现代信号处理 何继爱.

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1 现代信号处理 何继爱

2 课程要求 适用专业：信息与通信工程、物联网工程、电子与通信 课程性质：学位课 学 时 数：32 学 分 数：2
学 时 数： 学 分 数：2 考核方式：专题报告（20%）+课程总结（10%）+作业10%+考试（60%） 课堂要求： 遵守课堂纪律 对是否做笔记不做硬性规定

3 前言 数字信号处理（DSP，Digital Signal Processing）：
用数字计算机或其它专用数字设备，以数值计算的方式对离散时间信号进行分析、处理。 传统数字信号处理 : 主要针对线性时不变离散时间系统，用卷积、离散时间傅里叶变换、z变换等理论对确定信号进行处理。 现代数字信号处理: 在传统数字信号处理理论基础之上，基于概率统计的思想，用数理统计、优化估计、线性代数和矩阵计算等理论进行研究，处理的信号通常是离散时间随机过程，且系统可能是时变、非线性的。

4 前言－数字信号处理理论与算法 数字信号处理理论（theory）：
根据从工程实际中抽象出的信号模型和系统模型，用数学理论进行严格证明得到的定理等结论。 数字信号处理算法(algorithm)： 为高速或高效实现某种数字信号处理理论，所采用的计算方法或计算技巧。 例：DFT是理论；FFT是实现DFT的计算技巧，属算法。

5 前 言－数字信号处理的实现 非实时实现（ not real-time implementation ）：
前 言－数字信号处理的实现 非实时实现（ not real-time implementation ）： 用高级计算机语言，在通用计算机上实现的信号处理理论和算法；通常是对信号事后分析与仿真；如对采集的接收数据进行特征分析，参数提取与估计等。 实时实现（ real-time implementation ）： 用数字信号处理器或专用数字器件对信号进行实时处理，如： DSP processor (TI, AD)； FPGA/CPLD；专用器件；或通用计算机等。

6 前言－现代信号处理主要内容

7 前 言 教材： 参考资料： 习题：解答题；仿真题 考试：开卷笔试； 成绩：完成习题+专题报告+考试；
前 言 教材： 张贤达. 《现代信号处理》, 清华大学出版社（第三版）. 参考资料： Simon Haykin. “Adaptive Filtering Theory”； 现代数字信号处理及其应用；何子述，夏威等；清华大学出版社 现代信号处理教程；胡广书 编著；清华大学出版社 现代数字信号处理；姚天任主编； 数字信号处理-时域离散随机信号处理；丁玉美 现代数字信号处理 ；杨绿溪 ；科学出版社 习题：解答题；仿真题 考试：开卷笔试； 成绩：完成习题+专题报告+考试；

8 本课程教学内容 基础知识（离散时间信号与系统；离散时间随机过程） 功率谱估计 维纳滤波和卡尔曼滤波 自适应滤波 阵列信号处理与空域滤波
盲信号处理理论 现代信号处理

9 信号与信号空间的基本概念 离散时间系统 确定性信号的相关函数 信号的傅里叶变换 随机信号的功率谱 信号的参数模型
第一章 基础知识 信号与信号空间的基本概念 离散时间系统 确定性信号的相关函数 信号的傅里叶变换 随机信号的功率谱 信号的参数模型

10 本科数字信号处理课程内容 特点：确定性信号处理、针对确定性离散序列 两大内容: •变换 •滤波 其实两者没有本质的区别。

11 本科数字信号处理课程内容 一般的数字信号处理系统

12 本科数字信号处理课程内容 两个基本问题 •离散时间系统的描述：差分方程、状态方程、时间域响应、频率域响应、结构形式、结构特点⎯→滤波器。
•离散时间信号的描述，以及如何简化离散时间系统的分析、设计与实现：z变换、DTFT、DFT、FFT等⎯→主要是各种变换。

13 1.1 信号与信号空间的基本概念 信号及其分类 噪声 信号空间

14 一、信号及其分类 在信号处理学科中，一般用数学函数 x(t)来表 述实际的物理信号。 当函数的自变量是连续变量时，例如x(t)，称
之为连续时间信号；当自变量是离散变量，例如 x(n)，称之为离散时间信号，又称为序列。本书主要讨论离散时间信号。

15 1.序列及其表示 序列及其表示 时域离散信号是指那些在离散时间变量 时才有定义的信号。若它是从时域 连续信号均匀抽样得到的，则将
时刻的信号值定义为离散信号 值，即 而在 时刻就没有定义。 表示连续信 号。

16 1.序列及其表示 序列可以用 来表示，为简便计算也可用 表示。例如 其中箭头所指的值表示n=0时x(n)的值
序列可以用 来表示，为简便计算也可用 表示。例如 其中箭头所指的值表示n=0时x(n)的值 序列的另一种表示方法是用图形表示。

17 2.几种常用信号 单位采样序列 单位冲激信号

18 2.几种常用信号 单位阶跃序列 单位阶跃信号 与 的关系为

19 2.几种常用信号 正弦序列 式中，A为幅度，ω为数字域频率， 为初相， 的单位为弧度。 若把模拟信号中的角频率记为
Ω，且正弦序列是由模拟正弦信号经取样后得到 的，则有 ，其中 为取样周期。由于 ， 为取样频率( )，所以ω又 被称为归一化频率。 复正弦序列

20 3.任意信号的表示 直流分量+交流分量 信号 偶分量+奇分量 实部分量+虚部分量 脉冲分量 分解结果是唯一的 正交分量

21 3.任意信号的表示 信号的脉冲分量分解 —— 任意信号都可用单位取样序列的移位加权和来表示

22 3.任意信号的表示 正交函数： 函数正交的充要条件是它们的内积为0
如果在区间(t1,t2)上,函数f1(t)和f2(t)互不含有对方的分量，则称f1(t)与f2(t)在(t1,t2)上正交 函数正交的充要条件是它们的内积为0 函数f1(t)和f2(t)在(t1,t2)上的内积： 如果一个函数可以用一组相互正交的函数的线性组合来表示，我们就称某个正交函数与相应的线性系数的乘积为该正交函数上的正交分量。

23 {gn(t): 1nN}是区间(t1,t2)上的正交函数集的条件：
3.任意信号的表示 {gn(t): 1nN}是区间(t1,t2)上的正交函数集的条件： 任一函数 f (t)在(t1,t2)上可表示为正交函数集内函数的线性组合。 正交分量的系数

