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第六章 CT成像
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X-CT computed tomography computerized axial tomography (CAT)
tomo: Greek tomos[ section ] 希腊语 tomos[ 切面 ] graphy: Latin -graphia, from Greek, from graphein. writing or representation in a (specified) manner or by a (specified) means or of a (specified) object. computerized axial tomography (CAT) 计算机控制〔横〕轴向〔X线〕断层〔扫描〕术
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CT CT的地位、作用 CT发展的历史、现状、趋势 投影 CT数 反投影 重建算法
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第一节 成像原理 一、概述 与普通X线成像的本质区别 透射像 断层像 放射学与计算机科学的结合 技术飞跃 放射学 影像学
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传统X线成像
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断层像 近似连续
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2. 普通X线体层摄影(Tomography)
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传统的X射线装置的缺点 影像重叠。深度方向上的信息至叠在 起，引起混淆。 密度分辨率低，对软组织分辨能力低。 所用剂量大。
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CT 真正的断面图像：CT通过准直系统的准直，可得到无层面外组织结构干扰的横断面像。能显示人体某一断层平面上的器官或组织生理和解剖结构；
优点： 真正的断面图像：CT通过准直系统的准直，可得到无层面外组织结构干扰的横断面像。能显示人体某一断层平面上的器官或组织生理和解剖结构； 密度分辨率高：比常规X线检查高约20倍，能分辨人体内器官或组织密度细小的变化；（相对于X射线成像术） 具有较高的X线利用率（相对于X射线成像术） 动态范围大（相对于X光片） 数字化成像 可作定量分析：CT能够准确地测量各组织的X线吸收衰减值，通过各种计算可作定量分析。
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缺点 (1) 极限分辨率比常规的X线检查低，中档的CT的极限分辨率为7~10LP/cm，而高档的CT机的极分辨率为14LP/cm
(2) CT虽然有很广的应用范围，但不是所有脏器都适合CT检查。 (3) CT的定位方面，对于体内小于1cm的病灶，常常容易漏诊。 (4) CT的图像基本上只反映了解剖学方面的情况，几乎没有脏器功能和生化方面的资料
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技术发展-历史发展 1917奥地利数学家雷当提出CT成像原理
1967年Hounsfield在英国EMI公司实验中心从事计算机和重建技术研究工作 1971年9月第一台CT机安装于Atkinson-Morley’s医院，一幅图像的处理时间为20min左右 1974年美国George Town医学中心工程师设计出全身CT扫描机
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Hounsfield和Cormack因发明CT获得1979年诺贝尔医学和生理学奖。
G. N. Hounsfield A. M. Cormack Central Research Laboratories, EMI London Tufts University Medford, MA, USA Electric and Musical Industries 百代唱片公司
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Johann Radon Born: 16 Dec 1887 in Tetschen, Bohemia (now Decin, Czech Republic) Died: 25 May 1956 in Vienna, Austria He worked on the Calculus of variations, Differential geometry and Measure theory. Johann Radon entered the University of Vienna where he was awarded a doctorate in 1910 for a dissertation on the calculus of variations. The year 1911 he spent in Göttingen, became assistant professor at the University of Brünn (now Brno) for a year and then moved to the Technische Hochschule in Vienna. In 1919 Radon became assistant professor at Hamburg becoming a full professor in Greifswald in He was appointed to the University of Vienna in 1947 and he remained there for the rest of his life.
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伦琴因发现X射线获得 首届诺贝尔物理学奖。
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同X射线有关的诺贝尔奖 1901 伦琴 (Roentgen) 发现X射线(1895) 1914 劳厄（Laue） 晶体的X射线衍射
1915 布拉格父子 (Bragg) 分析晶体结构 巴克拉 (Barkla) 发现元素的标识X射线 1924 塞格巴恩 (Siegbahn ) X射线光谱学 1927 康普顿(Compton等六人) 康普顿效应 1936 德拜 (Debye) 化学 1946 马勒 (Muller) 医学 沃生(Wason等三人) 医学 1964 霍奇金 (Hodgkin) 化学 1979 柯马克和豪森菲尔德（Cormack/Hounsfield） 医学 塞格巴恩(Siegbahn) 物理
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我国CT的发展 1）85年第二代CT,上海计算技术研究所等 2）安科公司 3）Siemens 4） GE
