第四章 功率谱估计.

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1 第四章 功率谱估计

2 谱估计的基本任务是根据有限个观测数据，估计平稳随机过程的功率谱密度。
谱：频谱，功率谱 对于我们所研究的信号，随机平稳信号，功率谱

3 4.1 引言 时钟, 日历: 经验谱 棱镜分解一束光:光谱
每一种谱估计的技术都可以认为是一种模型法，具体地说，就是根据过程的先验知识，建立一个近似实际过程的模型；其次利用观测数据或自相关函数来估计函数的模型参数，最后做谱估计。

4 维纳——辛钦定理

5 功率谱的另一种定义

6 当信号具有遍历性时

7 辞海—谱 (1)按照事务的类别或系统编成的表册，年谱 (2)供示范或寻检用的图书、样本，如棋谱、画谱、脸谱 (3)曲线：乐谱
(4)按歌词作曲，曲谱 (5)大致的依据、打算：心里有谱,做事没谱 (6)左右、大约：三十元之谱

8 谱线 复杂振动用谱线表示时，代表各振动的频率和振幅的一系列直线，谱线数反映了该复杂振动所包含的谐振动的个数，各谱线的长短。

9 考虑到 是观测数据， 是随机变量，取统计平均

10 二、谱估计方法的概述

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12 经典谱估计的缺点 频率分辩率低，这是由于有限个观测数据加窗截断的影响。 主瓣：功率谱向附近频域扩展，谱模糊，频率分辩率低。
旁瓣：谱间干扰，强信号的旁瓣影响弱信号的检测，淹没弱信号；或者把旁瓣误以为信号。

13 现代谱估计 估计质量比经典谱估计质量有很大提高，需要针对不同的信号，选择合适的模型，但目前尚未有任何理论来指导模型的选择。一般来说，AR模型适合有谱峰的信号，MA模型适合有波谷的信号。

14 4.2 经典谱估计

15 一、BT法

16 1958年，Blackman和Tukey提出，在1965年FFT算法出现之前，BT法一直是最常用的方法。
理论基础：维纳——辛钦定理 自相关函数的估计 功率谱的估计

17 根据前面的分析已经知道，有偏自相关函数的估计优于无偏自相关函数的估 计

18 实际上，根据有限个观测数据来估计自相关函数的，假设信号为 ，进入自相关函数估计的为 ， 估计得到得自相关函数 ，则

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21 是由于截断数据而产生的，为了减少截断的影响，通常要增加一个窗函数进行平滑处理。
设平滑窗为

22 功率谱

23 设 的持续时间为 ，需要注意的是，考虑到功率的非负性，在选择窗函数的时候，一定要保证功率谱是一个非负值。

24 误差分析

25 可以看出，方差小 M小 偏移小 M大主瓣窄，频率分辩率高 通常Ｍ取数据长度的 ．i.e.

26 二．周期图法

27 1.原理： 忽略求统计平均运算 用DFT计算功率谱

28 2.与BT法的关系

29 周期图的谱估计与有偏自相关函数的估计等价
序列后面加零，FFT谱线变密，频率分辨率并没有提高。

30 3. 周期图谱估计的 性能分析

31 (1) 均值

32 BT法谱估计 其中，

33 由(1)式可知 因此，周期图是有偏估计 当 时， ，其频谱趋近于 函数，周期图的估计属于渐近无偏估计

34 （2）方差

35 假设x(n)是实的、零均值、正态白噪声信号，方差为 ，则功率谱为常数 。

36 这里假设信号是实的白噪声信号，周期图估计是无偏估计。

37 要计算周期图的均方值，先计算

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42 当N→∞时 周期图是非一致估计

43 上面的推导是以 为依据进行推导的，其定性结果在一个相当宽的范围内立。
上面的推导是以 为依据进行推导的，其定性结果在一个相当宽的范围内立。

44 若 ， k，l均为整数，则

45 当 且k+l不是N的整数倍时, 以 的整数倍为频率间距的周期图是不相关的 协方差为零的功率谱样本之间的间距↓，周期图的起伏增快。

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47 BT法和周期图法的主要优点 计算量小 功率谱估计值正比于正弦波的功率 是一种良好的实用模型

48 主要缺点: 弱信号被强信号的旁瓣淹没 频率分辩率约为数据长度的倒数，且与数据的特征或信噪比无关 出现旁瓣，使谱失真
需采用某种平滑或平均措施以改善谱估计的统计特性 某些加窗的相关函数会使功率谱估计值出现负值

49 经典谱估计不可能获得良好的谱估计 m↑，参与求和项数↓，平均效果↓，m=N-1，只有一项。→滞后量以较大的是不可靠的，估计方差大。

50 经典谱估计不可能获得良好的谱估计 周期图法用到了m=0~N-1的全部相关函数的估计值 方差较大，BT法虽然可以通过使相关函数的最大滞后量M<N-1来去掉那些不可靠的相关函数估计值，但 M ↓ ,将FT的求和范围缩短，变换式本身的近似程度↑ 。

51 三.经典谱估计方法的改进

52 窗口处理法：（FFT出现以前）选择适当的窗函数作为加权平均。
平均周期图法：数据分段 求出各段的平均周期图 取平均 Welch法：改进的Bartlett法

53 1.平均周期图 分L组，每组有M个数据， 第 组：

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55 信号的功率谱 三角窗长度的减少，主瓣变宽，频率分辨率减少，因此平均周期图法是以牺牲频率分辨率换取方差的减小。

56 如果数据是不相关的（白噪声），其偏移量、方差如上面的两式所示。但实际信号存在关联性，因此，在一般情况下，估计方差的减小少于 。
当 ，功率谱越平滑。 估计的偏移量与方差是一对矛盾。偏移大小反映的是频率分辨率。 当N确定， ，方差减小，频率分辨率降低。

57 方差减小有明显效果

58 2. 窗函数法

59 选择一个适当的窗函数 与周期图卷积，平滑周期图。

60 由于 的长度M<数据长度N，因此窗函数平滑周期图相当于加了一个短的截断窗，使得频率分布率降低，偏移量上升，换取方差的减小。

61 3. 修正周期图法（Welch法）

62 Welch法对Bartlett法做了两方面的修正
（1）选择适当的窗函数，在计算各组周期图之前加进去。 优点：无论什么样的窗函数，均可使

63 归一化因子

64 2）在分组时，可使各组数据有重叠。方差 重叠最高可达50％。

65 小结 周期图法直接对有限长序列的观测值进行FFT，再取模平方，忽略了集合平均。谱估计的结果仍时一个随机变量。
缺点： 不是一致估计，方差较大 。 增加序列长度并不能改善估计效果。

66 自相关函数法 随机序列值 自相关函数 PSD 隐含的存在一个矩形窗，缺点与周期图法类似。