24 4.信号的分类 周期信号与非周期信号 对于序列 ，若有 ，k为整数，N为正整数，则称 为周期信号，并将满足此式的最小正整数N，称为该周期信号的周期；否则， 为非周期信号。

25 4.信号的分类 确定性信号与随机信号 若 在任意n时刻的值皆能被精确地确定，则 称此信号为确定性信号；若 在n时刻的值需要
按某种分布律随机确定，则此信号称为随机信号。

26 4.信号的分类 能量信号与功率信号 序列的能量定义为 若 ，称为能量有限信号，简称为能量信号。 若 ，则称之为能量无限信号。对这类号，
若 ，称为能量有限信号，简称为能量信号。 若 ，则称之为能量无限信号。对这类号， 我们转而用功率来描述它们。信号的功率定义为 若 ，则称为功率有限信号，简称为功率信 号。

27 4.信号的分类 多维信号与多通道信号 若信号是k个自变量的函数，则称它k维信号。 例如，一维语音信号x(n)，n是时间变量。二维
图象信号x(n, m)，n、m为坐标变量。 若信号 是一个m维矢量，即 则称 为m通道信号，每个分量代表一个信号 源。

28 4.信号的分类 采样信号 若一个序列 是由一个模拟信号 采样 而成，即 则称 为抽样信号， 为抽样周期。

29 二、噪声 在信号处理时，对于所采集的信号 ，可以 将其分为两个部分，一是我们感兴趣的部分，称 之为有用信号 ；而其余部分则称之为噪声
在信号处理时，对于所采集的信号 ，可以 将其分为两个部分，一是我们感兴趣的部分，称 之为有用信号 ；而其余部分则称之为噪声 若观测信号 可表示为 ，则 称 中含有加性噪声； 若 ，则称 中含有乘性噪声； 若 ，则称 中含有褶积性噪声。

30 三、信号空间 信号空间的定义 把信号 （或 ）设想为空间X中的一个元 素，即 。此处X为线性空间（在线性代数
中，线性空间即是向量空间）。我们可以用某些 范数来测量给定信号的某个特征量，而对每一类 范数，我们可以定义一个信号空间如下：

31 1. 信号空间定义 信号 的上述范数 具有下列性质： ，若 ，则 为全零信号； ，λ为实数； （三角不等式）。

32 1. 信号空间定义 对任意两个信号 ，定义信号间的 距离为 具有下述性质： 若 ，则称信号 在均方意义下收敛于信号 。 。 （三角不等式）。

33 2.内积空间 若 与 是信号空间 中的两个信号，其 内积定义为： 式中，*表示对信号求共轭运算。若 ，则 称信号 与 是正交的。

34 1.2 离散时间系统 基本概念 LTI系统的描述 全通系统和最小相位系统

35 一、基本概念 离散时间系统可以定义为将输入序列x(n)映 射成输出序列y(n)的唯一变换或运算，并用 表示，即
一个离散时间系统，既可以是一个硬件装置，也可以是一个数学表达式。并用下图来表示其输入、输出关系。

36 1. 基本性质 离散系统的几个重要性质 线性性 是指系统的运算或变换满足齐次性和叠加性。 设 则系统的线性可表示为 式中α，β是任意常数。

37 1. 基本性质 移(时)不变性 同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为 线性移（时）不变离散时间系统，简称LTI系统。 因果性
1. 基本性质 移(时)不变性 同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为 线性移（时）不变离散时间系统，简称LTI系统。 因果性 如果系统输出响应 的变化不会发生在输入 变化之前，则此系统是因果的。

38 1. 基本性质 稳定性 是指系统对有界输入产生有界输出。 若 则对稳定系统有
1. 基本性质 稳定性 是指系统对有界输入产生有界输出。 若 则对稳定系统有 式中， 和 都是有限常量。这类稳定性通常称为有界输入有界输出( BIBO )稳定性。

39 1. 基本性质 可逆性 如果系统对每一互不相同的输入激励，产生各 不相同的惟一的一个输出响应，则称此系统是可
1. 基本性质 可逆性 如果系统对每一互不相同的输入激励，产生各 不相同的惟一的一个输出响应，则称此系统是可 逆的。或者说根据系统响应可以惟一地确定输入 激励。 如果系统是可逆的，则可以构造一个逆系统与 之对应，两者串联的结果能恢复出原输入激励， 如图所示，图中 表示 的逆系统。

40 二、线性时不变系统的描述 LTI系统的单位采样响应 系统在零状态条件下，由单位采样信号作用系 统所产生的输出，即
任意信号 都可用单位取样序列的移位加权 和来表示，即 用 作为LTI系统的输入激励，则有

41 1.LTI系统的单位采样描述 卷积和满足交换律

42 1.LTI系统的单位采样描述 卷积和满足结合律，即 在上式中，若记 ，这表示系统 级联后，总的单位抽样响应等于各级联子系统单
在上式中，若记 ，这表示系统 级联后，总的单位抽样响应等于各级联子系统单 位抽样响应的卷积和，如图所示 。

43 1.LTI系统的单位采样描述 卷积和满足分配律，即 在上式中，若记 ，这表示系统 并联后，总的单位抽样响应等于各并联子系统单
在上式中，若记 ，这表示系统 并联后，总的单位抽样响应等于各并联子系统单 位抽样响应之和，如图所示 。

44 1.LTI系统的单位采样描述 LTI系统稳定性判据Ⅰ 一个LTI系统是稳定的充 分必要条件是 ，即 式中，S为有限值。
分必要条件是 ，即 式中，S为有限值。 证明：充分性：设输入x(n)是有界的，且对所有n满足 ，则

45 1.LTI系统的单位采样描述 这表明，若系统的单位抽样响应绝对可和，则有 界输入一定对应有界的输出，系统是稳定的。
必要性：利用反证法。如果系统是稳定的，但是有 ，则系统对有界输入信号 对应的输出响应在 n=0 时的值 这与假设是矛盾的，因而若系统稳定，必须有

46 1.LTI系统的单位采样描述 LTI系统因果性判据Ⅰ 一个LTI系统是因果系统的充分必要条件是 证明：由系统的样值响应式可得
式中第2个等号右边的第一求和项表示与x(n)将来 值有关的项，第二求和项表示与x(n)的当前输入 及以前输入有关的项。