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CT扫描成像的工作过程 由X线管发出的X线经准直器准直后，以窄束的形式透过被检物体被探测器接收，并由探测器进行光电转换，而后通过模/数转换器作模拟信号和数字信号的转换，再交由计算机作图像重建，重建后的图像由数/模转换器转换成模拟信号，最后以不同的灰阶形式在监视器上显示，或以数字形式存入计算机硬盘。
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CT的扫描和图像重建整个过程由扫描控制系统管理，并通过数据采样系统和图像处理系统最后成像。
扫描控制系统设在扫描机架内，它的主要任务是执行主控计算机的扫描操作指令。
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二、成像原理 线性吸收系数 X线束具有一定的能量和穿透能力，当X线束遇到物体时，物体对射入的X线有着衰减作用，即物体对X线的吸收和散射。
CT成像中，物体对X线的吸收占主要作用。
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在一均匀物体中，X线的吸收与通过物体的厚度成正比。即在一匀质的物体中，X线的衰减与在该物质内的行进距离成正比。设吸收系数为 ，X线的行进路程为dX，穿过该物质后X线强度为dI，
则：dI＝－ dX
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朗勃-比尔吸收定律： 或μ的值愈大，射出的X线强度I愈小，物体对X线的吸收愈大。这是通过均匀物质时的强度衰减规律。 实际X线穿透人体器官或组织时，器官或组织是由多种物质成分和不同的密度所构成的，各点对X线的吸收系数是不相同的。 沿着X线束通过的物体分割成许多小单元体，令每个小单元体的厚度相等记为 。设 足够小，使得每个小单元体均匀，每个小单元体的吸收系数为常值。
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第一个小单元体入射的X线强度为I0时，透过第一个单元体的X线强度Il为：
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第n个小单元体透射出的X线强度In为： 如果X线的入射强度I0，透射出强度I和物体小单元体的厚度 均为已知，那么沿着X线通过路径上的吸收系数之和 就可以计算出来。
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为了建立CT图像，必须先求出每个小单元体的吸收系数。
数学角度上讲，对于n个吸收系数，需要至少建立如上式那样n个或n个以上的独立方程。因此，CT装置要从不同方向上进行多次观测，即扫描（scanning），来获取足够的数据建立求解吸收系数的方程
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Reconstruction Idea =4 2=3 3=2 4=1 (From G. Wang)
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投影
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硬化效应 低能更快的被衰减 近似单能窄束 软件校正
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CT值与灰度 一般软组织的 值接近水的值，肌肉的 值比水 值约高5％，而脂肪的 值比水 值约低10％，脑灰白质间的 值差约0.5％，比水 值约高3.5%，骨的 值约为水的两倍。在实际应用中，使用吸收系数不方便，Hounsfield定义了一个新的吸收衰减系数标尺，即将空气与致密骨之间的X线线性衰减系数的变化，划分为2000个单位，称为CT值。
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1. CT值 吸收系数是一个物理量，可以代表具有生理含义的量值。 医学上，以吸收系数为依据，用CT值统一表达人体组织密度的量值。
CT机中的X线强度测量是相对测量，即测得的是CT值的相对值。
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CT值：CT影像中每个像素所对应的物质X线线性平均衰减量大小的表示。实际中，均以水的衰减系数作为基准，CT值定义为将人体被测组织的吸收系数μX与水的吸收系数μW的相对差值，用公式表示为：
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如选用X线能约为73keV，水的吸收系数为1，骨骼的吸收系数为1.9~2.0，近似为2；空气则为0.0013近似为0； 人体不同组织的CT值
组织分类 CT值 空气 —1000 脑灰质 36~46 脂肪 —100 脑白质 22~32 水 软组织 50~150 血液 10~80 骨 200~1000
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人体各组织的CT值大致在骨骼和空气的CT值范围以内。
选用X线能量不同时，人体组织对X线的吸收系数是不一样的，组织的CT值也不一样。
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2．灰度显示 灰度是黑白或明暗的程度，在图像面上表现各像素黑白或明暗程度的量。
从全黑到全白可有无数个不同的灰度。在图像面上以灰度分布的形式显示CT影像。 计算机对获取的投影值进行一定的算法处理，求出各体素的衰减系数值，获衰减系数矩阵。再把各体素的衰减系数值转换为对应像素的CT值，就得到CT值的二维分布(CT值矩阵)后，图像上各像素的CT值转换为灰度，就是CT影像。
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2．灰度显示 一个CT值对应一个灰度。 CT机常选用的CT值为2000，相应的灰度值也有2000个，即从全黑(-l000HU)到全白(十1000HU)有2000个不同的黑白或明等级。 2000个CT值可转变为图像面上的2000个灰度，所以CT像是一个灰度不同、且灰度变化不连续的图像。
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第二节 扫描方式与数据采集 一、扫描方式 扫描装置主要包括X线管、扫描床、检测器和扫描架等。X线管和检测器固定在扫描架上组成扫描机构，它们围绕扫描床上的受检体进行同步扫描运动，这种同步扫描运动形式称为扫描方式。
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CT扫描成像的基本过程 主控计算机的扫描软件程序与扫描控制系统的监控程序、测试单元和扫描的初始化始终保持着双向通讯。
通过操作者输入的指令，由扫描控制系统调整扫描机架的旋转、倾斜、床面的升降、水平运动、准直器的宽度和扫描的开始和结束。
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CT扫描成像的基本过程 扫描后的X线由数据采集系统(DAS)收集和转换，并提供给图像处理系统成像。
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扫描方式——代的改进 单束——第一代 窄扇束——第二代 宽扇束——第三代、第四代 ——螺旋CT ——多排螺旋CT 电子束——第五代、第六代
