卡方检验

内容 卡方检验入门 1 配对设计两样本率比较的 χ2 检验 2 行列表资料的分析 3 确切概率法 4

卡方检验入门

概 述  卡方检验是以卡方分布为基础的一种常用假设检 验方法，主要用于分类变量，它基本的无效假设 是：  H 0 ：行分类变量与列分类变量无关联  H 1 ：行分类变量与列分类变量有关联   =0.05  统计量 ，其中 A i 是样本资料的计数， T i 是在 H 0 为真的情况下的理论数 ( 期望值 ) 。

卡方检验  在 H 0 为真时，实际观察数与理论数之差 A i － T i 应该比较接近 0 。所以在 H 0 为真时，检验统计 量 服从自由度为 k-1 的卡方分布。 即： ，拒绝 H 0 。 上述卡方检验由此派生了不同应用背景的各种问题 的检验，特别最常用的是两个样本率的检验等。因 为该原理的使用范围很广，但本次课程只学习用于 推断两个分类变量是否相互关联。

方法原理

 理论频数  基于 H 0 成立，两样本所在总体无差别的前提下 计算出各单元格的理论频数来

方法原理  残差  设 A 代表某个类别的观察频数， E 代表基于 H0 计算出的期望频数， A 与 E 之差被称为残差。  残差可以表示某一个类别观察值和理论值的偏 离程度，但残差有正有负，相加后会彼此抵消， 总和仍然为 0 。为此可以将残差平方后求和， 以表示样本总的偏离无效假设的程度。

方法原理 另一方面，残差大小是一个相对的概念，相对于期望 频数为 10 时， 20 的残差非常大；可相对于期望频数为 1000 时 20 就很小了。因此又将残差平方除以期望频 数再求和，以标准化观察频数与期望频数的差别。  这就是我们所说的卡方统计量，在 1900 年由英 国统计学家 Pearson 首次提出，其公式为：

方法原理 从卡方的计算公式可见，当观察频数与期望频数完全 一致时，卡方值为 0 ； 观察频数与期望频数越接近，两者之间的差异越小， 卡方值越小； 反之，观察频数与期望频数差别越大，两者之间的差 异越大，卡方值越大。 当然，卡方值的大小也和自由度有关。

方法原理  卡方分布  显然，卡方值的大小不仅与 A 、 E 之差有关，还 与单元格数（自由度）有关

操作步骤 1. 建立检验假设和确定检验水准  H 0 ：使用含氟牙膏和一般牙膏儿童龋患率相等  H 1 ：使用含氟牙膏和一般牙膏儿童龋患率不等 2.  = 计算检验统计量  2 值

操作步骤 4. 确定 P 值和作出推断结论  查附表 8 ，  2 界值表，得 p>0.05 。按  = 0.05 水准，不拒绝 H0 ，尚不能认为使用含氟牙膏比 使用一般牙膏儿童的龋患率低。  对于四格表，卡方的计算公式又可进行简化， 以方便手工计算 对计算机而言并无实际价值 tabi a b \ c d, chi2

操作步骤  值得指出，成组设计四格表资料的  2 检验与前面 学习过的两样本率比较的双侧 u 检验是等价的。若 对同一资料作两种检验，两个统计量的关系为  2 = u 2 。其对应的界值也为平方关系。两者的应用条 件也是基本一致的，连续性校正也基本互相对应。

卡方检验假设的等价性  两组儿童的龋齿率相同  两组发生率的比较  实际数据的频数分布和理论假设相同  理论分布与实际分布的检验  使用不同的牙膏并不会影响龋齿的发生（两个分 类变量间无关联）  两变量的相关分析

四格表  2 值的校正  英国统计学家 Yates 认为，  2 分布是一种连续型 分布，而四格表资料是分类资料，属离散型分布， 由此计算的  2 值的抽样分布也应当是不连续的， 当样本量较小时，两者间的差异不可忽略，应进 行连续性校正（在每个单元格的残差中都减去 0.5 ）  若 n > 40 ，此时有 1< T  5 时，需计算 Yates 连 续性校正  2 值  T <1 ，或 n<40 时，应改用 Fisher 确切概率法直 接计算概率

四格表  2 值的校正

配对设计两样本率比较的 χ 2 检验

方法原理 例 6.9 用 A 、 B 两种方法检查已确诊的乳腺癌患者 140 名， A 法检出 91 名 (65%) ， B 法检出 77 名 (55%) ， A 、 B 两法一致的检出 56 名 (40%) ，问哪种方法阳 性检出率更高？

