第五章 角动量•关于对称性 前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律

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1 第五章 角动量•关于对称性 前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律
对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围

2 §5.1 前 言 一、本章的基本内容及研究思路 角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题开辟了新途径。 角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最

3 二、本章的基本要求 三、本章的思考题及练习题 普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没 有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对 称性问题是十分有益的。 二、本章的基本要求 理解质点及质点系角动量的物理意义； 掌握质点、质点系的角动量定理； 掌握角动量守恒定律； 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。 三、本章的思考题及练习题

4 §5.2 质点的角动量 一、质点的角动量 1.思考题：教材P164-165
2.练习题： §5.2 质点的角动量 一、质点的角动量 角动量的概念是怎么引出来的？三个重要的例子（教材第149页） ● 行星绕太阳公转时，掠面速度守恒

5 因在平面内运动，故 ● 橡皮筋实验，掠面速度亦为一恒量 ● 质点匀速直线运动，对线外任一点掠面速度守恒 上述不同的运动有共同特征，即 ，（运动学量），能否对它们提供统一的动力学描述？ 前两种运动的动量、动能均发生变化， 后一种动量、动能均守恒。因此，动量和动能都不是对上面现象作出统一描述的物理量。研究上述问题总需要选择参考点，对于一矢量，常可研究它对某参考点的“矩”。 定义：质点对于参考点的位置矢量与其动量的矢积 称为质点对该参考点的角动量（或 动量矩）。

6 此时它包含了质量，是一个动力学量！ O x y z L r mv φ （a） L 含有动量 mv 因子，因此与参考系有关；L 还含有 r 因子，r 又依赖于参考点的位置，故又与参考点的选择有关。例如，图（b）中对 点的角动量与对 点角动量是不相同的。 （b） 应当指出的是，虽然质点相对于任一直线（例如 z 轴）上的不同参考点的角动量是不相等的，但是这些角动量在该直线上的投影却是相等的。如图（b）所示，取 S 平面与 z 轴垂直，则质点对于 点及 点的角动量分别为 L

7 [例题] 质量为 m 的质点在 x-y 平面内以速度 v 作匀速直线运动，如图所示，求此质点相对于原点O 的角动量。
与 ， 和 分别等于以 及 为邻边及以 及 为邻边的平行四边形的面积， 与 在 z 轴上的投影分别是 和 ，由图（b）可见， 和 分别是相应的两个平行四边形在 S 面上的投影面积，两者是相同的，故 上述三个典型例子意味着对选定的参考点的角动量守恒。 我们把质点对 z 轴上任一点的角动量 在 z 轴上的投影，叫做质点对于 z 轴的角动量，用 表示，上面已证明， 的数值是与参考点无关的。 [例题] 质量为 m 的质点在 x-y 平面内以速度 v 作匀速直线运动，如图所示，求此质点相对于原点O 的角动量。 [解] 根据角动量的定义式

8 二、力对一参考点的力矩 设 k 为沿 z 轴的单位矢量，则质点的角动量为
即 L 指向 z 轴负方向。由上图可以看出， 正好等于 O 点与轨道的垂直距离 d ，因此代入上式得 由上例可以看出，并非质点仅在圆周运动时才具有角动量，质点作直线运动时，对于不在此直线上的参考点也具有角动量。另外，还可以看出，如果把参考点选在该直线上，则 ，质点对该点的角动量永远等于零。因此，当谈到角动量时，必须指明是对哪个参考点而言的，否则没有意义。 二、力对一参考点的力矩 动量定理说明，引起动量改变的原因是力；下面将看到，引起角动量改变的原因是力矩。 对于力矩的概念，虽然在中学物理课中已作过初步介绍，

