§1.2 事件的概率 设在 n 次试验中，事件 A 发生了 m 次，则称 为事件 A 发生的频率． 频率 频率的性质 事件 A 、 B 互斥，则 可推广到有限个两两互斥事件的和事 件． 非负性 规范性 可加性 稳定性 某一定数    

n = 4040 ， n H =2048 ， F( H ) = n = ， n H =6019 ， F( H ) = n = ， n H =12012 ， F( H ) = 频率稳定性的实例 蒲丰 ( Buffon ) 投币 皮尔森 ( Pearson ) 投币 投一枚硬币观察正面向上的次数．

例 1 Dewey G. 统计了约 个英语单词 中各字母出现的频率，发现各字母出现的频率不 同： A: B: C: D: E: F: G: H: I: J: K: L: M: N: O: P: Q: R: S: T: U: V: W: X: Y: Z:

概率的统计定义 概率的定义 在相同条件下重复进行的 n 次试验中，事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动，且 随 n 越大摆动幅度越小，则称 p 为事件 A 的概率， 记作 P(A) ．

设随机试验 E 具有下列特点： 基本事件的个数有限； 每个基本事件等可能性发生则称 E 为古典 （等可能）概型． 古典概型中概率的计算： 记 则 古典（等可能）概型 概率的古典定义  

例 2 在 中不重复地任取 4 个数， 求它们能排成首位非零的四位偶数的概率． 解 设 A 为 “ 能排成首位非零的四位偶数 ” 四位偶数的末位为偶数，故有 种可能，而 前三位数有 种取法，由于首位为零的四位数有 种取法，所以有利于 A 发生的取法共有 种．

例 3 袋中有 a 只白球， b 只红球，从袋中按 不放回与放回两种方式取 m 个球（ ) ， 求其中恰有 k 个（ ）白球的概率． 解 (1) 不放回情形 E ：球编号，任取一球，记下颜色，放在一边， 重复 m 次． 记事件 A 为 m 个球中有 k 个白球，则

又解 E 1 ：球编号，一次取 m 个球，记下颜色． 记事件 A 为 m 个球中有 k 个白球，则 不放回地逐次取 m 个球，与一次任取 m 个球 算得的结果相同． 因此 称超几 何分布．

(2) 放回情形 E 2 ：球编号，任取一球，记下颜色，放回去， 重复 m 次． 记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球，则 称二项分布

例 4 （分房模型）设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设每个 盒子容球数无限, 求下列事件的概率： (1) 某指定的 k 个盒子中各有一球； (2) 某指定的一个盒子恰有 m 个球 ( ) (3) 某指定的一个盒子没有球； (4) 恰有 k 个盒子中各有一球； (5) 至少有两个球在同一盒子中； (6) 每个盒子至多有一个球．

解 设 (1) ~ (6) 的各事件分别为 则

例 5 “ 分房模型 ” 的应用 数科院三年级有 n 个人，求至少有两人生日 相同（设为事件 A ）的概率． 为 n 个人的生日均不相同，这相当于每个 盒子至多有一个球．由例 4(6) 解 本问题中的人可被视为 “ 球 ” ， 365 天为 365 只 “ 盒子 ” ．

例 6 某人的表停了，他打开收音机听电台 报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的 时间短于十分钟的概率． 9点9点 10 点 10 分钟 几何概型（等可能概型的推广）

几何概型 设样本空间为有限区域, 若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域 G 的测度成正比, 则样本点落入 G 内的概率为：

例 7 两船欲停靠同一个码头，设两船到达 码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在 一昼夜内是等可能的．如果两船到达码头后需 在码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小时，试求 在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码 头的概率. 解 设船 1 到达码头的瞬时为 x ， 船 2 到达码头的瞬时为 y ， 设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头．

x y 24 y = x y = x + 1 y = x - 2

用几何概型可以回答例 2 中提出的 “ 概率为 1 的事件为什么不一定发生 ? ” 这一问题． 0 1 X Y1Y1 如图，设试验 E 为 “ 随机地向边 长为 1 的正方形内黄、蓝两个三 角形投点 ” ，事件 A 为 “ 点投在黄、 蓝两个三角形内 ” ，求 由于点可能投在正方形的对角线上，所以事 件 A 未必一定发生．