47 1.LTI系统的单位采样描述 充分性：若h(n)=0, n<0，则上式第一求和项恒 为零，系统的响应只和第二求和项有关，因而
系统是因果的。 必要性：如果系统是因果的，则y(n)只与x(n)的 当前输入值及以前的输入值有关，与x(n)的将 来值无关，因而第一求和项必须等于零。要保 证这一点，只有当h(n)=0, n<0条件成立。必要 性得证。

48 2.LTI系统的差分方程描述 LTI系统的差分方程 式中 ， 是方程的系数。

49 3.LTI系统的系统函数描述 LTI系统的系统函数 通常称分子多项式的根(即 )为系统 的零点，称分母多项式的根(即 ) 为系统的极点。

50 3.LTI系统的系统函数描述 LTI系统稳定性判据Ⅱ LTI系统是稳定系统的充分必要条件是 的收敛域包含单位圆。

51 4.系统的频率特性 系统的频率特性 系统的频率特性可以根据系统函数的零、极点 分布由几何方法直观地确定 。 在系统函数式中，令 ，则有

52 4.系统的频率特性 幅频响应： 相频响应： 式中， 表示求角度或相位。

53 三、线性相位系统与系统的群时延 1、非线性相位系统的概念 LTI离散时间系统的频率响应可用幅频特性 和相频特性 表示为 如果
和相频特性 表示为 如果 其中 是常数，则称该LTI离散时间系统是线性相位 系统，否则称为非线性相位系统。

54 1、非线性相位系统的概念 设系统输入信号的傅里叶变换为 ，则系统 响应的傅里叶变换 可表示为 线性相位 非线性相位

55 2、群时延的概念 非线性相位系统的实质，是输入信号的不同频 率成份通过系统后，具有不同的延时，这种现象常 称为信号的色散。 2、群时延的概念
LTI离散时间系统的群时延定义为 群时延是频率的函数，反映了LTI离散时间系统相位 随频率的变化率 ！

56 2、群时延的概念 对于线性相位系统，群时延为 可见，线性相位系统对不同频率的输入信号具有相 同的群时延，即系统响应的相位按频率线性变化。
对于相频特性为 的非线性相位系统，群时延为 频率的函数

57 四、全通系统和最小相位系统 全通系统 系统的幅频响应对所有频率ω都等于1或一个
常数的因果系统称为全通系统(all-pass system)。 即 全通系统的零点分布 是极点分布的共轭反演， 如图所示。

58 1. 全通系统 一般而言，一个高阶的全通系统可表示为 若 是一有理函数，而且是实系数的，则 其系统函数还可表示为

59 1. 全通系统 式中， 是 的特征多项式， 的全 部极点位于单位圆内，系统是稳定的。 全通系统的一些特点： 全通系统通常是IIR系统；
1. 全通系统 式中， 是 的特征多项式， 的全 部极点位于单位圆内，系统是稳定的。 全通系统的一些特点： 全通系统通常是IIR系统； 全通系统的极点数和零点数相等； 极点和零点是以单位圆镜像对称的； 为保证系统稳定，所有极点都应在单位圆内，因此，所有零点都在单位圆外。

60 2.最小相位系统 最小相位系统 系统零极点都在单位圆内因果系统称为最小相 位系统(minimum-phase system)，记为
最小相位系统具有下列几个重要的性质 ： 性质1 在一组具有相同幅频响应的因果稳定系统 中，最小相位系统对于ω轴(即零相位)具有最小 的相位偏移。

61 2.最小相位系统 性质2 令h(n)为所有具有相同幅频响应的离散时 间系统的单位取样响应， 是其中的最小相
间系统的单位取样响应， 是其中的最小相 位系统的单位取样响应，并定义单位取样响应的 累积能量 则

62 2.最小相位系统 性质3 任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示 为一个最小相位系统和一个全通系统的级联。即
性质4 最小相位系统的逆系统仍是最小相位系统。

63 1.3 确定性信号的相关函数 相关函数的定义与性质 相关函数与线性卷积

64 1. 相关函数的定义与性质 能量信号的相关函数定义 信号 和 之间的互相关函数为 式中，上标*表示对信号求共轭运算，参数m称
1. 相关函数的定义与性质 能量信号的相关函数定义 信号 和 之间的互相关函数为 式中，上标*表示对信号求共轭运算，参数m称 为时延，表示这一对信号间的时移，下标xy的顺 序表明 是参考信号。

65 1. 相关函数的定义与性质 如果 ，则上面定义的互相关函数变 成自相关函数 ，即 自相关函数 反映了信号 和其自身作了
1. 相关函数的定义与性质 如果 ，则上面定义的互相关函数变 成自相关函数 ，即 自相关函数 反映了信号 和其自身作了 一段延迟之后的 的相似程度。 即 等于信号 自身的能量。

66 1. 相关函数的定义与性质 功率和周期信号的相关函数 一对功率信号 和 ，其相关函数定义为 同样，若信号 和 是两个周期为N的周期
1. 相关函数的定义与性质 功率和周期信号的相关函数 一对功率信号 和 ，其相关函数定义为 同样，若信号 和 是两个周期为N的周期 信号，则它们的相关函数为 ， 和 也是周期为N的周期序列。

67 1. 相关函数的定义与性质 自相关函数有如下性质 性质1 性质2 性质3 若 是能量信号，有 。 ，

68 1. 相关函数的定义与性质 互相关函数有如下性质 性质1 性质2 性质3 若 和 都是能量信号，有 ，

69 2 相关函数与线性卷积 令 是 与 的线性卷积，且均为实 信号，即 而 与 的互相关函数为 比较上面两式，可得相关和卷积的时域关系为
2 相关函数与线性卷积 令 是 与 的线性卷积，且均为实 信号，即 而 与 的互相关函数为 比较上面两式，可得相关和卷积的时域关系为 同理，对自相关函数，有 ，

70 1.4 信号的傅里叶变换 连续时间信号的傅里叶变换 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT） 连续时间信号的取样 离散傅里叶变换(DFT)

71 一 连续时间信号的傅里叶变换 定义 设 ，则 的傅里叶变换 ， 并且由下式定义 当 时，因为 不一定存在， 可令
一 连续时间信号的傅里叶变换 定义 设 ，则 的傅里叶变换 ， 并且由下式定义 当 时，因为 不一定存在， 可令 使 ，则可由 的傅里叶变换来 定义 ，即

