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Medical Imaging Processing
医学图像处理 图像的投影与重建
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问题的提出 问题的提出：可以把图像处理成数据，如果有一组与图像相关的数据，能否反过来建立图像？
图像重建一般方法：根据物体的一些横截面部分的投影而进行的。
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概 述 图像重建是图像处理中的一个重要分支，广泛的应用于物体内部结构图像的检测和观察中，它是一种无损检测技术。
概 述 图像重建是图像处理中的一个重要分支，广泛的应用于物体内部结构图像的检测和观察中，它是一种无损检测技术。 应用领域广泛，主要有：医疗、工业无损检测、核医学、电子显微、无线和雷达天文学、光显微、全息成像学以及理论视觉等等。 重建算法：代数法、迭代法、傅立叶反投影法、卷积反投影法（运用最广泛，运算量小、速度快等优点）。
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图像重建分类 1、从维数上分为： 二维图像重建、三维图像重建 2、从成像方式上分为： 发射断层成像 反射断层成像 透射断层成像
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图像重建分类 从采用的射线波长分为： X射线成像 超声成像 微波成像 核磁共振成像(MRI) 激光共焦成像
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X线成像原理 X线的本质：电磁辐射 常用X线诊断设备： X线机、数字X线摄影设备（DSA、CR、DR）和X线计算机断层扫描设备（ X线CT）等。
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X线的特征
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X线的特征 X射线在电磁辐射中的特点属于高频率、波长短的射线
X射线的频率约在3×1016～3×1020 Hz之间，波长约在10～10-3nm之间 X线诊断常用的X线波长范围为0.008～0.031nm
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X线的特征 2. X射线与物质间的相互作用 （1）X射线的穿透作用。 其贯穿本领的强弱与物质的性质有关
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X线的特征 2. X射线与物质间的相互作用 （2）X射线的荧光作用。 （3）X射线的电离作用。
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X线的特征 2. X射线与物质间的相互作用 （4）X射线的热作用。 （5）X射线的化学效应(感光作用和着色作用)。 （6）X射线的生物效应。
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X射线成像原理 当高速带电粒子撞击物质受阻而突然减速时，能够产生X 射线。医学影像诊断所用的X线产生设备是X线管（X-ray tube，球管）。 1．X射线的产生 X射线的产生需要的基本条件是： （1）有高速运动的电子流； （2）有阻碍带电粒子流运动的障碍物（靶），用来阻止电子的运动，可以将电子的动能转变为X射线光子的能量。
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X射线成像原理 X射线的产生装置主要包括三部分：X射线管、高压电源及低压电源，如图所示。
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X射线成像原理 2. X射线人体成像 使用X射线对人体进行照射，并对透过人体的X射线信息进行采集、转换，并使之成为可见的影像，即为X射线人体成像。 （1）X射线影像的形成 当一束强度大致均匀的X射线投照到人体上时，X 射线一部分被吸收和散射，另一部分透过人体沿原方向传播。由于人体各种组织、器官在密度、厚度等方面存在差异，对投照在其上的X射线的吸收量各不相同，从而使透过人体的X射线强度分布发生变化并携带人体信息，最终形成X射线信息影像。X射线信息影像不能为人眼识别，须通过一定的采集、转换、显示系统将X射线强度分布转换成可见光的强度分布，形成人眼可见的X 射线影像。
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X射线成像原理 ① 人体不同密度组织与X线成像的关系
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X射线成像原理 ② 人体不同厚度组织与X线成像的关系 密度和厚度的差别是产生影像对比的基础，是X线成像的基本条件
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三种基本的图像重建系统 发射断层成像系统 透射断层成像系统 反射断层成像系统
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发射断层成像 发射源在物体内部，将具有放射性的离子（放射元素）注入物体内部，在物体外部检测其经过物体吸收之后放射量。
有正电子发射成像PET和单正电子发射断层成像SPECT