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1. 单束平移-旋转方式 (一代)扫描装置是由一个X线管和一个检测器组成，X线束被准直成笔直单线束形式，X线管和检测器围绕受检体作同步平移-旋转 (T/R)扫描运动。
X线利用率低，扫描速度慢，做一个体层扫描约需5min时间，只适用于无相对运动器官的扫描，如头部等。
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第一代，单束平移旋转
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First Generation One detector Translation-rotation Parallel-beam
(From G. Wang)
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2. 窄扇形束平移-旋转方式 (二代)扫描装置由一个X线管和6~30个检测器组成同步扫描系统。扫描时X线管发出—张角为3O~15O的扇形X线束，6~30个检测器同时采样，仍采用平移-旋转扫描方式。
扫描采样的速度加快，重建图像的速度加快，扫完一个体层的时间为10s左右，能实现对人体除心脏器官以外的各器官的扫描成像。扇形束的中心X线束和边缘X线束的测量值不相等，故需校正。
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第二代，扇束平移/旋转
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Second Generation Multiple detectors Translation-rotation
Small fan-beam (From G. Wang)
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3. 旋转-旋转(R/R)方式 (三代) 扫描装置由一个X线管和由250~700个检测器(检测器阵列)排成一个彼此无空隙的、可在扫描架内滑动的紧密圆弧形排列组成。X线管发出张角为30O~40O能覆盖整个受检体的宽扇形线束。 不再需要直线的平移，只需X线管和检测器做同步旋转运动即可。 同步旋转可进行360O角度的扫描。
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3. 旋转-旋转(R/R)方式 宽束扫描X线的利用率高，同步扫描装置只有旋转运动，可靠性也比平移-旋转方式高。全身CT中某体层的扫描时间已降为l s左右。缺点：要对每个相邻的检测器的灵敏度差异进行校正，否则由于同步旋转扫描运动会产生环形伪像。
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第三代，扇束，连续旋转，单X射线源多检测器同步旋转
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Third Generation Multiple detectors Translation-rotation
Large fan-beam (From G. Wang)
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4. 静止-旋转扫描(S/R)方式(四代)扫描装置由一个X线管和600~2000个检测器组成。
检测器在扫描架内排列成固定静止的检测器环，X线管发出30O~50O宽扇形X线束进行旋转扫描。与宽束扫描不同，在静止-旋转扫描方式中，对于每个检测器来说所得投影值相当于以该检测器为焦点，由X线管旋转扫描一个扇形面而获得，此扫描方式也称为反扇形束扫描。
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第四代，扇束，连续旋转方式
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Fourth Generation Detector ring Source-rotation Large fan-beam
(From G. Wang)
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静止-旋转扫描方式又两种，一是X线管旋转轨道设置在固定的检测器圆环内的普通静止-旋转扫描(S/R)方式；另一种是将X线管旋转轨道设置在检测器环外的章动-旋转(N/R)扫描方式。
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4. 静止-旋转扫描(S/R)方式 优点：用每一个检测器相继完成多个方向上投影的检测，或者说在一个检测器上获得多个方向的投影数据，能较好地克服宽扇束扫描中由于检测器之间差异所带来的环形伪影； 扫描速度同宽扇束相比也接近或有提高。
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5. 螺旋扫描方式 产生于1989年，是在滑环扫描技术基础上引出的一种新的扫描技术，属于第三代基础上的发展。
螺旋CT使用的是散热性能好的大容量X线管和高效率的检测器。 与传统的扫描方式不同的是：螺旋CT采集数据的扫描方式是X线管由以往的往复旋转运动改为向一个方向连续旋转扫描，受检体同时向一个方向移动，X线管相对于受检体的运动划过一柱面螺旋线形轨迹。
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Third & Fourth Generations
(From Picker) (From Siemens)
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高速扫描 电子束扫描(或超高速扫描) 由一个特殊制造的大型钟形X线管和静止排列的检测器环组成。 大型的X线管内从电子枪发射出的电子束经过两次磁偏转控制，产生电子束以高速的360o旋转偏转，撞击在X线管的很大的圆环形靶上，沿圆环形靶环的圆周上各点依次产生不同方位的扇形X线束，通过适当的准直器后投照在受检体上。扇形束透射受检体后的衰减X线束再投照在静止的检测器环上，便可检出来自不同方位上的投影值。
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高速扫描 电子束扫描(或超高速扫描) 扫描时间可缩短到10ms左右，可用于心肺等动态器官的CT检查
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第五代，C-100超高速CT
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E-Beam CT Scanner Speed: 50, 100 ms Thickness: 1.5, 3, 6, 10 mm
ECG trigger cardiac images (From Imatron)
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高速扫描 动态空间扫描(五代CT) 由28个X线管和由28个荧光屏-像影增强器组成的检测器以及可转动滑环组成。28个X线管和28检测器分别排成一个半圆周形固定在滑环上相对应，每相邻两个X线管间的角度为6o。在影像增强器前面的荧光屏，作为X光子和可见光的转换器件，每个影像增强器后面有图像摄像系统，用于采集数据。