72 一 连续时间信号的傅里叶变换 此极限取二阶平均极限，即满足： 引用上述定义后，傅里叶变换算子F，可以看 作是 映射的有界线性算子。
一 连续时间信号的傅里叶变换 此极限取二阶平均极限，即满足： 引用上述定义后，傅里叶变换算子F，可以看 作是 映射的有界线性算子。 F存在逆算子F-1，即对某个 ，存在 ， 由下式规定：

73 2.性质 性质 卷积定理 若令 则 Parsval公式 特别

74 2.性质 函数的傅里叶变换 虽然不是一个通常意义上的函数，而是一 个广义函数。但因为它满足 ，所 以一般指定 的傅里叶变换为
个广义函数。但因为它满足 ，所 以一般指定 的傅里叶变换为 由此，我们按傅里叶变换的求逆公式还有 成立。

75 3.相关函数的傅里叶变换 相关函数 令 ，则其自相关函数为： 令 则有 因为 所以 并有 成立。

76 4.周期信号的傅里叶变换 周期信号的傅里叶变换 令函数 满足 ( 为任意整数)。 它可展开为傅里叶级数，即： 并且
令函数 满足 ( 为任意整数)。 它可展开为傅里叶级数，即： 并且 为导出周期函数的傅里叶变换，可借助广义函数 ，即

77 4.周期信号的傅里叶变换 从而得到 所以周期函数的富氏变换为频域的冲激串函数。 其冲激强度由其富氏级数系数 所决定。

78 二、 离散时间信号的傅里叶变换 现考虑序列 ， ，可定义其傅里叶 变换为 其逆变换为 因为 ，即是以为 周期的函数，
现考虑序列 ， ，可定义其傅里叶 变换为 其逆变换为 因为 ，即是以为 周期的函数， 所以序列的傅里叶变换是将 映射为 的有界线性算子。

79 三 连续时间信号的采样 现考虑序列 为连续时间函数 通 过取样而获得(为简便计令取样周期 ) 。即 令 为 的傅里叶变换。 为 的富里
三 连续时间信号的采样 现考虑序列 为连续时间函数 通 过取样而获得(为简便计令取样周期 ) 。即 令 为 的傅里叶变换。 为 的富里 叶变换，则据取样定理有 成立。即时域的取样将导致频谱的周期延拓， 其延拓周期为 。

80 四 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换 设 是有限长时间序列，其离散傅里叶变换 (DFT)定义为 其逆变换式为 式中，

81 2.DFT与DTFT的关系 DFT与DTFT的关系 对长度为N的有限长序列 ，根据DTFT式有 对比DFT式，可知
即，N点序列的DFT值是其DTFT值在[0，2π]区 间上的等间隔取样值。

82 FIR滤波器的实现结构

83 FIR滤波器的实现结构

84 FIR滤波器的实现结构

85 IIR滤波器的实现结构

86 IIR滤波器的实现结构

87 IIR滤波器的实现结构

88 IIR滤波器的实现结构

89 1.5 随机信号的功率谱 随机变量及其特征描述 随机信号及其特征描述 平稳随机信号通过线性系统 谱因子分解 统计估计问题 功率谱及其估计

90 一、随机变量及其特征描述 随机变量的概念：样本空间到一个数值集合的映射，即将随机事件样本空间中的每个单元事件映射为x的特定值。若某种试验A的随机结果用X表示，则称此X为一个随机变量，并设它的取值为x。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。 随机变量的分布函数： 定义：FX(x) = P(X  x) 性质： ∵ P(a < X  b) + P(X  a) = P(X  b), P(a < X  b) = P(X  b) – P(X  a)， ∴ P(a < X  b) = FX(b) – FX(a)

91 1.离散随机变量的分布函数 设X的取值为：x1 ，x2，...， xi，...，xn，其取值的概率分别为 p1，p2，… ，pi，…，pn，则有 P (X < x1) = 0, P(X ≤ xn) = 1 ∵P(X ≤ xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + … + P(X = xi), ∴

92 2.连续随机变量的分布函数 当 x 连续时，由分布函数定义，有 FX(x) = P(X ≤ x)
可知，FX(x)为一连续单调递增函数，表明X的取值概率沿 x 轴的累积分布情况。 图 连续随机变量的分布函数

93 3.随机变量的概率密度 连续随机变量的概率密度pX (x) 1. pX (x)的定义： 2. pX (x)的意义：
① pX (x)是FX (x)的导数，是FX (x)曲线的斜率 ② 能够从pX (x)求出P(a < X ≤ b)： 3. pX (x)的性质： ① ② pX(x)  0 ③

94 3.随机变量的概率密度 离散随机变量的概率密度 离散随机变量的分布函数可以写为：
式中，pi 为 x = xi 的概率；u(x) 为 单位阶跃函数。 将上式两端求导，得到其概率密度： 性质： ① 当 x ≠xi 时， pX(x) = 0， ② 当 x = xi 时， pX (x) = 1

95 若X和Y互相独立，且E(X)和E(Y)存在，则
4.随机变量的数字特征 数学期望 定义：对于连续随机变量 性质： 若X和Y互相独立，且E(X)和E(Y)存在，则

96 4.随机变量的数字特征 方差 定义： 式中， 对于离散随机变量， 对于连续随机变量， 性质： D( C ) = 0
D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X) D(X+Y)=D(X)+D(Y) D(X1 + X2 + … + Xn)=D(X1) + D(X2) + … + D(Xn)

97 4.随机变量的数字特征 矩 定义：随机变量 X 的 k 阶矩为 k 阶原点矩：a = 0 时的矩： k 阶中心矩： 时的矩： 性质：
一阶原点矩为数学期望： 二阶中心矩为方差：

98 4.随机变量的数字特征 4. 3 阶原点矩 又称为斜度（Skewness)。它描述随机变量 X分布的非对称特性。若随机信号具有对称概率密度函数，则其斜度为零，如： 均匀分布 正态分布 三角分布

99 斜度示范 三种分布的斜度 Mode Median Mean

100 4.随机变量的数字特征 5. 4 阶原点矩 或 称为峰度( Kurtosis)，它描述随机变量X分布的尖瑞程度。 Leptokurtic
5. 4 阶原点矩 或 称为峰度( Kurtosis)，它描述随机变量X分布的尖瑞程度。 Leptokurtic Mesokurtic Platykurtic

101 归零化峰度 归零化峰度定义为: A C B 曲线 A 峰度=0 曲线 B 峰度＞0 Mesokurtic Leptokurtic
(High & Peaked) 曲线 A 峰度=0 Mesokurtic (Intermediate) 曲线 C 峰度＜0 Platykurtic (Broad & Flat) A C B

102 问题 如何产生分布函数为Fx(x)的随机变量x(n)?