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发射投影成像 正电子发射成像（PET：Positron Emission Tomography）采用在衰减时放出正电子的放射性离子，放出的正电子很快与负电子相撞湮灭而产生一对相背运动的光子。 相对放置的两个检测器接收到这两个光子就可以确定一条射线，检测器围绕物体呈环形分布，相对的两个检测器构成一组检测器对，检测由一对正负电子产生的光子。
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正电子 负电子 光子 PET成像系统示意图 检测器
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透射投影成像 射线穿过物体时在检测器上得到的值就是射线的投影。
投影重建是利用人体(物体)对射线的能量吸收衰减作用,不同密度的组织具有不同的吸收能力。
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入射线 6 2 1 4 少透射 高密度体 多透射 低密度体 等强度射线穿透不同组织的情况
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透射投影成像 图为等强度的射线透过不同密度分布时的情况，每块上的数字表示每块的密度或衰减，
总的衰减是叠加的，其中一条射线束通过均匀密度物质的厚块，另一射线通过不等密度的厚块组合，但检测器的记录相同， 因此，投影重建时需要一系列投影才能重建二维图像。
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反射断层成像 将入射信号（通常是单色平面波）入射到物体上， 通过检测经物体散射（反射）后的信号强度来重建。
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RCT（reflection CT） 雷达系统获取的雷达图是由物体反射的回波所产生的 雷达接收器在特定角度所接收到的回波强度是地面反射量在一个扫描段的积分 （对比CT）投影重建就是要从这个积分获得地面（反射强度）的图象
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射线投影成像的基本原理： 人体组织对X射线吸收和散射，造成衰减，人体内的不同结构，比如脂肪、胰、骨骼对X射线吸收能力有所不同。
密度高的物质对射线的衰减高于疏松物质引起的衰减。 入射线 组织对射线的吸收 散射线
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当X射线照射到人体组织时，通过探测、接收透射线或射线，可以生成生物组织的平面切片图像，并进行处理，从而判断体内的密度分布情况。
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投影重建概述 概念：投影重建一般指利用物体的多个（轴向）投影图像重建目标图像的过程。它是一类特殊的图像处理方法，它输入的是（一序列）投影图，而输出的是重建图。 通过投影重建就可以直接看到原来被投影物体某种特性的空间分布，比直接观察投影图要直观的多。
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应用实例： 1、投射断层成像（transmission computed tomography，TCT，简称CT）
原理：从发射源射出的射线穿透物体到达接受器。 其中 I0——射线源的强度； K（x）——沿射线方向物体点s的线性衰减系数 L——辐射的射线 I——穿透物体的射线强度
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如果物体是均匀的，则： 其中，I代表穿透物体后的射线强度，I0代表没有物体时射线强度，L是射线在物体内部的长度，k代表物体的线性衰减系数。
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投影重建概述 2、发射断层成像（emission computed tomography，ECT）
原理：发射源在物体内部。一般是将具有放射性的离子注入物体内部，从物体外检测其放射出来的量。 通过这种方法可以了解离子在物体内的运动情况和分布，从而可以检测到与生理有关的状况。 实例：PET ( positron emission tomography)、SPET (single positron emission CT)。
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投影重建概述 3、反射断层成像（reflection CT，RCT） 原理：利用能量的反射来 测定物体的表面特性。 实例：雷达系统，雷达发
射器从空中向地面发射无线 电波。雷达接收器在特定的 角度所接受到的回波强度是 地面反射量在一个扫描阶段 的积分。
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图像重建的透射、反射、发射三种模式示意图
概 述 图像重建的透射、反射、发射三种模式示意图
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X-CT成像原理 X-CT与X射线摄影相比较有很大区别， X射线摄影产生的是多器官重叠的平片图像
