表面积为 而体积最大的长方形。 解：设长方形的长、宽、高分别为 ，则体积 约束条件 构造拉格朗日函数

49 求其偏导数并令为零 解得 将 代入 约束条件中解得一个可能的极值点 因为问题本身存在着最大值，于是边长均为 的长方体在表面积为 的条件下体积最大，此时 。

50 二、小结 1、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值； 2、了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 三、作业 P364 11、12、14、15

51 §8.9 二重积分（一） 主要教学内容：二重积分的概念和性质、利用直角坐标系计算二重积分
教学目的及要求: 理解二重积分的定义，掌握二重积分的性质、掌握计算方法 重点难点及解决措施: 重点: 二重积分的概念与性质、二重积分的计算. 难点: 二重积分的计算. 解决措施: 注重启发与分析. 教学方法及段设计: 讲授法. 课时：2课时

52 教学设计： 一、二重积分的概念 1、如何求曲边梯形的面积 我们先来回忆一下一元函数定积分的产生 1）分割 2）近似替代 3）求和 4）取极限 由于在实际问题中大量的存在着这种和式的极限，为此，就把这种和式的极限专门拿出来进行研究，就得到了定积分。 2、曲顶柱体的体积 （现在生活中，我们又有这样的问题，比如，粮库的粮仓，我们要计算它能装多少粮食，那就要计算它的体积，它的下面是柱体，顶是曲的，因此叫作曲顶柱体。即我们要求曲顶柱体的体积）

53 3、二重积分的定义： 设是定义在有界闭区域 D 上的二元函数。将D任意分成 n 个小区域 ，记 的面积为 和 在每个小区域 上任取一点 ，作积分和 如果不论小区域如何分割及 如何选取，当各小闭区域的直径中的最大值 时，I 的极限总存在，则称 在 D 上可积，并称此极限为 在区域 D 上的二重积分。记为： 即 其中 D 称为积分区域， 称为被积函数， 称为被积表达式，x y 称为积分变量， 称为面积元素。

54 4、几点注意事项： 1）根据定义，积分和的极限存在时，称此极限值为 在 D 上的二重积分，这时称 在 D 上是可积的。可以证明，若函数 在有界闭区域 D 上连续，则 在 D 上一定可积。 2）由定义知，如果 在 D 上可积，则积分和式的极限存在，其中 D可用任意方式分成 n 个小区域。因此，在直角坐标系中，用平行于 x 轴和 y 轴的两组直线来分割 D ，每个小区域的面积为 ，可以证明，取极限后的面积元素 ，那么在直角坐标系中，二重积分可表示为 3）二重积分同定积分一样，是一个数值。这个数值大小仅与被积

55 函数 和积分区域 D 有关，而与积分变量用什么字母无关，即
4）若 ，则二重积分就是曲顶柱体的体积。 二、二重积分的性质 性质1、有限个函数的代数和的二重积分等于各个函数的二重积分的代数和。即： 性质2、若二重积分的被积函数有常数因子，则常数因子可以提到二重积分号外面来。即：

56 性质3、若积分区域 D 划分为有限个部分区域，则函数在 D上的二重积分等于函数在各个部分区域上的二重积分的和。
即： 性质4、如果在闭区域 D 上每一点均有 ，则 。特别地，由于 故有 性质5、若在闭区域 D 上， ，且 S 为 D 的面积，则

57 性质6、若 m 和 M 分别为在闭区域 D 上的最小值和最大值，S 为D 的面积，则有对二重积分进行估值的不等式
性质7、（二重积分的中值定理）设函数在闭区域 D 上连续，S 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点 ，使得下式成立 三、直角坐标系下二重积分的计算 设函数 在区域 D 上连续，且 则我们知道 等于以曲面 为顶的曲顶柱体的体积V。

58 1、现假设 D 是由 所围成。参照P251 看如何用定积分求体积 V =
对固定的 x ，函数 是 y 的一元函数，则 从而 这个积分叫累次积分或二次积分。 2、同理，如区域 D 是由 围成的，则 3、区域 D 是矩形区域 时， 或

59 例1、计算 解：原式= 例2、证明： 其中 证明：左边= 例3 P355 例2 例4 P356 例3 练习 P （1）（3）

60 例5、化二重积分 为二次积分，其中区域 D 为：
1） 2） 3） 4） 解：1） ）

61 例6、计算 ，其中D是由直线 所围成的区域。 解：原式= 例7、计算 ，其中 D 由直线 所围成的区域。 解： 原式= 例8 P357 例4 例9 P357 例5 练习 P

62 四、小结 1、二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质； 3、二重积分的计算方法． 五、作业 P

63 §8.9 二重积分（二） 主要教学内容：极坐标系下二重积分的求法 教学目的及要求: 掌握简单情形下利用极坐标求二重积分 重点难点及解决措施:
重点: 二重积分的计算. 难点: 二重积分的计算. 解决措施: 注重启发与分析. 教学方法及段设计: 讲授法. 课时：2课时

64 教学设计： 一、复习直角坐标系下二重积分的求解，评讲作业 二、新课设计 　　在一个平面上，可以用直角坐标确定一个点。但在一些实际问题中，常常还用其他方法确定点的位置。例如，炮弹射击时，首先要确定目标的方向，然后通过估计距离试射，达到命中目标的目的。这种用角度和长度来确定平面内点的位置的方法就是极坐标的基本思想。今天我们学习在极坐标系下如何求二重积分。 　1、极坐标系 　1）在平面上取一点O，引一条射线Ox，再取定一个单位长度和角的正方向（通常逆时针方向），这样就构成了极坐标系。 O ——极点， Ox ——极轴，

65 平面上任意一点 M ，它到 O 点距离为 r —极径，从 Ox轴 到 OM 的角度θ —极角， ，一般地，在这种情形下，M 与 一一对应。
2）极坐标与直角坐标的互化 2、极坐标系下面积元素 ，从而 3、极坐标系下求二重积分 常见的特殊的三种情形 （1）极点 O 在区域 D 之外的情形

66 （2）极点 O 在区域 D 的边界上 （3）极点 O 在区域 D 内部 4、当区域 D 是圆或圆的一部分，或者区域 D 的边界方程用极坐标表示较为简单，或者被积函数为 时，一般用极坐标计算二重积分。 5、举例 例1 P360 例6 例2 P361 例7 例3 P361 例8

67 6、练习 P （6） 三、小结：极坐标系下二重积分的计算 四、作业 P 、23、24