103

104 二、随机信号及其特征描述 随机信号及其数字特征 定义：样本空间到离散时间信号x(n)的一个集合的映射。是离散时间信号的一个集总。
设 为一离散随机信号，对 的每一次实 现，记为 ， 代表时间， 代表实现的序号，即样本数。则 的 均值、方差、均方等一、二阶数字特征为

105 1.随机信号及其数字特征 数学期望(统计平均值) 随机序列的数学期望定义为 反映了随机过程各个时刻的数学期望随时间的变化情况；
本质上就是随机过程所有样本函数的统计平均函数； 它由随机过程的一维概率分布决定； 表征了随机序列的直流分量。

106 1.随机信号及其数字特征 均方值 随机序列均方值定义为

107 1.随机信号及其数字特征 方差 随机序列的方差定义为 可以证明，上式也可以写成下式:

108 1.随机信号及其数字特征 一般均方值和方差都是 n 的函数, 但对于平稳随机序列，它们与 n 无关，是常数。
方差反映了随机过程相对于均值的偏离程度。 方差由随机过程的一维概率分布决定； 方差表征了随机序列的交流平均功率。 均方值表征了随机序列的平均功率。 式 表明，如果随机变量Xn代表电压或电流，则有 平均功率 = 交流功率 + 直流功率

109 方差描述随机变量相对于均值的偏离程度 x 2 = 1 2 = 5 2 = 10 m1 = 50 图 均值相同方差不同的高斯分布

110 1.随机信号及其数字特征 自相关函数 自协方差函数

111 随机序列自相关函数、协方差函数的重要性质可以用图所示曲线来表征。
图 自相关函数和自协方差函数曲线图

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115 1.随机信号及其数字特征 对两个随机信号 、 ，还可定义互相关函 数和互协方差函数如下： 互相关函数 互协方差函数

116 1.随机信号及其数字特征 如果对所有 ，有 则称信号 是不相关的随机信号。 则称信号 和 是不相关的。 则称信号 和 是相互正交的。

117 独立、相关、正交与相关系数 . 随机变量X和Y的相关 X与Y统计独立 系数定义为 当且仅当 X与Y不相关。 若X=Y，则
独立一定不相关，反之不然；对于正态随机变量独立与不相关等价。 X与Y正交。

118 2.平稳随机信号 平稳随机信号定义 若 的概率函数满足 则称 是N阶平稳的。如果在上式中 ，
若 的概率函数满足 则称 是N阶平稳的。如果在上式中 ， 则称 是严平稳（strict-sense stationary）， 或狭义平稳的随机信号。

119 2.平稳随机信号 宽平稳（wide-sense stationary，WWS）信号， 又称广义平稳信号。是指满足下述三个条件的随 机信号：
狭义平稳随机信号的所有数字特征显然都与 时刻n无关。但其定义无 法在实际中加以应用， 因此，研究和应用最多的还是宽平稳信号。

120 2.平稳随机信号 由宽平稳信号的定义，我们还可得到 两个宽平稳随机信号 和 的互相关函数及互协方差可分别表示为

121 3.平稳随机信号的相关函数 平稳随机信号的相关函数的性质 性质1 性质2 及 性质3 性质4

122 4.平稳随机过程的自相关矩阵

123 4.平稳随机过程的自相关矩阵 自相关矩阵的基本性质 性质1 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Hermite矩阵，即有
对于实随机过程，自相关矩阵是对称矩阵，即 性质2 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Toeplitz矩阵

124 4.平稳随机过程的自相关矩阵 性质3平稳离散时间随机过程的相关矩阵R是非负定的，且几乎总是正定的。 证明：设 为任意非零向量，由于二次型
总是非负定的。当且仅当观测向量的 每个随机变量间存在线性关系时，等式成立，这种情况仅出现在随机过程 是由 个纯复正弦信号之和组成。

125 4.平稳随机过程的自相关矩阵 性质4 将观测向量 元素倒排，定义向量 这里，下标B表示对向量 内各分量做反序排列。

126 性质5 平稳离散时间随机过程的自相关矩阵 从 维扩 展为 维，有如下递推关系 或等价地 其中

127 5.平稳随机信号的功率谱 平稳随机信号的功率谱 对相关函数作z变换，有 令 ，得到 自功率谱（密度）： 互功率谱（密度）：

128 4.平稳随机信号的功率谱 对功率谱，有如下性质： 性质1 是ω的实函数； 性质2 对所有的ω都是非负的；
性质 是ω的实函数； 性质 对所有的ω都是非负的； 性质3 若 是实信号，则 是关于ω的偶函数； 性质4

129 5.平稳随机信号的各态遍历性 平稳随机信号的各态遍历性 对平稳随机信号 ，如果它的所有样本函数 在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性和单一样
对平稳随机信号 ，如果它的所有样本函数 在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性和单一样 本函数在长时间内的统计特性相同，则称 为 各态遍历信号。 对各态遍历信号来说，用一阶和二阶的集平均 等于相应的时间平均，即

130 5.平稳随机信号的各态遍历性 式中， 是 的一个单一样本函数。

131 5.平稳随机信号的各态遍历性 对于各态遍历的平稳随机信号，其功率谱也可 定义为 式中， 是 的单一样本函数 在 时的DTFT。

132 6.随机信号的采样定理 对于平稳随机信号，如果其功率谱严格限制在某一有限频带内，该随机信号称为带限随机信号。如果平稳随机信号 X(t) 的功率谱 Pxx(Ω) 满足下式： 则称 X(t)为低通性带限随机信号，式中Ωc 表示功率谱的最高截止频率 设以采样间隔 T 对平稳随机信号 X(t) 进行采样，采样后随机序列为X(n)，只要采样频率 fs 满足： 或者