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高速扫描 动态空间扫描
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各代CT比较 第一代 第二代 第三代 第四代 第五代 扫描方式 笔束扫描 扇束扫描 运动方式 平移/旋转方式 连续扫描方式 扫描时间
3min 10s~2min 2.8s~10s 1s~10s 更快 主要用途 头颅扫描 全身扫描，观察除心脏外的脏器 可用于血管造影和心脏造影
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（二）螺旋CT扫描 螺旋扫描方式 单层 旋转一周一幅图象 多层 旋转一周四幅图象
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螺旋扫描方式 优点： 一是提高了扫描速度，减少了运动伪像； 二是由于可以进行薄层扫描，且在体层与体层之间没有采集数据上的遗漏，可提供较好的三维图像重建的容积数据，便于进行各种方式、各个角度的影像重建，如重建三维图像。
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Spiral/Helical Scanning
Simultaneous Source rotation Table translation Data acquisition (From G. Wang)
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滑环和导电碳刷代替电缆
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1、滑环技术 Varian
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Spiral CT Scanner Gantry Data acquisition system Table Computer
Parallel processors Control console Storage units Tapes, disks Recording device Network interface X-ray generator Heat exchanger (From Elscint)
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扫描方式
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Spiral CT Scanner Network Gantry Source Computer Parallel processor
Display Control console Table Recording Detectors Data acquisition system Storage units: Tapes, disks
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多排螺旋CT
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Data Acquisition System (DAS)
Pre-Collimator Post-Collimator Scattering Source Detector Filter Patient (From G. Wang)
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Data Acquisition System (DAS)
X-ray Tube Source Filter Detectors CT Gantry (From Siemens) Detector (From G. Wang)
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MSCT技术 GE-PHEILIPS-SIMENS-TOSHRBA…… 安科、东软……
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二、数据采集原则 1、体素与像素对应 2、扫描应毫无空隙的覆盖或局部的重叠 3、提高数据采集的扫描速度 4、数据采集过程要精确
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常规CT数据采集方法 1. 数据采集的基本原理 数据采集是利用X线管和检测器的同步扫描来完成的。检测器是一种X线光子转换为电流信号的换能器。
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1. 数据采集的基本原理 第一次扫描先采用等间隔的直线平移，令直线平移以单位长度为步长等间隔运动，被测人体层被分割的小单元体的宽度等于这个单位长度。
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1. 数据采集的基本原理 X线束对被测人体断层每扫描一个间隔，透射出的X线强度检测后，可得到该处吸收系数之和的值，这个数值不仅与X线束穿透物体的性质有关，还与X线束的空间位置有关。 当直线平移扫描完一个断层后，就获得一个方向上的一组吸收系数之和的数值与X线束扫描位置的曲线。这个曲线称作X线束经被测人体吸收后在该方向上的投影(P)，投影上各点数值称为投影值。
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1. 数据采集的基本原理 第一次直线平移扫描后，需要旋转一个小角度改变方向作第二次扫描，得到另一个方向上的投影。重复此过程，得到整个断层所有方向上X线束的投影。 设每一次直线平移扫描为l80次，即一个方向上得到180个投影值，把被测体层分成180×180个单元，须旋转180次，每次旋转角度为1O。 X线束扫描被测体层中，得到180×180个投影值，建立180×180个方程，通过计算求解出180×180个单元体所对应的吸收系数。
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螺旋CT参数
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第三节 CT图像重建
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一、数理基础 （一）、体素与像素
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1. 体素：在CT扫描中，根据断层设置的厚度、矩阵的大小，能被CT扫描成像的最小体积单位。
体素为体积单位，有长、宽、高三要素。 CT中体素的长和宽都为1mm，高度或深度则根据层厚可分别为10、5、3、2、1mm等。
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2. 像素：又称像元，是构成CT图像最小的单位。它与体素相对应，体素的大小在CT图像上的表现，即为像素。
像素与体素
