第二章 极限的计算 微积分学中的很多重要概念, 如连续、导数、定积分、 级数等都是建立在极限的基础上。 极限方法是高等数学里的重要方法。

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1 第二章 极限的计算 微积分学中的很多重要概念, 如连续、导数、定积分、 级数等都是建立在极限的基础上。 极限方法是高等数学里的重要方法。
第二章 极限的计算 极限是在研究变量的变化趋势时引出的一个基本概念. 微积分学中的很多重要概念, 如连续、导数、定积分、 级数等都是建立在极限的基础上。 极限方法是高等数学里的重要方法。

2 2.1 极限的概念与运算法则 （一）数列极限 称按照一定顺序排列的可列个数 为数列， 记为 如 都是数列.

3 问题: 例1： “ 一尺之棰，日截其半，万世不竭 ” 《庄子.杂篇.天下》

4 例2. “以直代曲”

5 数列对应着数轴上一个点列可看作一动点在数轴上依次取
数列极限的描述性定义: 记作 注： 数列对应着数轴上一个点列可看作一动点在数轴上依次取

6 数学上的 定义: 定义: 设 是一个数列, 是一个有限数, 若 使得当 时, 总有 则称数列 收敛于

7 由描述性定义，容易得到下面数列的极限

8 数列极限的运算与性质

9 例1：求下列极限

10 例1：求下列极限

11 例1：求下列极限

12 分子与分母同除以n的最高次幂,可得

13 例2: 求下列数列的极限： 注：四则运算法则只对任意有限个数列可进行四则运算，若数列个数是无限的，不适用于四则运算法则，因此应先求和后求极限. a

14 课堂练习：求极限： 不存在

15 （二）函数极限 的变化趋势有两种情形:

16 1、x→a 时函数的极限

17 x→a时函数的极限定义 注意:

18 回忆: 函数极限的数学定义:

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20 注:

21 (2) 单侧极限(左极限和右极限)：

22 x y 也可以从函数的图像上明确地看出该函数的在0点的极限不存在.

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24 2、x→∞时函数的极限 y x O

25 x→∞时函数的极限定义

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27 注: 根据定义，其极限不存在，但是我们把这种情况也常 记为：

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29 对于函数 ,因为 ,所以只有 时的极限. 对于函数 ，要求 时的极限， 需分别讨论 和 的情况. o x 从而

30 函数极限的四则运算

31 解：

32 例 求 时 解：因为分母的极限为零，所以不能直接用公式. 注意到分子分母都有公因式 ，可以约去这个不为零的公因式， 而 所以

33 例 求 即极限都不存在，因此，不能直接用定理1.1的 结论. 将分子分母都除以 解：当 ，得 时，分子分母都趋近于无穷大，

34 例 求 解： 当 时， 、 的极限都不存在， 所以不能直接用公式来求解.将被求极限的 函数作恒等变形(即分子有理化)：

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36 例 设 为常数)，求 ( 的值，使 存在. 解：分段函数分段点左、右的函数解析表达式不 同，因此在求分段函数分段点极限的时候一定要
例 设 为常数)，求 ( 的值，使 存在. 解：分段函数分段点左、右的函数解析表达式不 同，因此在求分段函数分段点极限的时候一定要 考虑其左、右极限.

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38 （三）无穷小量与无穷大量 1、定义

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40 无穷小量的比较与阶

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42 习题1.2 P52-53 1. (2) ; 5. (1), (2), (7) (11)

43 1. (3) (4) 2; 5. (4), (5), (6) (8) (9) (12) (13) (15)
习题1.2 P52-53 (9月25日) 1. (3) (4) ; 5. (4), (5), (6) (8) (9) (12) (13) (15)