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成像技术 X-CT（X-ray computed tomography, X-CT）是运用扫描并采集投影的物理技术，以测定 X 射线在人体内的衰减系数为基础， 采用一定算法，经计算机运算处理，求解出人体组织的衰减系数值在某剖面上的二维分布矩阵， 再将其转为图像上的灰度分布，从而实现建立断层解剖图像的现代医学成像技术， X-CT成像的本质是衰减系数成像。
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X-CT成像技术 1. X-CT成像装置与流程 X-CT成像装置主要由X线管、准直器、检测器、扫描机构，测量电路、电子计算机、监视器等部分所组成的。 X-CT成像流程是：X线----准直器（可以大幅度地减少散射线的干扰,并可决定扫描层的厚度 ）----检测器-----转变电信号------放大电信号----转变为数字信号----计算机系统----存入计算机的存贮器----编码----显示图像
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X-CT成像技术 2. X-CT成像的数据采集与处理
X-CT成像的数据采集是利用X线管和检测器等的同步扫描来完成的。检测器是一种X线光子转换为电流信号的换能器。X-CT成像的数据采集根据X-CT成像的物理原理进行的。 X线管发出直线波束
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X-CT 的扫描方式 CT的各种扫描方式： 单束平移-旋转方式； 窄扇形束扫描平移-旋转方式； 旋转-旋转方式； 静止-旋转方式；
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第一代CT (Computed Tomography)
计算机断层扫描技术 第一代CT (Computed Tomography) 单个探测器 平移－旋转并行光光束
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第一代CT 1. 单束平移-旋转（T/R）方式 单束扫描是由一个X射线管和一个检测器组成，X射线束被准直成笔直单射线束形式，X射线管和检测器围绕受检体作同步平移-旋转扫描运动。 首先进行同步平移直线扫描；平移扫完一个指定断层； 扫描系统转过一个角度（一般为1°）； 再对同一指定断层进行平移同步扫描； 如此进行下去，直到扫描系统旋转到与初始值位置成 180°角为止，这就是平移旋转扫描方式 单束平移-旋转方式
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第一代CT 1. 单束平移-旋转（T/R）方式 这种扫描方式的缺点: 射线利用率极低，扫描速度很慢，对一个断层扫描约需 5分钟时 间；
只适用于物体或动物器官的扫描。 单束平移-旋转方式
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第二代CT 2.窄扇形束扫描平移-旋转（T/R）方式 窄扇形束扫描称为第二代CT扫描。
扫描装置由一个X射线管和6～30个的检测器组构成同步扫描系统。 扫描时，X射线管发出角度为3°～20°的窄扇形射线束， 6～30个检测器同时采样，并采用平移-旋转扫描方式 。 窄扇形束扫描平移-旋转方式
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第二代CT 2.窄扇形束扫描平移-旋转（T/R）方式 这种扫描的主要缺点是：
由于检测器排列成直线，对于X射线管发出的扇形束来说，扇形束的中心射束和边缘射束的测量值不相等，需校正，否则扫描会因这种运动而出现运动伪影，影响CT图像的质量。 窄扇形束扫描平移-旋转方式
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第二代CT 多个探测器 平移－旋转小扇形光束 (From G. Wang)
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第三代CT 多个探测器 旋转－旋转大扇形光束
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第三代CT 旋转-旋转（R/R）方式 这种扫描称为第三代CT扫描，扫描装置由一个X射线管和由250～700个检测器（或用检测器阵列）排列成一个可在扫描架内滑动的紧密圆弧形。X射线管发出张角为30°～45°，能覆盖整个受检体的宽扇形射线束。 由于这种宽扇束扫描一次 即能覆盖整个受检体，故 只需X射线管和检测器作 同步旋转运动。 X线管 旋转采样点 检测器轨道 检测器 扇形X线束 摄影区域 旋转-旋转扫描方式
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第三代CT 旋转-旋转（R/R）方式 这种扫描的缺点是：要对每个相邻检测器的接收灵敏度差异进行校正，否则由于同步旋转扫描运动会产生环形伪像。
X线管 旋转采样点 检测器轨道 检测器 扇形X线束 摄影区域 旋转-旋转扫描方式
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第四代CT 环形探测器 发射源旋转大扇形光束
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第四代CT 静止-旋转（S/R）方式 这种扫描称为第四代CT扫描方式，扫描装置由一个 X射线管和 600~2000个检测器所组成。在静止-旋转扫描方式中，每个检测器得到的投影值，相当于以该检测器为焦点，由 X射线管旋转扫描一个扇形面而获得。 X线管轨迹 检测器 X线管 静止-旋转扫描方式