方法原理 显然，本例对同一个个体有两次不同的测量，从 设计的角度上讲可以被理解为自身配对设计 按照配对设计的思路进行分析，则首先应当求出 各对的差值，然后考察样本中差值的分布是否按 照 H0 假设的情况对称分布 按此分析思路，最终可整理出如前所列的配对四 格表

方法原理  注意  主对角线上两种检验方法的结论相同，对问题 的解答不会有任何贡献  另两个单元格才代表了检验方法间的差异  假设检验步骤如下：  H0 ：两法总体阳性检出率无差别，即 B = C  H1 ：两法总体阳性检出率有差别，即 B  C

方法原理  mcci

注意事项  McNemar 检验只会利用非主对角线单元格上的信 息，即它只关心两者不一致的评价情况，用于比 较两个评价者间存在怎样的倾向。因此，对于一 致性较好的大样本数据， McNemar 检验可能会失 去实用价值。  例如对 1 万个案例进行一致性评价， 9995 个都 是完全一致的，在主对角线上，另有 5 个分布 在左下的三角区，显然，此时一致性相当的好。 但如果使用 McNemar 检验，此时反而会得出两 种评价有差异的结论来。

行列表资料的分析

分析步骤  建立假设  H0 ：三种不同类型关节炎的疗效相同  H1 ：三种不同类型关节炎的疗效不全相同  求出统计量  下结论

几点遗留问题  是否应当进行两两比较？  这又是一个打嘴仗的问题，虽然有人提出用卡 方分割等方法来检验，但同样也有学者对这种 做法嗤之以鼻  实际上，随着统计学的发展，这个问题已被超 越，可以使用对分类数据的建模方法，如 logistic 模型等对此问题加以解答

几点遗留问题  如果是有序资料该怎么处理  传统的卡方检验是无法对次序信息加以利用的  单向有序：秩和检验  双向有序：实际上考察的是两变量间的关联性 （相关性），可以使用专门的关联性指标分析  目前对卡方检验还有一些扩展方法，如 CMH 卡 方，可以处理此类问题

几点遗留问题  行列表卡方检验的适用条件  理论频数不宜太小，一般认为不宜有 1/5 以上格 子的理论频数小于 5 或有一个格子的理论频数 小于 1  不太理想的办法 与邻近行或列中的实际频数合并 删去理论频数太小的格子所对应的行或列  最理想的办法 增加样本含量以增大理论频数（但是可能吗） 确切概率法

分析实例  注意：确切概率法不属于  2 检验的范畴，但常 作为  2 检验应用上的补充。

分析实例 1 ．建立检验假设和确立检验水准  H0 ：新药组与对照组疗效相等，即  1 =  2  H1 ：新药组与对照组疗效不等，即  1   2 2 ．计算概率和确定 P 值  本例 n = 36 < 40 ，不满足  2 检验的应用条件， 宜采用四格表确切概率法。

方法原理  在四格表周边合计不变的条件下，在相应的总体 中进行抽样，四格表中出现各种排列组合情况的 概率  本例即 28 、 8 、 22 、 14 保持不变的条件下，若 H0 成立，计算出现各种四格表的概率

方法原理  然后将其中小于等于现有样本概率的概率值相加，即为 P 值：  本例中 P 值 =P(0)+ P(6)+P(7)+P(8)=0.0361<0.05

一点补充  确切概率法的原理具有通用性，对于四格表以外 的情况也适用，如行乘列表、配对、配伍表格均 可  对于较大的行乘列表，确切概率法的计算量将变 得十分惊人，有可能超出硬件系统可以支持的范 围  此时可以采用计算统计学中的其他抽样技术加以 解决，如 Bootstrap 方法等

Stata 计算  两个或多个率、构成比的比较 1.Pearson χ 2 对两个样本率比较 tabi a b\ c d,chi2 r 其中 r 表示按行计算比例 2. 用 Fisher 确切概率法检验量个样本率 tabi a b\ c d,chi2 exact  配对四格表资料的分析 mcci a b c d

Stata 计算 行列表资料统计分析  双变量无序： Pearson 卡方  应用条件：同前。  命令： tabi \ \  单变量有序：秩和检验、 CMH 卡方  双变量有序： Spearman 等级相关、 CMH 卡方