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3. 矩阵：是像素以二维方式排列的阵列。它与重建后图像的质量有关，在相同大小的采样野中，矩阵越大像素也就越多，重建后图像质量越高。
常用的矩阵有：256×256、512×512和1024×1024。
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(二)图像矩阵 1. 图像矩阵 把一个被测人体断层像加上一个栅格那样，有规律地划分许多大小均等的小单元体，每行或每列的小单元体的宽度都相等。
如果每个小单元体按照扫描过程中的顺序进行排列和编号，便形成了一组有序的数组； CT图像重建中，按照这些有序数组计算和重建图像，这些有序的数组反映在图像平面上就形成了图像矩阵(image matrix)。图像矩阵中的每个元素即为像素。
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图像分割成N×N的矩阵，矩阵中的元素用μij来表示，代表组织的吸收系数或CT值。
矩阵的大小视实际需要和计算机能力选取，矩阵选取过大，计算其各个元素量大小。 头部CT图像采用160×160或256×256矩阵；全身CT图像选用256×256或320×320矩阵；需要显示脊椎骨等结构的细节，采用512×512或640×640矩阵。
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（三）、 扫描与投影 扫描(scanning)是为获取投影(P)值而采用的物理技术。
扫描用近于单能窄束的X线束以不同的方式、按一定的顺序、沿不同的方向对划分好体素 的受检体层进行投照，并用高灵敏度的探测器接收透过一串串体素后的出射X线束的强度I。 这是CT重建图像中采用的获取投影数值的物理技术，即采集数据的扫描技术。
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扫描与投影 投照受检体后出射X线束的强度I称为投影，投影的数值称为投影值，投影值的分布称为投影函数。
扫描的方式有平移扫描，旋转扫描，平移加旋转扫描等。 扫描方式的选择决定着重建图像的速度，同时，扫描方式的采用也受算法的制约。
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投影
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投影
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3. 吸收系数 上式表达的是对划分每小单元体厚度为l内的吸收系数假定为均匀的一种形式。
实际上沿着X线束的路径上，穿过人体各组织的组成成分各不相同，对X线的吸收系数是不均匀的。
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3. 吸收系数 对人体内器官或组织的断层平面进行数据采集，需要将这一断层平面设定在直角坐标系(X-Y坐标系)中。
在断层平面上每一点的吸收系数是坐标(x，y)的函数，设为f (x，y)。 当X线束在断层平面进行扫描时，围绕着断层平面的中心点进行平移和旋转的。由于X线束在平移和旋转扫描中，X线的投影P总是与X线来路径L有关。
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3. 吸收系数 设X线束路径L到坐标中心O的距离为R，与y轴夹角为θ，则X线束路径L用直线方程表示为： xcosθ+ysinθ=R
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3. 吸收系数 X线的投影是随着X线束扫描方向和路径的不同而变化的，经过坐标变换后，X线束穿过以吸收系数为f (x，y)的物体，在R-θ坐标平面上的投影的一定是坐标（R，θ）的函数，记为P(R，θ)。 当在某一θ角度时，平面坐标上的投影P(R，θ)为：
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3. 吸收系数 如有一半径为a的均匀圆形物体，如图所示，设其吸收系数为 。当θ=0O时，X线束与y轴是平行的，并且X线束路径到坐标中心点的距离为R。它的投影Pθ（R,θ）为：
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3. 吸收系数 由于均匀圆形物体各个方向上的投影均相同，都可以用上式来表示。将上式描绘在坐标图上，如图所示。从图中可看出随着R的取值不同，得到不同的投影值。
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3. 吸收系数 数据采集可以得到X线束在各个方向上的投影(X线束的投影是已知的)，要从一个线性积分方程式中解出吸收系数f（x，y）。
如何根据投影Pθ(R，θ)求解出断面上线性衰减系数分布f (x，y)，就是CT图像重建的数学方法问题。 根据投影来求解线性衰减系数分布(x，y)的各种数学方法称为“算法”。
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五、图像重建 (一) 图像重建的基本要求 1. 应不失真地反映被测人体体面上的图像信息 2. 要在尽可能短的时间内完成计算
(一) 图像重建的基本要求 1. 应不失真地反映被测人体体面上的图像信息 2. 要在尽可能短的时间内完成计算 3. 要在理论上和技术上可行
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(二) 图像重建的基本原理 最基本问题：假设物体O是一个具有不同密度的物体，P是该物体中不同密度的平面投影，该物体被想象切成一个断面S，该断面在平面P上被投影成一条状影像，断面圆柱体的密度投影在平面上产生可计算的数据。 再假设断面的厚度消失变成一个面，条状的投影变成一条线，同时允许圆柱体缩成一条线。由此在平面P上某一点的投影密度值是沿直线方向通过物体O密度的直线方向合成。
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(二) 图像重建的基本原理 数学上需解决问题是作平面内沿直线方向密度的线合成，很显然，除非这个物体比所需投影的物体更对称(例如圆球或圆柱体)。另一个数学的问题是，要准确地重建这个物体需作多少投影。
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(二) 图像重建的基本原理
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(二) 图像重建的基本原理 假设一个物体O由坐标X，Y表示，衰减系数的分布则由(X，Y)作出，在物体中X，Y方向各点之间的值是各不相同的。如果一个笔形束X线强度I0沿直线方向通过物体，落在探测器上的射线强度是I，那么就可作出(X，Y)线合成的投影： I= 实际应用的问题是通过物体后必须有足够的射线量。
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(三)图像重建方法 (一) 反投影法 反投影法(back projection)又称总和法，是利用投影数值近似地复制出值的二维分布。
基本原理是将所测得的投影值按其原路径平均的分配到每一点上，各个方向上投影值反投影后，在影像处进行叠加，从而推体出原图像。
