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§3 几 何 应 用 一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们
§3 几 何 应 用 在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们 的方程是以隐函数(组)的形式出现的, 因此 在求它们的切线或切平面时, 都要用到隐函 数(组)的微分法. 一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线 *四、用参数方程表示的曲面 返回
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一、平面曲线的切线与法线 曲线 L ： 条件： 上一点, 近旁, F 满足 隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数: 处的切线：
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总之, 当 例1 求笛卡儿叶形线 在点 处的切线与法线. 解 设 由§1 例 2 的讨 论 近旁满足隐函数定理
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的条件. 容易算出 于是所求的切线与法线分别为 例2 用数学软件画出曲线 的图象；并求该曲线在点 处的 切线与法线.
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解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:
syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]); 就立即得到曲线 L 的图象 (见本例末页图18－6). 令 容易求出:
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若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指
令, 便可画出上述切线与法线的图象. hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
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图 18－6
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例3 设一般二次曲线为 试证 L 在点 处的切线方程为 证
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由此得到所求切线为 利用 满足曲线 L 的方程, 即 整理后便得到
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二、空间曲线的切线与法平面 先从参数方程表示的曲线开始讨论. 在第五章§3 已学过, 对于平面曲线 若 是其上一点, 则曲线
在第五章§3 已学过, 对于平面曲线 若 是其上一点, 则曲线 在点 处的切线为 下面讨论空间曲线.
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(A) 用参数方程表示的空间曲线: 类似于平面曲线的情形, 不难求得 处的切线为 过点 且垂直于切线 的平面 , 称为曲线 L 在点 处的法平面 (见图18－7).
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因为切线 的方向向量即为 法平面 的法向量, 所以法 平面的方程为 (B) 用直角坐标方程表示的空间曲线： 设 近旁具有连续的
因为切线 的方向向量即为 图 18－7 法平面 的法向量, 所以法 平面的方程为 (B) 用直角坐标方程表示的空间曲线： 设 近旁具有连续的 一阶偏导数, 且
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不妨设 于是存在隐函数组 这也就是曲线 L 以 z 作为参数的一个参数方程. 根据公式 (2), 所求切线方程为
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应用隐函数组求导公式, 有 于是最后求得切线方程为 相应于 (3) 式的法平面方程则为
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例 4 求空间曲线 在点 处的切线和法平面. 解 容易求得 故切向向量为 由此得到切线方程和法平面方程分别为
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绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下: syms t; x=t-sin(t); y=1-cos(t); z=4*sin(t/2);
ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])
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图 18－8
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例5 求曲线 在点 处的切线与法平面. 解 曲线 L 是一球面与一圆锥面的交线. 令 根据公式 (5) 与 (6), 需先求出切向向量. 为此计算 F, G 在点 处的雅可比矩阵:
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由此得到所需的雅可比行列式:
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故切向向量为 据此求得
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三、曲面的切平面与法线 以前知道, 当 f 为可微函数时, 曲面 z = f ( x , y ) 在点 处的切平面为
在点 处的切平面为 现在的新问题是: 曲面 由方程 给出. 若点 近旁 具有连续的一阶偏导数, 而且
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不妨设 则由方程 (7) 在点 近旁惟一 地确定了连续可微的隐函数 因为 所以 在 处的切平面为 又因 (8) 式中非零元素的不指定性, 故切平面方程
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一般应写成 随之又得到所求的法线方程为 回顾 1 现在知道, 函数 在点 P 的梯度 其实就是等值面 在点 P 的法向量:
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回顾 2 若把由 (4) 表示的空间曲线 L 看作两曲面
在 的切线与此二曲 图 18－9 面在 的法线都相垂 直. 而这两条法线的 方向向量分别是
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故曲线 (4) 的切向向量可取 的向量积: 这比前面导出 (5) , (6) 两式的过程更为直观, 也容 易记得住.
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例6 求旋转抛物面 在点 处的切平面和法线. 解 令 则曲面的法向量为 从而由 (9), (10) 分别得到切平面为 法线为
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( ) 例7 证明: 曲面 的任一切平 面都过某个定点 ( 这里 f 是连续可微函数 ) . ( ) 证 令 则有
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于是曲面在其上任一点 处的法向量 可取为 ( ) 由此得到切平面方程: 将点 代入上式, 得一恒等式:
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这说明点 恒在任一切平面上.
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四、用参数方程表示的曲面 曲面也可以用如下双参数方程来表示: 这种曲面可看作由一族曲线所构成: 每给定 v 的一
个值, (11) 就表示一条以 u 为参数的曲线; 当 v 取 某个区间上的一切值时, 这许多曲线的集合构成了 一个曲面. 现在要来求出这种曲面的切平面和法线 的方程. 为此假设 且
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(11) 式中三个函数在 近旁都存在连续的一阶偏
(11) 式中三个函数在 近旁都存在连续的一阶偏 导数. 因为 在 处的法线必垂直于 上过 的 任意两条曲线在 的切线, 图 18－10 所以只需在 上取两条特 殊的曲线 ( 见图18－10 ) : 它们的切向量分别为
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则所求的法向量为 至此, 不难写出切平面方程和法线方程分别为
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例8 设曲面的参数方程为 试对此曲面的切平面作出讨论. 解 先计算在点 处的法向 量:
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由此看到, 当 时 说明在曲面 (12) 上存在着一条曲线, 其方程为 在此曲线上各点处, 曲面不存在切平面, 我们称这 种曲线为该曲面上的一条奇线. 而当 时, 法向量可取 与之对应的切平面则为
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法线则为 当动点 趋于奇线 (13) 上 的点 时, 法向量 存在极限(一般不一定存在):
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此时切平面存在极限位置: 有时需要用此“极限切平面”来补充定义奇线上的 切平面 . 注 曲面上的孤立奇点往往是曲面的尖点, 如圆锥 面 的顶点 在 此点处 不存在法 线和切平面. 而曲面上的奇线, 则往往是该曲面的 “摺线” 、“边界线” 或是曲面自身的 “交叉线”.
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曲面 (12) 及其奇线 (边界线) 的图象如下: 图 18－11
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定义 若 存在连续的一阶偏导数, 且满足 则称曲面 为 一光滑曲面. 对于用双参数方程 (11) 表示的曲面, 应如何定义 它为光滑曲面? 请读者自行考虑.
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复习思考题 1. 模仿例2、例4, 使用数学软件(例如 MATLAB) 分别绘出例1 中的曲线和例8 中的曲面.
自几何对象的计算公式也不同. 试考虑怎样才能较 2. 曲线或曲面由于它们表示形式的不同, 导致各 容易地记住这许多公式? 3. 光滑曲面有怎样的几何特征? 对于用参数方程 (11) 表示的曲面, 应如何定义它为光滑曲面?
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为什么说是一条边界线? 4. 例8 所讨论的曲面上, 对应于 的那条奇线
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