数学实验 Experiments in Mathematics 实验10. 数学建模综合练习(2) 江西财经大学 数学与决策科学系

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1 数学实验 Experiments in Mathematics 实验10. 数学建模综合练习(2) 江西财经大学 数学与决策科学系
实验10. 数学建模综合练习(2) 江西财经大学 数学与决策科学系 制作：华长生 华长生制作

2 实验10. 数学建模综合练习(2) ——猎兔 假设在大平原上有一只野兔和一只猎狗,在某一时刻
实验10. 数学建模综合练习(2) ——猎兔 假设在大平原上有一只野兔和一只猎狗,在某一时刻 同时发现对方,野兔立即向洞穴跑去,而猎狗也立即向 野兔追去,在追击过程中,双方均全力奔跑,即双方速度 大小不变,方向可变,问: (1) 若野兔始终沿直线向洞穴跑去,求猎狗的运动方程 和轨迹; 华长生制作

3 (2) 若野兔始终沿直线向洞穴跑去,试确定猎狗的初始 位置范围G,使得猎狗在这一范围内，总可以在兔子进 洞前追上它;
前肯定会被追上,那么兔子是否可以采取曲线跑向洞穴 (速度大小不变)而安全进入洞中?画出两者的运动轨迹; (4) 若猎狗经过训练,追击时不是直接追向兔子,而是追 向兔子的前方,试给出一种计算提前量的方法,并画出 两者的运动轨迹. 华长生制作

4 1.猎狗和兔子同时发现对方,并且同时启动全速奔跑;
一、问题的提出(略) 二、问题的分析(略) 三、模型假设 1.猎狗和兔子同时发现对方,并且同时启动全速奔跑; 2.猎狗和兔子的奔跑速度不变,即两者均匀速奔跑; 3.猎狗的速度比兔子要高; 4.猎狗和兔子可以瞬间达到最高速度; 华长生制作

5 四、模型建立 如图(1), 华长生制作

6 -----(1) 即 -----(2) 同样猎狗在追击过程中满足 图(1) -----(3) 华长生制作

7 即 -----(4) 1. 若野兔始终沿直线向洞穴跑去 如图(2)所示 (3)式和(4)式即为兔子逃跑和猎狗追击时必须满足的方程组
由于兔子逃跑方向的不确定性, 两个方程组都没有解析解 1. 若野兔始终沿直线向洞穴跑去 如图(2)所示 华长生制作

8 由(1)式 再将其代入(4)式 图(2) -----(5) 华长生制作

9 用数值计算 Dograbbit.m 可得不同初值 (猎狗的初始位 置)时的相轨线 图象(图(3)) 图中实际数据： *号处为洞口位置,
与y轴的交叉点表示猎狗追上兔子 华长生制作

10 * * * 狗拿兔子动态图 华长生制作

11 2. 野兔始终沿直线向洞穴时,猎狗的范围 如果兔子始终沿直线向洞穴跑去 可以想象, 猎狗可以在兔子进洞前追上它 猎狗就不能在兔子进洞前追上它
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12 我们仍假定兔子的初始为原点,洞穴在y轴上(如图(4))
假设猎狗的初始位置满足 利用第一问的方法,模拟两者的运动 若兔子安全进洞, 若猎狗追上兔子,且兔子离洞口尚远 图(4) 华长生制作

13 直到猎狗追上兔子,且兔子也几乎到了洞口 如图(5)是一种典型的情况 且具备以下特点: 图(5) 华长生制作

14 另外范围是否是椭圆没有得到论证 3.野兔采用曲线跑,能否避免被猎狗抓住 而兔子仍然直线跑向洞穴 则必然回被猎狗抓住 华长生制作

15 兔子可能安全炮回洞穴 图(6)是一种典型的情形 兔子初始位置为(0,0) 猎狗初始位置为(10.2,4) 洞穴位置为(0,10)
[y,x]=dograbbit([10.2,4]) [y,x]=dograbbit2([10.2,4]) 兔子初始位置为(0,0) 猎狗初始位置为(10.2,4) 洞穴位置为(0,10) 红色线为兔子直线跑向洞穴时两者的线路 兰色线为兔子直线跑向洞穴时两者的线路 华长生制作

16 兔子被抓住 兔子安全进洞 图(6) 同样的初始位置 兔子安全进洞 兔子被抓住 不同的结果 华长生制作

17 (4) 若猎狗经过训练,追击时不是直接追向兔子,而是追 向兔子的前方,试给出一种计算提前量的方法,并画出 两者的运动轨迹.(略)
采用折线跑的结果为 兔子位置(0 ,10),猎狗位置( , ) 以上结果没有证明, 只是数值计算的结果 但不管如何,兔子采用曲线跑是明智的 (4) 若猎狗经过训练,追击时不是直接追向兔子,而是追 向兔子的前方,试给出一种计算提前量的方法,并画出 两者的运动轨迹.(略) 华长生制作