133 6.随机信号的采样定理 则有以下采样插值公式: 可以证明，在均方意义上，X(t) 等于 　　， 即

134 7.典型的随机序列 1.正态（高斯）随机序列 　正态随机序列 Xn 的 任意 N 维联合概率密度函数为 式中

135 正态随机序列 上面公式表明，正态（高斯）随机序列仅决定于其均值矢量 M 以及方差阵varX。具有指数型自相关函数的平稳高斯过程称为高斯—马尔可夫过程。这种信号的自相关函数和谱密度函数为 高斯—马尔可夫也是一种常见的随机信号，适合于大多数物理过程，具有较好的精确性，数学描述简单。因为当m→∞时，自相关函数趋近于0，所以均值为0，过程的自相关函数特性完全描述了过程的特性。

136 7.典型的随机序列 cov(xn, xm)=σ2δmn 2. 白噪声序列 如果随机序列x(n)，其随机变量是两两不相关的， 即 式中
　2. 白噪声序列 如果随机序列x(n)，其随机变量是两两不相关的， 即 式中 m≠n m＝n 则称该序列为白噪声序列；如果白噪声序列是平稳的， 则 cov(xn, xm)=σ2δmn

137 白噪声序列 式中，σ2是常数。设均值 ，其功率谱Pxx(ejω)=σ2，在整个频带上功率谱是一个常数。如果白噪声序列服从正态分布，序列中随机变量的两两不相关性就是相互独立性，称为正态白噪声序列。显然，白噪声是随机性最强的随机序列，实际中不存在，是一种理想白噪声，一般只要信号的带宽大于系统的带宽，且在系统的带宽中信号的频谱基本恒定，便可以把信号看作白噪声。注意：正态和白色是两种不同的概念，前者是指信号取值的规律服从正态分布，后者指信号不同时刻取值的关联性。

138 7.典型的随机序列 3. 谐波过程 谐波过程用下式描述： (1) 也可以将(1)式写成下式: 式中
式中，Ai和ωi(i=1, 2, 3, …, N) 是常数，θi (i=1, 2, 3, …, N)是服从均匀分布的独立随机变量，其概率密度为 也可以将(1)式写成下式: 式中

139 谐波过程 可以证明，这种谐波信号模型是平稳的，设N=1，计算它的统计平均值和自相关函数：

140 谐波过程 上式中第一项积分为0，因此 由于谐波过程的统计平均值与时间 n 无关, 自相关函数仅与时间差 m 有关, 谐波过程是平稳的。 

141 7.典型的随机序列 4. 循环平稳随机序列 许多人工和天然信号是一类特殊的非平稳随机序列，其相关函数虽然是时变的，但却随时间的变化呈现周期性变化，称为循环平稳（Cyclostationarity）随机序列。 定义：对于随机序列Xn，若存在一个常数 T，使得 成立，则称随机序列Xn为循环平稳随机序列。

142 一个循环平稳的离散时间随机过程 ， 其均值为零， 自相关函数可以表示为 由于 是关于 以 为周期的周期函数，可以 将其展开成离散傅里叶级数形式 其中， 为离散傅里叶级数的系数，它可以表示为

143 三、平稳随机信号通过线性系统 设LTI系统的单位抽样响应为 ，该系统的 输入信号 是平稳、遍历的随机过程 （输
输入信号 是平稳、遍历的随机过程 （输 入随机过程）的一个取样序列，系统产生的输出 响应 也是一个离散的随机信号，把它视为另 一随机过程 （输出随机过程）的一个取样序 列。因此，输出和输入之间显然满足下式， 即

144 1.系统响应均值、自相关函数平稳性分析 1).均值
设所研究的线性系统是稳定非时变的，其单位脉冲响应为 h(n)，输入是平稳随机序列 x(n)，输出为 因为输入是平稳随机序列，E［x(n-k)］=mx，故 这样，mx与时间无关，my也与时间无关。 (1.64)

145 2).自相关函数 先假定输出是非平稳的，那么，输出的自相关函数为 因为x(n)是平稳的，因此 所以

146 v(l)=h*(l) ﹡h(-l)=h*(-l) ﹡ h(l)
对于上式, 令l=r-k, 得到 式中 v(l)通常称为h(n)的自相关函数，也可以将v(l)写成卷积形式： v(l)=h*(l) ﹡h(-l)=h*(-l) ﹡ h(l) 上式表示v(l)是h*(l)与h(-l)离散卷积或者是h*(-l)和h(l)的离散卷积。这样线性系统输出的自相关函数等于输入自相关函数与线性系统单位脉冲响应的自相关函数的卷积。

147 2.系统的输入、输出互相关函数 线性非时变系统输入与输出之间互相关函数为
　线性非时变系统输入与输出之间互相关函数为 因此，输入、输出之间的互相关函数等于系统的单位脉冲响应与输入自相关函数的卷积。一般称式为输入、输出互相关定理。

148 3.输出响应的功率谱密度函数 为讨论方便起见，现假定x(n)是实信号，这样，y(n)也是实的。x(n)和y(n)之间的关系主要有：

149 如下四个关系成立： 由此可以看出：随机信号通过线性系统，使用的是输入、输出的自相关函数、自功率谱、互相关函数和互功率谱。

150 例 解：

151 由差分方程，有 所以：

152 例 :方差为1的白噪声序列，即 ：也是平稳信号，已知 求： 系统辨识问题

153 解：由 有 又

154 最大相位 最小相位 用“谱分解”法求

155 4.相关卷积定理 将前面推导出相关函数式重写如下：
该公式用语言叙述如下：x(n)与h(n)卷积的自相关函数等于x(n)的自相关函数和h(n)的自相关函数的卷积。或者简单地说, 卷积的相关等于相关的卷积。用一般公式表示如下： e(n)=a(n)*b(n) f(n)=c(n)*d(n) 如果 那么 ref(m)=rac(m) * rbd(m)

156 rxy(m)=rxx(m)*rδh(m)
例 假设系统的输入、输出和单位脉冲响应分别用x(n)、y(n)和h(n)表示，试求输入、输出互相关函数和输入自相关函数之间的关系。  解 按照相关卷积定理，得到 x(n)=x(n)*δ(n) y(n)=x(n)*h(n) rxy(m)=rxx(m)*rδh(m) 式中

157 ryx(m)=rxy(-m)=rxx(-m)*h(-m)=rxx(m)*h(-m)
将该式带入上式， 得到 rxy(m)=rxx(m) * h(m) 这就是已经推导出的输入、输出互相关卷积定理。对于实、平稳随机信号相关函数的性质(1)，得到输出、输入互相关函数和输入自相关函数之间的关系： ryx(m)=rxy(-m)=rxx(-m)*h(-m)=rxx(m)*h(-m) Pyx(z)=Pxx(z)H(z-1)

