概率论与数理统计 §1.3 古典概型与几何概型

本节主要内容  排列与组合公式  古典概型  几何概型 §1.3 事件的概率及性质

1.3.1 排列与组合公式 1. 排列 从 n 个不同元素中任取 r 个元素排成一列（考虑元素先后 出现次序），称此为一个排列。  此种排列的总数为  若 r = n ，则称为全排列；  全排列的总数为 A n = n! ． §1.3 事件的概率及性质

1.3.1 排列与组合公式 2. 重复排列 从 n 个不同元素中每次取出一个，放回后再取出下一个， 如此连续取 r 次所得的排列称为重复排列，此种重复排列 数共有 n r 个，这里 r 允许大于 n ． §1.3 事件的概率及性质

1.3.1 排列与组合公式 3. 组合 从 n 个不同元素中任取 r 个元素并成一组（不考虑元素先 后出现次序），称为一个组合。  此种组合的总数为  易知 ， ．  排列组合公式在古典概型的概率计算中经常使用． §1.3 事件的概率及性质

1.3.2 古典概型 1. 古典概型概念 具有以下两个特点的试验称为古典概型： (1) 有限性：试验的样本空间只含有限个样本点； (2) 等可能性：试验中每个基本事件发生的可能性相同． §1.3 事件的概率及性质

1.3.2 古典概型 1. 古典概型概念  对于古典概型，若样本空间中共有 n 个样本点，事件 A 包 含 k 个样本点，则事件 A 的概率为  古典概型下的概率常称为古典概率。  一般地，古典概型下事件发生的概率为 0 ，则一定是不 可能事件。其他未必。 §1.3 事件的概率及性质

1.3.2 古典概型 【例 1.6 】（摸球问题）箱中盛有  个白球和  个黑球，从 其中任意地接连取出 k+1 个球 (k+1   +  ) ，如果每个球被 取出后不再放回，试求最后取出的球是白球的概率． 分析：判断试验的类别？判断是用排列还是组合来考虑？ 解：  接连不放回地取 k + 1 个球的所有结果共有 个，即样 本空间中共有 个（有限个）样本点．  最后取出的白球可以是  个白球中的任一个，共有  种取 法， §1.3 事件的概率及性质

1.3.2 古典概型 【例 1.6 】（摸球问题）箱中盛有  个白球和  个黑球，从 其中任意地接连取出 k+1 个球 (k+1   +  ) ，如果每个球被 取出后不再放回，试求最后取出的球是白球的概率． 解：  其余 k 个可以是其余  +  – 1 个的任意 k 个，共有 种取 法，  因而事件 A = “ 取出的 k + 1 球中最后一个是白球 ” 中共含 有 个样本点，于是 §1.3 事件的概率及性质 与 k 无关！

1.3.2 古典概型 【例 1.7 】（分房问题）有 n 个人，每个人都以同样的概 率被分配在 N （ n  N ）间房中的每一间中，试求下列各 事件的概率： (1) A = “ 某指定 n 间房中各有一人 ” ； (2) B = “ 恰有 n 间房，其中各有一人 ” ； (3) C = “ 某指定房中恰有 m (m  n) 人 ” ． §1.3 事件的概率及性质

1.3.2 古典概型 【例 1.7 】（分房问题）有 n 个人，每个人都以同样的概 率被分配在 N （ n  N ）间房中的每一间中，试求下列各 事件的概率： (1) A = “ 某指定 n 间房中各有一人 ” ； 分析：  可以判断本题试验仍为古典概型，先求样本空间中样本 点总数。  因每个人可以被分配到 N 间房中任一间，故 n 个人被分配 到房间共有 N n 种方式，即样本空间中样本点总数为 N n ． §1.3 事件的概率及性质

1.3.2 古典概型 【例 1.7 】（分房问题）有 n 个人，每个人都以同样的概 率被分配在 N （ n  N ）间房中的每一间中，试求下列各 事件的概率： (1) A = “ 某指定 n 间房中各有一人 ” ； 解：（ 1 ）  “ 某指定 n 间房中各有一人 ” 的分配方法共有 n! 种，因而事 件 A 中含有 n! 个样本点，  于是 §1.3 事件的概率及性质

1.3.2 古典概型 【例 1.7 】（分房问题）有 n 个人，每个人都以同样的概 率被分配在 N （ n  N ）间房中的每一间中，试求下列各 事件的概率： (2) B = “ 恰有 n 间房，其中各有一人 ” ； 解：（ 2 ）  这 n 间房可自 N 间中任意选出，共有 种选法，因而事件 B 中含有 个样本点，  于是 §1.3 事件的概率及性质