9 例如，推门时作用力对门轴有力矩，用扳手拧螺帽时作用力对螺杆的轴有力矩等，但那里讨论的只是物体绕一定轴线转动，所遇到的力矩总是对轴的力矩，是力矩的一种特殊形式，力矩的普遍定义是对一定参考点的，对轴的力矩只是对点的力矩沿轴线的一个分量，下面将给出力矩的一般定义。 O x y z r φ τ F A 如右图所示，O 是空间一点，F 是作用力，A 表示受力点，受力点相对于参考点O 的位置矢量 r 与力 F 矢量的矢量积τ 叫做力 F 对参考点O的力矩，其数学表达式为τ= r× F 由定义可知，同一个力对于不同的参考点有不同的力矩，因此讲到力矩时必须指明是相对哪一点而言的。当力 F不为零时，力矩τ仍可能为零，这有两种情况：一是力的作用点就在参考点 O ，此时位置矢量 r =0；另一种是沿力的方向的延长线通过参考点 O ，此时sinφ=0 。如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定的中心，这种力叫做有心力，该固定点称为力

10 三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律 心，上述第二种情况，有心力相对于力心的力矩恒为零。
力对 O 点的力矩τ 在通过 O 点的任一轴线如 z 轴上的分量，叫做力对轴线 z 的力矩，用 τz 表示，这就是中学物理课中给出的力矩的定义。正如上面对于角动量的讨论一样，力 F对于轴线 z 上任一点的力矩τ 在该轴线上的分量的数值 τz 是与所选参考点无关的。 三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律 ● 质点的角动量定理

11 上式表明，在惯性系中，作用在质点上的合力对某参考点的力矩，等于质点对同一参考点角动量对时间的变化率，这个结论叫做质点的角动量定理。
把质点角动量定理在直角坐标系中表达，可得到三个分量方程： 即质点对轴的角动量随时间的变化率等于作用于质点的合力对同一轴的力矩，称做质点对轴的角动量定理。 ● 质点角动量守恒定律 根据质点角动量定理 ，如果 ，则 即作用于质点的合力对参考点O的力矩始终为零，则质点对该点的角动量保持不变，称为质点对参考点 O 的角动量守恒定律。

12 §5.3 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 四、质点对轴的角动量定理和守恒定律（自阅） 一、质点系角动量定理
角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，和动量守恒定律一样，它不仅适用于宏观物体的运动，而且对于牛顿第二定律不能适用的微观粒子的运动，它也适用。 四、质点对轴的角动量定理和守恒定律（自阅） §5.3 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 一、质点系角动量定理 设质点系由 N 个质点组成，对选定的某固定参考点，第 i 个 质点的角动量定理的表达式为

13 L 表示质点系内各质点对于参考点 O 的角动量的矢量和，叫做质点系对 O 点的角动量，根据牛顿第三定律，质点系的内力总是成对出现，每一对内力的大小相等，方向相反，作用在同一直线上，因此它们对同一参考点的力矩的矢量和为零，只有外力矩有贡献。这样，求和方程变为 （1） 即质点系对于参考点O的角动量随时间的变化率等于各质点所受外力对该点力矩的矢量和，称为质点系对参考点O的角动量定理。 这个定理告诉我们质点系的角动量随时间的变化率只决定

14 于质点系所受外力矩的矢量和，而与内力矩无关。内力矩只能使系统内各质点的角动量改变，但不能改变质点系总的角动量。在直角坐标系中，上式沿三个坐标轴的投影式为
（2） 如果只考虑上式中某一个分量，例如 z 分量，则表现为对轴的特征，即质点系对于 z 轴的角动量对时间的变化率等于质点系所受一切外力对 z 轴力矩的代数和，叫做质点系对 z 轴的角动量定理。 二、质点系角动量守恒定律 由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为质点系对该点的角动量守恒定律，即

15 由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
§5.4 质点系对质心的角动量定理和 守 恒 定 律 前面给出的角动量定理和角动量守恒定律都相对于惯性系而言，现在研究质心参考系中质点系角动量的变化规律。如图（a）， 即质心参考系。C 为质心， 和 坐标轴

16 与惯性参考系 的 和 轴总保持平行，而质心具有加速度 。
O x y z C (a) C (b) 图（b）即表示质心参考系中的情况，诸质点相对 C 系的角动量用 表示，又用 表示作用于各质点诸力对 C 点外力矩的矢量和。此外，所有质点各受惯性力 ，根据 ，再考虑诸质点所受惯性力的力矩，即得