158 例 按照图推导两个系统的输出互相关函数与输入互相关函数之间的关系。 解 y1(n)=x1(n)*h1(n)
按照相关卷积定理，有

159 按照图还有下面关系式，作为练习，请自己证明。
(1) (2)

160 四、统计估计问题 目标： 用随机信号的一次样本实现的有限长数据估计 其统计特征量（均值，方差，相关，谱等）

161 四、统计估计问题 根据观测数据 来定量推断某 个量 的过程就称为统计估计问题。 设随机信号 的某个数字特征量的真值为
根据观测数据 来定量推断某 个量 的过程就称为统计估计问题。 设随机信号 的某个数字特征量的真值为 估计值为 ，显然， 是 的函数，且是随机变 量，即 为了衡量 对 的近似程度，我们可以引入下 列指标： f可为线性函数，亦可为其它函数

162 四、统计估计问题 定义1.5.1 定义1.5.2 为估计的偏差。 若 ，则称 是 的无偏估计； 若 ，则称 是 的渐近无偏估计。
若 ，则称 是 的无偏估计； 若 ，则称 是 的渐近无偏估计。 定义1.5.2 为估计的方差。 它反映了 的各次估计相对于估计均值的偏离 程度。

163 四、统计估计问题 定义1.5.3 为估计的均方误差。 若 ，则称 是 的一致估计； 若 ，则称 是 的渐近一致估计。

164 随机信号均值，方差，相关的估值 设 x(n) 为各态遍历的平稳随机信号 xN(n)，n=0,1,2,…,N-1 为N点观测值 均值：

165 方差：

166 自相关： 估计方法1： 长 2N+1,m: -(N-1)~(N-1); 以m=0呈偶对称

167 估计偏差： 有偏估计 故为渐近无偏估计

168 例：

169 令 则 w(m)正好是的d(n)自相关 m 对x(n)截断：x(n)d(n) (矩形数据窗：0 ~ N-1）
对r(m)截断：r(m)w(m) (三角延迟窗：-N+1 ~ N-1） w(m) N -N 1 w(m)正好是的d(n)自相关 m 三角窗函数

170 估计质量与 N（矩形数据窗）和 m（三角延迟窗）有关
估计的方差： 为 的渐近无偏一致估计 即： 估计质量与 N（矩形数据窗）和 m（三角延迟窗）有关

171 估计方法2： 可证： 均值： 方差： 即： 为 的无偏一致估计 但当 ImI 大时，方差性能不如方法1。

172 相关的快速算法（FFT）

173 小结： 相关函数的估值实际上是一种平均过程，参加平均的数据越多（N大，m小），估值越可靠。

174 五、功率谱及其估计 确定性信号一般为能量有限信号，其傅立叶 变换即为信号的频谱（频域特征）； 而随机信号一般为能量无限信号，其傅立叶
变换不存在；但一般为功率信号，故其频域 特征只能用功率谱来表示。 又根据功率谱的定义，功率谱计算需要无穷多测量数据，实际上只能进行谱估计；经典谱估计是建立在傅立叶变换基础上的功率谱计算方法

175 功率谱定义：（Wiener-Khinchine定理）
五、功率谱及其估计 功率谱的概念 设X(n)为一(零均值）实平稳离散随机序列 自相关函数为 功率谱定义：（Wiener-Khinchine定理） （一对傅立 叶变换）

176 五、功率谱及其估计 在功率谱估计中，常用的估计方法有两大类。 一类方法称之为经典谱估计，这类方法是直接 根据观测的样本数据进行功率谱估计；
另一类方法称为现代谱估计，这类方法是先根 据观测的样本数据，设法建立能描述随机过程的 数学模型，然后，再借此模型来求出信号的功率 谱。

177 五、功率谱及其估计 功率谱的两个最基本的定义：

178 功率谱及其估计 经典谱估计的基本方法可以分为两大类 一是根据式由观测数据直接计算功率谱，常称为直接法；
另一方法是先由观测数据估计随机信号的自相关函数，然后，再由计算其功率 谱，因此，这种方法常被称为间接法。

179 经典功率谱估计 直接法 也称为周期图法。在只有随机信号 的N个 观测数据 的情况下，一个最简单估计式为 式中， 是 的DTFT。
观测数据 的情况下，一个最简单估计式为 式中， 是 的DTFT。 若将 在单位圆上等间隔取样，则上式可写为

180 经典功率谱估计 主要的性能特点： 估计器的均值 式中， 是三角窗(也称Bartlett窗)的DTFT。 由窗函数的性质可得
也就是说，周期图谱估计器是渐近无偏的。

181 经典功率谱估计 估计器的方差 由此可见，其方差不随记录长度N增加而减小， 而是趋于常数，因此它不是功率谱的一致估计。

182 经典功率谱估计 间接法 也称为BT法，通过观测的N个数据 ，先估 计出自相关函数 ，然后对 加窗并求 DTFT得到功率谱，记为 ，即
计出自相关函数 ，然后对 加窗并求 DTFT得到功率谱，记为 ，即 式中， ， 是一窗函数。为 确保估计的功率谱不出现负谱，要求此窗函数的 DTFT必须是非负的。

183 经典功率谱估计 上式也可写为 谱估计器的主要特性 估计器的均值 式中， 是窗函数 的DTFT。

184 经典功率谱估计 估计器的方差 研究上面两个公式可以发现，若要使偏差小， M就应选得足够大，因为这样才能使窗函数起到
应选得尽量小。因此这种方法需要对偏差和方差 进行折衷选择。

185 周期图法与相关法关系讨论

186 即 即：周期图是 M=N-1相关法的一个特例

187 可表示为：

188 用长度为2M+1的矩形窗函数v(m)进行截断处理
当 可认为是对最大长度为2N-1的 用长度为2M+1的矩形窗函数v(m)进行截断处理 第二次加窗的作用等效于对功率谱作卷积运算 其作用是对周期图进行“平滑”处理，故可以认为 相关法是对周期图法的平滑改进。

189 经典谱估计计算流程： N点 截断 补零 估计 线性 相关 IDFT DFT

190 经典谱估计法小结： 优点：计算简单，可用FFT，物理概念清楚； 缺点：（1）谱分辨率低（正比于 ） 原因是不可避免的加窗处理（数据窗，
缺点：（1）谱分辨率低（正比于 ） 原因是不可避免的加窗处理（数据窗， 延迟窗），造成谱的泄漏； （2）方差大（即谱的波动大） 原因是缺少均值和极限运算。