1.3.2 古典概型 【例 1.7 】（分房问题）有 n 个人，每个人都以同样的概 率被分配在 N （ n  N ）间房中的每一间中，试求下列各 事件的概率： (3) C = “ 某指定房中恰有 m (m  n) 人 ” ． 解：（ 3 ）  事件 C 中 m 个人可从 n 个人中任意选出, 共有 种选法，  其余 n – m 个人可以任意分配到其余 N – 1 间房里，共有 个分配法， §1.3 事件的概率及性质

1.3.2 古典概型 【例 1.7 】（分房问题）有 n 个人，每个人都以同样的概 率被分配在 N （ n  N ）间房中的每一间中，试求下列各 事件的概率： (3) C = “ 某指定房中恰有 m (m  n) 人 ” ． 解：（ 3 ）  因而事件 C 中有 个样本点，于是 §1.3 事件的概率及性质

1.3.2 古典概型 2. 古典概率的缺陷  在实际问题中如何判定试验的基本结果发生的可能性是 否相同，仅凭主观判断是不完全确定的。  要判定事件发生的可能性大小，特别是基本事件是否为 等可能发生时，一般最为可靠的办法是重复多次试验。  另，古典概率，包括统计概率，考虑的试验基本结果都 是有限个，无限个情形无法考虑。 §1.3 事件的概率及性质

1.3.3 几何概型 具有以下两个特点的试验称为几何概型： (1) 随机试验的样本空间为某可度量的区域； (2)  中任一区域出现的可能性的大小与该区域的几何度 量成正比而与该区域的位置和形状无关． §1.3 事件的概率及性质

1.3.3 几何概型  对于几何概型，若事件 A 是  中的某一区域，且 A 可以度 量，则事件 A 的概率为  其中，如果  是一维、二维或三维的区域，则  的几何 度量分别是长度、面积和体积．  几何概型下的概率常称为几何概率。 §1.3 事件的概率及性质

1.3.3 几何概型 【例 1.8 】（约会问题）甲乙两人约定在下午 6 点到 7 点之 间在某处会面，并约定先到者应等候另一人 20 分钟，过 时即可离去，求两人能会面的概率．  分析： 首先判断试验是否是几何概型，这需要用数学方式来 看待试验，这是关键一步。 如果解决，不仅可以判断是否为几何概型，而且在是 的情形下，能方便给出样本空间和事件的数学表达，进而 能找到各自的几何度量。 §1.3 事件的概率及性质

1.3.3 几何概型 【例 1.8 】（约会问题）甲乙两人约定在下午 6 点到 7 点之 间在某处会面，并约定先到者应等候另一人 20 分钟，过 时即可离去，求两人能会面的概率．  分析：  以 x 和 y 分别表示甲乙两人到达 约会地点的时间（以分钟为单位）， 在平面上建立 xOy 直角坐标系。  因甲乙都是在 0 到 60 分钟内等可能到达，样本空间为 可度量的矩形区域，且这种等可能保证了试验满足几何概 型的第二个条件，因此这是一个几何概型问题。 §1.3 事件的概率及性质

1.3.3 几何概型 【例 1.8 】（约会问题）甲乙两人约定在下午 6 点到 7 点之 间在某处会面，并约定先到者应等候另一人 20 分钟，过 时即可离去，求两人能会面的概率．  解： 样本空间  = {(x ， y) ： 0  x ， y  60} 事件 A = “ 甲乙将会面 ” = {(x ， y)   ： | x – y |  20} 因此 §1.3 事件的概率及性质

1.3.3 几何概型  参考教材还有另外一个经典几何概型问题（蒲丰投针问 题），可根据上述分析方法考虑。  说明： 几何概率考虑的是无限个试验结果的问题，虽然 不同于统计概率和古典概率，但几何概率也有局限性。 如（贝特朗奇论）：在一半径为 r 的圆内 “ 任意 ” 作一 弦，试求此弦长度大于圆内接等边三角形的边长的概率。  至此，我们拿到计算概率问题时，首先需要判断概型， 不同的概型有不同的概率公式。 §1.3 事件的概率及性质

【例 1.9 】随机地向边长为 1 的正方形内投点，试求点投 在正方形的一条对角线上的概率（见图）．  分析：首先判断概型。  解： 样本空间  = {(x ， y) ： 0  x ， y  1} 事件 A = “ 点投在正方形的对角线上 ” = {(x ， y)   ： x = y } 因此 启示：概率为 0 的事件未必是不可能事件，可能发生。 §1.3 事件的概率及性质

 1. 基本概念：排列组合、古典概型、几何概型；  2. 概率计算：不同概型下概率的计算方法；  3. 区分概型。 本节小结

作业 习题一 (A) (P25) ： 三、解答题 : 5,8,9,11