National Kaohsiung First University of Science and Technology Infomechatronics and Power Electronics Lab. 國立高雄第一科技大學機械與自動化工程系 微 積 分 Chapter2 導 數

NKFUST IPEL 導數 2.1 導數和變化率 2.2 導數函數 2.3 微分基本公式 2.4 乘法和除法公式 2.5 連銷法則 2.6 隱微分 2.7 相對變化率 2.8 線性近似及微分算子

NKFUST IPEL 2.1 導數和變化率 （ a ） （ b ） 圖 1 曲線之切線圖 如圖 1 所示為曲線之切線圖。

NKFUST IPEL 切線 隨著兩點座標不同，其切線方向也不同，如圖 2 所示。 （ a ） （ b ） （ c ） 圖 2 切線方向

NKFUST IPEL 定義（ I ） 切線 (tangent line) ： 若極限 存在： 則稱通過該 P 點且斜率為 m 的直線於曲線 y = f (x) 在點 P( a, f (x)) 的切線 (tangent line) ，如圖 3 所示。 圖 3 切線

NKFUST IPEL 定義（ II ） 當極限 存在時 : 其定義為函數 f 在 a 點的導數 (derivative) ，以 符號來 表示，如圖 4 所示。 y=f (x) 在通過點 (a, f (a)) 的切線斜率為 。 圖 4 切線

NKFUST IPEL 瞬間變化率 瞬間變化率 : 如圖 5 所示，其為 P 點的切線斜率，其公式如下： 導數 是函數 y = f (x) 之 x 於 x=a 處的瞬間變化率。 圖 5 瞬間變化率

NKFUST IPEL 2.1 習題 如圖 6 所示為一顆球的位置函數。利用其圖形以回答其下 列之問題。 (a) 該球的初始速度為何？ (b) 該球在點 B 還是點 C 的速度較快？ (c) 在點 A, B 和 C 時該球是在加速或減速？ (d) 在點 D 和 E 之間發生什麼事？ 圖 6 瞬間變化率

NKFUST IPEL 2.2 導數函數 當一函數 f 在 a 點的導數 存在時： 則稱 f 在 a 點時可微 (differentiable) 。 當一函數 f 在 (a, b) 開區間中或 (a, ∞) 、 (- ∞, a) 、 (- ∞, ∞) 內 每一點都可微時： 則函數 f 在這區間皆可微，如圖 7 所示。 圖 7 可微性

NKFUST IPEL 連續性 當函數 f 在 a 點可微時： 則在其 a 點也一定有其連續性，如圖 8 所示。 圖 8 連續性

NKFUST IPEL 不可微性 函數 f 在 a 點會有三種不可微情況，如圖 9 所示。 （ a ） （ b ） （ c ） 圖 9 不可微性

NKFUST IPEL 2.2 習題 觀察其函數圖形，估計其下列值，並畫出函數 的圖形 。

NKFUST IPEL 2.3 微分基本公式 (I) 如圖 10 所示為一水平線其方程式為 y ＝ c ，則 如圖 11 所示為一直線其方程式為 y ＝ x ，則 圖 10 一水平線圖 11 一直線

NKFUST IPEL 微分基本公式 (II) 常數函數的導數 : 次方律 : 當 n 是正整數，則 次方律 ( 一般公式 ): 當 n 是任意實數，則

NKFUST IPEL 常倍數定律 當函數 f 為一可微函數且 c 是一常數時，則 如圖 12 所示當 c ＝ 2 時，圖形會在垂直方向擴張 2 倍，當上 升速度變成其 2 倍，但是水平變化之速度一樣，故斜率變 成其 2 倍。 圖 12 常倍數定律

NKFUST IPEL 微分基本公式 (III) 加法律： 若函數 f 和 g 皆可微，則 又可以表示成： 減法律： 假設函數 f 和 g 都是可微的， 則

NKFUST IPEL 三角函數微分 如圖 13 所示為三角函數微分，其方程式為下列式： 圖 13 三角函數微分

NKFUST IPEL 2.4 乘法和除法公式 乘法律： 當函數 f 和 g 皆可微時，則 除法律： 當函數 f 和 g 皆可微時，則

NKFUST IPEL 三角函數的導數 xxx dx d cotcsc)(csc 

NKFUST IPEL 2.4 習題 函數 f 和 g 的圖形如下圖所示： 令 u (x) = f (x) g (x) 令 v (x) = f (x) / g (x) 。 (a) 求值

NKFUST IPEL 2.5 連鎖法則（ I ） 連鎖法則 : 當函數 f 和 g 皆可微時，則其合成函數 F= f 。 g 也是可微的 。其導函數 為： 萊布尼茲： 若 y = f (u) 和 u = g (x) 皆是可微函數，則

NKFUST IPEL 連鎖法則（ II ） 外層函數 對內層函數取值 外層函數的導數 代入內層函數的值 內層函數的導數

NKFUST IPEL 連鎖法則和次方律的應用 若 n 為任意實數而 u=g (x) 為一可微函數，則 又可寫為：

NKFUST IPEL 2.5 習題 下表所示為函數 f, g, 和 在某些點的值。 (a) 若 h (x)= f (g (x)) ，求 。 (b) 若 H (x)=g (f (x)) ，求 。 x f（x）f（x） g（x）g（x）

NKFUST IPEL 2.7 相對變化率 解相對變化率題目之步驟： 1. 將問題小心仔細的寫下。 2. 畫圖描述問題。 3. 放置變數。將指定符號代表需要用的量，當作為時間的函 數。 4. 將已知條件和欲求的變化率寫成導數的形式。 5. 寫下一描述問題中各個量之間關係的方程式。如果可能的 話，用問題中可以觀察到的幾何性質消去多餘的變數。 6. 利用連鎖法則將方程式二邊同時對時間微分。 7. 將已知的條件代入最後的式子求出未知的變化率。

NKFUST IPEL 2.8 線性近似及微分算子（ I ）

NKFUST IPEL 線性近似及微分算子（ II ） 如下列公式所示，其該函數 f 在 a 點附近的線性近似 (linear approximation) 是以切線為圖形之線性函數。 又稱為函數 f 於 a 點之線性化 (linearization) 。 微分元： 其 dy 由 dx 所決定： 故 dy 是一個應變數；其藉由 x 與 dx 所決定。

NKFUST IPEL 相對誤差 相對誤差 (relative error) ： 將其求得之誤差除以體積

NKFUST IPEL 2.8 習題 下圖中之三條曲線分別為函數 f ， 和 圖形。試找出 相對應之曲線並說明其理由。