191 改进： 用适当的窗函数进行平均和平滑 窗函数的作用： 1、主瓣决定谱的分辨力； 2、旁瓣决定谱的功率泄漏。
但没有一种窗函数能使方差、偏差和分辨率同时得到改善。

192 1. 平均周期图法 平均周期图法是基于这样的思想：对一个随机变量进行观测，得到L组独立记录数据，用每一组数据求其均值，然后将L个均值加起来求平均。这样得到的均值，其方差将是用一组数据得到的均值的方差的1/L。  假设随机信号x(n)的观测数据区间为：0≤n≤M-1，共进行了L次独立观测，得到L组记录数据，每一组记录数据用xi(n), i=1, 2, 3, …,L表示，第i组的周期图用下式表示：

193 将得到的L个周期图进行平均，作为信号x(n)的功率谱估计，公式如下：
统计平均 其中

194 由于M<N，平均周期图的偏移比周期图的偏移大，表现在三角谱窗主瓣的宽度比周期图主瓣的宽度宽。由于三角谱窗主瓣的宽度变宽，分辨率更加降低，因此也可以说，偏移的大小反映分辨率的低与高。 
方差为 即平均周期图的估计方差是周期图的方差的1/L。显然，是以分辨率的降低换取了估计方差的减少，当然， 估计的均方误差也减少。

195 2. 窗函数法 这种方法是用一适当的功率谱窗函数W(ejω)与周期图进行卷积，来达到使周期图平滑的目的的。 式中 是有偏自相关函数
2. 窗函数法 这种方法是用一适当的功率谱窗函数W(ejω)与周期图进行卷积，来达到使周期图平滑的目的的。 式中 是有偏自相关函数 -(M-1)≤n≤M-1

196 那么 说明周期图的窗函数法就是前面提到的BT法的加权协方差谱估计。周期图和谱窗函数卷积得到功率谱，等效于在频域对周期图进行修正，使周期图通过一个线性非频变系统，滤除掉周期图中的快变成分，谱窗函数需具有低通特性。

197 3. 修正的周期图求平均法 这种方法和平均周期图法一样，首先把数据长度为N的信号x(n)分成L段，每一段数据长度为M，N=LM。然后把窗函数w(n)加到每一个数据段上，求出每一段的周期图，形成修正的周期图，再对每一个修正的周期图进行平均。第i段的修正周期图为 i=1, 2, 3，…，M-1 式中 (4.3.29)

198 同样，将每一段的修正的周期图之间近似看成互不相关， 最后功率谱估计为
对上式求统计平均, 得到 式中

199 U称为归一化因子。为使功率谱估计渐近无偏式中的归一化因子是不可缺少的。这种在计算周期图之前，先对各数据段加窗函数的方法，使平均周期图方法的估计方差减少，当然分辨率同样减少。但这种方法对窗函数没有限制；此外，分段时，相邻的两段可以有重叠，进一步使方差减少，可以重叠50%。总之，传统的功率谱估计方法无论采取哪一种改进方法，总是以减少分辨率为代价，换取估计方差的减少，提高分辨率的问题无法根本解决。

200 1.6 信号的参数模型 谱分解定理 信号模型

201 一、谱分解定理 定义1.6.1 一个平稳随机信号如果满足如下佩利 －维纳(Paley-Wiener)条件，则称它是规则的。
定理1.6.1 一个平稳随机信号如果是规则的，它的复功率谱和功率谱密度必然可以分解为 这里 是最小相位系统。

202 一、谱分解定理 结论 一个规则的宽平稳随机信号 ，总可以由方差为 的白噪声 通过系统函数为 的最小相位系统获得。由于最小相位系统必存在稳定、因果的逆系统，因此由 通过此逆系统也可以得到 。

203 二、信号模型 输入激励 是均值为零、 方差为 的白噪声序列， 线性系统的系统函数为
输入激励 是均值为零、 方差为 的白噪声序列， 线性系统的系统函数为 式中， 是前馈（或滑动平均）支路的系数，称为MA系数； 是反馈（或自回归）支路的系数，称为AR系数。系统的输出序列 是被建模的离散随机信号。

204 二、信号模型 为了保证 是一个稳定的最小相位系统，其 零点、极点均应分布在单位圆内。 该模型的输出 和输入 之间满足差分方程: 及
为了保证 是一个稳定的最小相位系统，其 零点、极点均应分布在单位圆内。 该模型的输出 和输入 之间满足差分方程: 及 输出功率谱和输入功率谱之间存在下列关系：

205 二、信号模型 讨论 ： 如果 全为零，则上述公式变为： —— p阶自回归（auto-regressive）模型，简称AR(p)模型

206 模型

207 二、信号模型 如果 全为零，则上述公式变为： —— q阶滑动平均（moving-average）模型，简称MA(q)模型
如果 全为零，则上述公式变为： 如果 ； 不全为零，则上述公式给出的是自回归滑动平均模型，简称ARMA(p,q)模型。 —— q阶滑动平均（moving-average）模型，简称MA(q)模型

208 模型

209 模型，假设

210 二、信号模型 Wold分解定理阐明了上述三类模型之间的联系。该定理认为：任何广义平稳随机过程都可以分解成一个完全随机的部分和一个确定的部分。确定性随机过程是一个可以根据其过去的无限个取样值完全加以预测的随机过程。 Wold分解定理的一个推论是：如果功率谱完全是连续的，那么任何ARMA过程或AR过程可以用一个无限阶的MA过程表示。 Kolmogorov提出的一个定理有着类似的结论：任何ARMA或MA过程可以用一个无限阶的AR过程表示。

211 以上表明三种信号模型可以相互转化，而且都具有普遍适用性，但是对于同一时间序列用不同信号模型表示时，却有不同的效率。这里说的效率, 指的是模型的系数愈少，效率愈高。一般AR模型适合表示时间序列的功率谱有尖峰而没有深谷的信号，MA模型适合表示其功率谱有深谷而没有尖峰的信号，ARMA模型则适合尖峰和深谷都有的情况。如果信号的功率谱有尖峰而没有深谷，用具有极点的AR模型表示将比用MA模型表示用的系数少，即效率高。但AR模型比较其它两种模型计算简单，许多研究人员喜欢采用AR模型，只要阶数选高些，近似性较好。