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(一) 反投影法
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(一) 反投影法
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(一) 反投影法
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(二) 傅里叶变换法 1．二维傅里叶变换法 傅利叶变换是将任意一周期信号或非周期信号变换成用其自身频率特性表述的一种形式，使信号的变化与频率变化之间建立内在的联系，从分析频率特性的角度来揭示信号本身的变化观律。如图所示的矩形波信号，经过傅里叶变换成频率变化的形式。
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1．二维傅里叶变换法 二维傅里叶变换法的过程如图所示。将各个投影进行一维傅里叶变换，再把各角度上的变换结果汇集起来，在变换成极坐标上补足求得的傅里叶变换的频域曲面，再改为空间直角坐标。按公式进行二维傅里叶反变换后即可得到重建图像。 二维傅里叶变换法是最理想的图像重建方法之一。但该方法需要进行正、反两次傅里叶变换，计算量比较大，在实际应用中不易实现。
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1．二维傅里叶变换法
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2．傅里叶变换反投影法 在反投影法中，反投影重建图像的吸收系数与实际图像之间有关系：
校正模糊失真的步骤可先将fb(x，y)作二维傅里叶变换，然后将变换结果用ρ加权，则得真正图像的二维傅里叶变换式，有： 在此基础上再行二维傅里叶反变换，按公式获原图像吸收系数分布面函数f（x，y）。显然仍需进行二维傅里叶正、反变换，因此并未减少计算量。
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(三) 滤波反投影法 滤波反投影法也是解析法中的一种。这种方法为了消除模糊因子1/r的影响，并将二维傅里叶变换改为只进行一维傅里叶变换，既可校正失真，又可简化计算量，提高图像重建速度。 采用卷积计算的滤波反投影法当前应用最为广泛，故也称卷积反投影法(convolution back projection，CBP)。
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(三) 滤波反投影法 滤波反投影法 成像方法是在后投影之前，对所有的投影数据进行滤过或卷积，使结果的图像无所谓的“星月样”晕伪影。
滤波反投影法 成像方法是在后投影之前，对所有的投影数据进行滤过或卷积，使结果的图像无所谓的“星月样”晕伪影。 成像的过程可分成三步：首先是获取全部的投影数据并作预处理。 其次是将所得数据的对数值与卷积公式相乘，其间须通过大量的数学运算，同时采用的算法还须考虑图像的分辨率和噪声等。 最后，其后投影数据值中正负值相互抵消，根据系统显示的不同矩阵大小，各投影滤过的原始数据被投影成像并通过监视器显示。
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(三) 滤波反投影法
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(三) 滤波反投影法
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(三) 滤波反投影法
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(三) 滤波反投影法
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Cone-Beam Geometry
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螺旋锥形束CT (From G. Wang)
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心脏成像
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动态成像
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4D CT
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4D CT
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4D CT 检测器
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Multi-source cone-beam CT
Detector Source (From G. Wang)
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小动物成像 Micro-CT
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Works on Cone-Beam CT Kirillov A.A. (1961)—Completeness condition Tuy H.K. (1983)-- Completeness condition Feldkamp L.A.(1984)---Practical,Incomplete projection Smith B.D.(1985)-- Completeness condition Grangeat P.(1987)—Reconstruction Algorithm Ge Wang .(1991)—Reconstruction Algorithm Defrise M.Clark R.(1994)-- Reconstruction Algorithm Kudo H. Saito T.(1991,1994)– Reconstruction Algorithm
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CT重建算法 近似重建算法 迭代重建算法 精确重建算法
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经典断层成像
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反投影重建算法 反投影重建算法的一般步骤： 原像 重建后图像 取投影 反投影重建
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反投影重建算法的物理概念 投影重建算法的基本内容： “断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和（的平均值）”。
式中xk表示象素的值，pk,i为经过象素的第i条射线投影。可以这样理解： 其中f(x,y,z)是身体组织密度。
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算法举例 2 1 5 3 4 6