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静止-旋转扫描方式的优点是： 每一个检测器上获得多个方向的投影数据， 能很好地克服宽扇形束的旋转-旋转扫描方式中由于检测器之间差异所带来的环形伪影， 扫描速度与静止-旋转方式相比也有所提高。
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螺旋CT工作原理 螺旋扫描是指在扫描期间， X线管连续旋转并产生X线束，同时扫描床在纵轴方向连续移动，这样，扫描区域X线束进行的轨迹相对被检查者而言呈螺旋运动，扫描轨迹为螺旋形曲线，这样可以一次收集到扫描范围内全部容积的数据，所以也称为螺旋容积扫描。 螺旋CT扫描装置包括探测器、X线管滑环、机架与检查床、控制台与计算机。其中滑环技术是螺旋扫描的基础，螺旋扫描是通过滑环技术与扫描床的连续移动相结合而实现的。
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螺旋CT工作原理 多层螺旋CT，又称多层CT。它的结构特点是具备多排检测器和多个数据采集系统。 螺旋扫描及层面投影
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螺多层螺旋CT工作原理 多层螺旋CT扫描特点 ： （1）降低X射线球管损耗。 （2）扫描覆盖范围更长。 （3）扫描时间更短。
（4）扫描层厚更薄。
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CT 扫描仪 扫描速度: 50, 100 ms 扫描厚度: 1.5, 3, 6, 10 mm (From Imatron)
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概 述
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投影重建原理 基本模型 拉东变换 傅里叶反变换重建 逆投影重建 代数重建技术 综合重建方法
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基本模型
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拉东变换
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Radon变换定义 上述线积分可写为： 如果借助Delta函数，上述线积分还可写为：
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Radon变换定义 对f(x,y)的2-D傅里叶变换与对f(x,y)先进行Radon 变换后再进行1-D傅里叶变换得到的结果相等。 证明：
利用Delta函数，可将2-D傅里叶变换写为：
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傅里叶反变换重建
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傅里叶变换是最简单的重建方法。一个三维(或二维)物体，它的二维(或一维)投影的傅里叶变换恰与此物体的傅里叶变换的主体部分相等, 而傅里叶变换重建方法也正是以此为基础的。
通过将投影进行旋转和部分傅里叶变换可以首先构造整个的傅里叶变换的平面，然后只须再通过傅里叶反变换就可以得到重建后的物体。
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中心切片定理 中心切片定理 核心就是将 和 联系在一起。 定义：
中心切片定理 核心就是将 和 联系在一起。 定义： 密度函数f(x,y)在某一方向上的投影函数 的一维傅立叶变换函数 是原密度函数f(x,y)的二维傅立叶变换函数 在 平面上沿同一方向且过原点的直线上的值。
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图形解释 在二维频率域中过原点的与μ轴夹角为θ的直线上的值 就是投影函数 的一维傅立叶变换的函数值。
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证明 举例：如图所示，对于二维密度函数沿x方向取其投影函数， ∵
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中沿μ=0直线上的值是： 此种方式证明了θ=90°时，中心切片定理是成立的。
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当θ≠90°时，如上图所示。在(x,y)平面中，投影线L的方程为。
由于投影函数的值是密度函数沿投影线的线积分值，即：
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即： 上式中，δ函数称为δ线函数，δ函数的筛选性质
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密度函数与此δ线函数相乘后积分，就是把二维密度函数在此直线上的值筛选出来，所以上式实际上可看作为沿投影线的一维积分。对F(u,v)用极坐标表示。
其中
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上式中的指数部分可改写为（由δ函数的筛选性质得出）：
则：