17 §5.5 对称性 • 对称性与守恒律 一、关于对称性 式中惯性力矩又可写作
此即质点系对质心的角动量定理，与惯性系中角动量定理具有完全相同的形式。是表明质心系特殊和重要性的又一个例子。 §5.5 对称性 • 对称性与守恒律 一、关于对称性 在远古不同的文化里都有对称的观念，以后又渗透到各种不同的人类活动之中，包括绘画、雕塑、音乐、文学、建筑等等。

18 对称的观念是如何进入到科学里面来的呢？可以讲得很清楚的希腊，希腊人觉得对称是最高的原则，而什么东西是最对称的呢？是圆。所以他们就认为，世界上主宰一切的最高的原则，是以圆和球来做最后决定的。虽然结果并不成功，可是他们的精神里面有很重要的正确方向。在物理学中对称的观念是 年由爱因斯坦引进的，可是最初它对于物理学的重要性并没有被大家所认识，从 年，对称的观念渐渐成为一个主旋律（20世纪有三个主要旋律：量子化、对称、相位因子）。1925年量子力学发展起来以后，有一些数学修养比较高的物理学家就把数学里面非常美妙的一个观念叫做群论引入到物理学里，这对20年代、30年代、40年代分子物理学、原子物理学乃至以后的原子核物理学都起了决定性的作用。

19 为了解对称性的含义，先引进一些概念。首先是“系统”，它是我们讨论的对象；其次是“状态”，同一系统可以处在不同的状态。不同的状态可以是“等价的”，也可以是“不等价的”。设想我们有一个圆，这是几何学中理想的圆（如图a），在它的圆周上打个点作为记号，点在不同的方位代表系统（圆）处在不同的状态。如果把这个记号包括在我们所选的系统之内，则不同状态将不等价。 我们把系统从一个状态变到另一个状态的过程叫做“变换”，或者说，我们给它一个“操作”。如果一个操作使系统从一个状态变到另一 (a) (b)

20 个与之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变，我们就说这系统对于这一操作是“对称的”，而这个操作叫做这系统的一个“对称操作”。例如图(a)中那个圆（不考虑上面的记号）对于围绕中心旋转任意角度的操作来说都是对称的；或者说，旋转任意角度的操作都是这圆的对称操作。如果我们在圆内加一对相互垂的直径（如图b），这个系统的对称操作就少多了。转角必须是90°的整数倍，操作才是对称的。由此可见，图（b）中的图形要比单纯一个圆的对称性少多了。 以上关于“对称性”的普遍定义，是德国大数学家魏尔（H.Weyl）首先提出来的。最常见的对称操作是时空操作。 在物理学中讨论对称性问题时，要注意区分两类不同性质的对称性，一类是某个系统或某件具体事物的对称性，另一类是物理规律的对称性。由两质点组成的系统具有轴对称性，属于前者；牛顿定律具有伽利略变换不变性，则属于后者。

21 二、守恒律与对称性 1918年德国女数学家尼约特（A.E.Noether， ）创建了一条定理，该定理指出：每一条守恒定律都与某一种对称性相联系，每一种对称性也都对应着一条守恒定律。 在经典力学中有： 时间平移不变性→能量守恒定律 空间平移不变性→动量守恒定律 空间转动不变性→角动量守恒定律

22 §5.6 经典动力学的适用范围（自学） 以牛顿三定律为基础建立起来的经典力学体系，取得了很大的成就，应用极为广泛，然而随着物理学的发展，不断有新的实验现象被发现，它们不能用经典力学完满地加以解释，这说明经典力学有一定的局限性和适用范围。 首先，经典力学只适用于研究物体的低速运动问题，对物体的高速运动的问题，要用狭义相对论处理。 其次，经典力学只适用于宏观物体，而一般不适用于微观粒子，研究微观粒子的运动，要用量子力学。