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算法举例 根据反投影算法x1=p5 = 5 x6=p2+p3+p5=18 … 平均化处理，除以投影线数目 xi=xi/6
5 2 1 根据反投影算法x1=p5 = 5 x6=p2+p3+p5=18 … 平均化处理，除以投影线数目 xi=xi/6 5 6 2 3 7 18 12 1 10 8 3 4 6 原像素值 反投影重建后 0.83 1 0.33 00.5 1.16 3 2 0.06 1.66 1.33 0.16 0.5 再除以投影线数，平均化 断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和的平均值
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星状伪迹 反投影重建后，原来为0的点不再为0，形成伪迹 原像素值 再除以投影线数，平均化 5 2 1 0.83 1 0.33 0.5
5 2 1 0.83 1 0.33 0.5 1.16 3 2 0.06 1.66 1.33 0.16 原像素值 再除以投影线数，平均化 反投影重建后，原来为0的点不再为0，形成伪迹
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星状伪迹 1 1/n 1 我们考虑孤立点源反投影重建，中心点A经n条投影线投影后，投影值均为1： p1=p2=...=pn=1 因此重建后
这类伪迹成为星状伪迹 1 1/n 1
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星状伪迹 产生星状伪迹的原因在于：反投影重建的本质是把取自有限物体空间的射线投影均匀地回抹(反投影)到射线所及的无限空间的各点之上，包括原先像素值为零的点
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反投影重建算法的数学描述 我们设置一旋转坐标系统Xr-Yr,它绕原点转动使投影线总是沿着Yr方向。Xr-Yr的原点与X-Y的原点相重。两者的夹角为φ，不同的φ代表不同的投射方向。投影线的位置可由(Xr,φ)完全确定。空间的任一点的位置可用(X,Y), (Xr,Yr)或极坐标(r,θ)表出。
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反投影重建算法的数学描述 先设φ为离散取值， 则投影为 根据反投影重建的定义式，点 的图像在所述坐标系统表示为 式中， , 为投影数
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反投影重建算法的数学描述 若在有限区间内射线增至不相重的无限条，即连续投影，则式(4.12)过渡到更一般的连续情况下的反投影表达式：
在输入图像为点源的情况下，由式(4.10)及式(4.13)可得
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反投影重建算法的数学描述 可见，反投影重建算法相应的系统的扩展函数不是δ函数，系统不是完美的．式定量地描述了反投影重建算法星状伟迹的本质．
要除去反投影算法的星状伪迹，我们可以在输出端加一滤波器，使加了滤波器后的反投影重建成像系统PSF＝δ(x,y).使滤波器的PSF为q(x,y),相应的传递函数为Q(ξ,η),这里 我们要求：
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反投影重建算法的数学描述 ＊＊表示二维卷积，对上式取二维傅立叶变换得 或
这是一只二维滤波器，实现起来比较麻烦．若ρ的变换范围可扩至∞，根本不能实现，但不管怎样，它提供了去除星状伪迹的一个努力方向．
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反投影重建算法的实现 正弦图中，射线位置用 描述，扫描操作由角增量Δ，步距d步进；若正弦图的Δ，d不是足够小，图中的某些点 可能找不到一点（mΔ，nd）与其对应； 若令Фi＝ m Δ，那么， 一般地， 故 不能直接得到，须内插。
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内插
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内插方法 1.紧邻内插:在 时，若 则以 中的内容 直接代替 。否则，用 代替 2.线形内插：如果 ，则
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滤波反投影算法 去除星状伪迹的两种方法： 取投影 一维滤波器 反投影重建 二维滤波器 输入图像（原图像） 输出图像(同原图像)
图4.18 星状尾迹的去除 （b） （a）
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滤波反投影算法 第一种方法中的二维滤波器较难实现。 第二种方法交换了滤波与反投影的顺序，此时投影数据是一维的，易于实现。
此方法的理论基础就是我们即将提到的投影定理（中心切片定理）
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投影定理 某一图像 在视角 时投影 的1D傅立叶变换给出 的2D傅立叶变换 的一个切片，切片与 轴相交成 角，且通过坐标原点。即
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投影定理
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卷积反投影重建 待建图像为a(x,y),它的2D傅氏变换为: 由中心切片定理：
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卷积反投影重建 待建图像 其中
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卷积反投影重建 上式的物理意义是： 投影 经过传递函数为 的滤波器滤波后得到的修正后的投影 在 处的取值。后者恰是通过给定点的射线方程。
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卷积反投影重建 可得 物理意义： 经过给定点 的所有滤波后的（射线）投影在0- 范围内的累加——反投影重建，得出 点的像素值。
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卷积反投影重建 称“滤波反投影方程”，它体现了滤波（卷积）反投影算法的三个步骤：
1 把在固定视角 下测得的投影 经过滤波，得到滤波后投影 ； 2 对每一个 ，把 反投射于满足 的射线上的所有各点 ； 3 将步骤2中的反投影值对所有 进行累加（积分），得重建后的图像。
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卷积反投影重建
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平行射束卷积反投影重建算法的计算机实现 滤波函数与内插函数的选取原则 常用滤波函数举例 卷积反投影算法计算机实现步骤
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成像的特点 1．投影数据的高频(空间域频率)分量幅度很小； 2．投影数据的采集是天然离散的； 投影数据 滤波函数 3．存在噪声。