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上式说明：沿β角方向的投影函数 的一维傅立叶变换的结果，就是密度函数f(x,y)的二维傅立叶变换函数在相同角度下过原点的直线上的值。
这就是中心切片定理的证明。
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7.3 傅里叶反变换重建 1、基本步骤和定义 (1) 建立数学模型，其中已知量和未知量都是连续 实数的函数
7.3 傅里叶反变换重建 1、基本步骤和定义 (1) 建立数学模型，其中已知量和未知量都是连续 实数的函数 (2) 利用反变换公式（可有多个等价的）解未知量 (3) 调节反变换公式以适应离散、有噪声应用的需求 重建算法：设图象区被1个直角网格所覆盖，K为X方向 上的点数，L为Y方向上的点数 要通过M N个测量值g(ms, n )估计出在 K L个采样点的 f (kx, ly)
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7.3 傅里叶反变换重建 1、基本步骤和定义 考虑在s和 上都均匀采样的情况 M个间距为s的射线， N个相差 的角度 类似定义
7.3 傅里叶反变换重建 1、基本步骤和定义 考虑在s和 上都均匀采样的情况 M个间距为s的射线， N个相差 的角度 类似定义 K +和K – L +和L – 一系列射线 覆盖圆 选取 和
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傅里叶反变换重建 2、傅里叶变换投影定理 投影定理：
f (x, y)以 角进行投影的傅里叶变换等于f (x, y)的傅里叶变换在傅里叶空间(R, )处的值 f (x, y)在与X轴成 角的直线上投影的傅里叶变换是 f (x, y)的傅里叶变换在朝向角 上的1个截面
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傅里叶反变换重建 2、傅里叶变换投影定理 投影定理： 对投影（Radon变换）的1-D傅里叶变换可得到定义在傅里叶空间的极坐标网格
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图像重建 如果我们在不同角度下取得足够多的投影函数数据，并作它们的傅立叶变换，那么变换后的数据将充满整个（u,v)平面。
一旦频域函数F(u,v)或 的全部值都得到后将其作一次傅立叶反变换，就能得到原始的密度函数f(x,y)。这就是所需要重建的图像。
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投影重建原理过程 f(x,y)
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投影重建原理过程 求图像的密度函数f(x,y) 获取密度函数投影函数 对投影函数进行一维傅里叶变换 在频域空间插值处理
得到二维空间密度图像函数的傅里叶变换 进行傅里叶反变换 得到密度函数图像
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如图所示。图中（a）是投影数据，(b)是傅里叶变换的组合。若已知无数的投影，从极坐标 中计算得到的投影变换推出在矩形平面 中的傅里叶变换并不困难。
傅里叶变换的几何原理
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但是，若只有有限个投影是有效的，则可能需要在变换中插入一些数据。另外需要注意的是，虽然只须一维傅里叶变换的投影数据就可构成变换空间，但图像重建则需要二维反变换。由此，我们得出一个推论，即：三维图像不能在得到部分投影数据过程中局部地重建，而必须延迟到所有投影数据都获得之后才能重建。
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逆投影重建
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7.4.1逆投影重建原理
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7.5 代数重建方法 代数重建技术就是事先对未知图像的各像素给予一个初始估值，然后利用这些假设数据去计算各射线穿过对象时可能得到的投影值（射影和），再用它们和实测投影值进行比较，根据差异获得一个修正值，利用这些修正值，修正各对应射线穿过的诸像素值。如此反复迭代，直到计算值和实测值接近到要求的精确度为止。
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代数重建方法 具体实施步骤： （l）对于未知图像各像素均给予一个假定的初始值，从而得到一组初始计算图像；
（2）根据假设图像，计算对应各射线穿过时，应得到的各个相应投影值Z1*, Z2 *, …… Zn *； （3）将计算值Z1*, Z2 *, …… Zn *和对应的实测值Z1, Z2 , …… Zn 进行比较，然后取对应差值 Zi － Zi *作为修正值； （4）用每条射线的修正值修正和该射线相交的诸像素值； （5）用修正后的象素值重复l～4各步，直到计算值和实测值之差，即修正值小到所期望的值为止。 只要所测得的射线投影值Z1, Z2 , …… Zn组成一个独立的集合，那么代数重建便将收敛于唯一解。
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代数重建方法
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