作业 P56 习题一

设 是随机试验 E 的样本空间，若能找到一 个法则，使得对于 E 的每一事件 A 赋于一个实数， 记为 P ( A ) ，称之为事件 A 的概率，这种赋值满 足下面的三条公理： 非负性 规范性 可列可加性 其中 为两两互斥事件． 概率的公理化定义   

概率的性质 有限可加性 设两两互斥 若    

对任意两个事件 A, B, 有 B=AB+(B – A) P(B)=P(AB)+P(B – AB) A B - AB AB  加法公式：对任意两个事件 A, B, 有 

推广 一般： 右端共有 项.

例 8 小王参加 “ 智力大冲浪 ” 游戏，他能答出 第一类问题的概率为 0.7 ，答出第二类问题的概率 为 0.2 两类问题都能答出的概率为 0.1 ．求小王 解 设事件 A i 表示 “ 能答出第 i 类问题 ” i = 1,2 ． (1) (1) 答出第一类而答不出第二类问题的概率； (2) 两类问题中至少有一类能答出的概率； (3) 两类问题都答不出的概率． (2) (3)

提问 例 1 中小王他能答出第一类问题的概率为 0.7 ，答出第二类问题的概率为 0.2 ，两类问题都 能答出的概率为 0.1 ．为什么不是 ？ 若是的话，则应有 而现在题中并未给出这一条件． 在 §1.4 中将告诉我们上述等式成立的条件 是：事件 相互独立．

例 9 设 A ， B 满足 P ( A ) = 0.6 ， P ( B ) = 0.7 ， 在何条件下， P(AB) 取得最大 ( 小 ) 值？最大 ( 小 ) 值 是多少？ 解 最小值在 时取得； —— 最小值 —— 最大值 最大值在 时取得．

提问 例 2 中回答当 时, 取得最小值是 否正确？ 这相当于问如下命题是否成立 答：不成立！ 为什么呢？学了几何概型便会明白．

例 10 区长办公室某一周内曾接待过 9 次来 访，这些来访都是周三或周日进行的，是否可 以断定接待时间是有规定的？ 解 假定办公室每天都接待，则 P( 9 次来访都在周三、日 ) = = 这是小概率事件，一般在一次试验中不会发 发生．现居然发生了，故可认为假定不成立，从 而推断接待时间是有规定的．

—— 若 则称 A 为小概率事 件． 小概率事件 —— 一次试验中小概率事件一般是不会发生 的. 若在一次试验中居然发生了，则可怀疑该事 件并非小概率事件. 小概率原理

完全可加性 随机地向区间 ( 0, 1 ] 投掷一个质点，令 事件 A 为该质点落入区间 事件 A k 为 该质点落入区间 0 1 （ ] A ] ( 0 ] ( ]( ( ] ( ] ](

排列组合有关知识复习 加法原理 完成一件事情有 n 类方法，第 i 类方法中有 m i 种具体的方法，则完成这件事情 共有 种不同的方法． 乘法原理 完成一件事情有 n 个步骤，第 i 个步骤中有 m i 种具体的方法，则完成这件事情 共有 种不同的方法．

排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 ( 不放 回地）按一定的次序排成一排不同的排法共有 全排列 可重复排列 从 n 个不同的元素中可重复 地取出 m 个排成一排，不同的排法有 种．

，不同的分法共有 多组组合 把 n 个元素分成 m 个不同的组 （组编号），各组分别有 个元素， 种． 组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个 ( 不放 回地）组成一组，不同的分法共有

例 11 将 15 名同学 ( 含 3 名女同学 ) ，平均分 成三组．求 (1) 每组有 1 名女同学 ( 设为事件 A ) 的概率； (2) 3 名女同学同组 ( 设为事件 B ) 的概率 解 (1) (2)

例 12 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入标 有 1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，求至少有 一个盒子的号码与放入的球的号码一致的概率． 解 设 A 为所求的事件； 设 A i 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4 ． 则

由广义加法公式