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两种内插函数 紧邻内插： 线形内插：
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滤波函数的选择 为了醒目起见，可将式(4.39)中的m 作为常数，于是有： 及 同理，把 看成常数，由 得：
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常用滤波函数举例 1. R—L滤波函数 (i)系统函数 式中，B=1/2d，且：
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(ii)相应的冲激响应
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(iii)采样序列 采样间隔为d，对应的最高不失真空间频率为1/(2d) 的离散形式如下： 偶数 奇数 如将 的离散表示进行线性内插，则得另一连续的空域函数 ，是 的一次近似。
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2.S—L滤波函数 选取sinc函数作为窗函数。于是有： 相应的冲激响应 为：
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如令 y=4BXr，则得：
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采样序列 对 进行均匀采样， 得： 将这一离散形式进行线性内插，则得连续的空域函数 ：
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对经线性内插后的函数 进行傅立叶变换得： 用S—L滤波函数重建的图像其振荡响应减小，对含噪声数据的重建质量也较R—L滤波函数情况为好，但在低频段不及R—L滤波函数的重建质量高。
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计算机实现滤波反投影的主要步骤 卷积计算 射束计算与内插 反投影重建 CT值的窗口处理
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国产XDN-1型CT装置主要技术参数 扫描方式：平移/旋转，每次旋转1度，共转180度 每度平行扫描采样点数：256点
图象矩阵：256×256 CT值范围：-1024～1023 显示灰度：64级 断层数：每次扫描得到两个断层面
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卷积计算 卷积计算的硬件如下图 RAM1存放未经滤波的投影数据p(n)，RAM2存放滤波函数的离散 值h(n)，RAM4存放卷积后投影序列。
对于RAM1，平移扫描采样点数为256，加上p’和p’’，两层总共516个数值，512不够，所以采用1K单元，每单元长为16位(因为p的离散值必为非负值)。 对于RAM2，滤波函数序列511点，所以采用512×32位。 每计算一点的卷积后投影总共需要511次乘法和510次加法。乘法用16×16乘法器实现，加法用运算累加器实现。
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扇形
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扇束投影重建算法的分类 重排算法 把一个视图中采得的扇形数据重新组合成平行的射线投影数据，然后用上一节的算法重建。 直接重建算法
不必数据重排，只需适当加权即可运用与上一节类似的算法重建
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扇形射线的型式 等角射线型 等距射线型
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等角射线扇束数据的直接重建算法 ：X射线源 ：检测器阵所在弧线 ：中心射线
扇形位置由该中心射线与y轴交角 确定，同一扇形中的射线 由规定，射线的绝对位置由（，）唯一确定。
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等角射线扇束数据的直接重建算法 重建物体断面图象a(r,)。 故射线 的位置 所对应的射线投影为：
我们的任务是：给定 重建物体断面图象a(r,)。 故射线 的位置 所对应的射线投影为： 现在要用到 旋转角的扫描，由扫描装置的对称性，可知：
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重建算法的推导 1．改写反投影重建表达式 2．改换变量以适应扇束投影数据
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重建算法的推导
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重建算法的推导 3. 重置滤波函数变量 4. 用扇束投影数据与扇形变量表示重建公式 其中
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扇束算法
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平行束算法
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结论 扇束情况下的重建算法较为复杂，但实质没有改变。可采用平行束情况下的算法实现，只需加以适当地修正即可。
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扇束扫描程序
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CT值的窗口处理 CT装置的主要优点是引进了CT数，并可对CT值开窗以选择一段动态范围，对应于监视器上的全部灰度，从而大大提高密度鉴别力。
常用的窗口处理包括： 单窗 SIGMA窗 双窗 自适应窗
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CT值的窗口处理 单窗
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CT值的窗口处理 双窗：可以同时观察两种CT值相差很大的不同组织的情况。双窗之间要在断层的平面区域之间划出界限，否则会导致混淆。
SIGMA窗：CT值到灰度值的映射曲线类似反转的∑。可以认为是双窗的一种变种。需要由有经验的医生诊断鉴别。 自适应窗：单窗的分段实现，可以同时观察两种CT值差别很大的不同组织，而且不会出现区域的混淆。采用的方法是在单窗的基础上弃除没有诊断价值的一段CT值范围。
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扇束投影重建算法及其实现 笔束平移/旋转扫描扫描时间长，只宜用于头颅扫描，不能用来观察肺等动态脏器。 速度慢的根源：
1、采用单X射线源单检测器； 2、既有平移运动又有旋转运动，运动方式改变频繁。 提高数据采集速度的途径： 1、扇束扫描：单X射线源多检测器 2、机架连续旋转
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