§1.2 §1.2随机事件的概率

0≤P(A)≤1 用一个数来度量可能性的大小。这个 数应该是事件本身所固有的，可以在相同 的条件下通过大量的重复试验予以识别和 检验；可能性大的事件用较大的数来度量， 可能性小的事件用较小的数来度量。这个 用来度量可能性大小的数称为事件的概率， 用 P(A) 表示。 一、可能性大小的度量 —— 事件的概率

（一）频率的定义 二、频率（经验概率） —— 概率的统计定义

设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则 （二）性质

试验 序号 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、 50 次、 500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 波动最小 随 n 的增大, 频率 f 呈现出稳定性

(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大, 频率 f 呈现出稳定性. 即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5. (1) 频率有随机波动性, 即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同 ;

实验者 德 摩根 蒲 丰蒲 丰

重要结论 频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于区间 [0 ， 1] 上的某一个稳定值，这 个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性 的大小．它就是事件的概率，也叫做经验概率．

三、古典概型 — 概率的古典定义

用 i 表示取到 i 号 球， i =1,2,…,10. 称这样一类随机试验 为古典概型. 2 且每个样本点 ( 或者说 基本事件 ) 出现的可能 性相同. S={1,2,…,10}, 如 i =

称这种试验为 有限等可能随机试验 或古典概型. 定义 1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.

对于古典概型，其样本空间 S(Ω) 由 n 个样本点组成，事件 A 包含 k 个样本点， 则定义事件 A 的概率为：

排列与组合是计算古典概率的重要工具 ： 下面这个结论对吗？ 抛掷两枚均匀硬币, 观察正、反面出现的情况。 数学家达郎贝尔说共有三种情况 : { 正、正 } ， { 反、反 } ， { 一正、一反 } ； 从而： P{ 一正、一反 }=1/3.

古典概型的基本模型 : 摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题 1 设袋中有 4 只白球和 2 只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出 2 只球, 求这 2 只球都是白球的概率. 解 基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为

(2) 有放回地摸球 问题 2 设袋中有 4 只红球和 6 只黑球, 现从袋中有放 回地摸球 3 次, 求前 2 次摸到黑球、第 3 次摸到红球 的概率. 解 第 1 次摸球 10 种第 2 次摸球 10 种第 3 次摸球 10 种 6种6种第 1 次摸到黑球 6种6种 第 2 次摸到黑球 4种4种 第 3 次摸到红球

基本事件总数为 A 所包含基本事件的个数为 课堂练习 1 o 电话号码问题 在 7 位数的电话号码中, 第一位 不能为 0 ，求数字 0 出现 3 次的概率. 2 o 骰子问题 掷 3 颗均匀骰子, 求点数之和为 4 的 概率.

古典概型的基本模型 : 球放入杯子模型 (1) 杯子容量无限 问题 1 把 4 个球放到 3 个杯子中去, 求第 1 、 2 个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球. 4 个球放到 3 个杯子的所有放法

因此第 1 、 2 个杯子中各有两个球的概率为

(2) 每个杯子只能放一个球 问题 2 把 4 个球放到 10 个杯子中去, 每个杯子只能 放一个球, 求第 1 至第 4 个杯子各放一个球的概率. 解 第 1 至第 4 个杯子各放一个球的概率为

2 o 生日问题 某班有 20 个学生都是同一年出生 的, 求有 10 个学生生日是 1 月 1 日, 另外 10 个学生生 日是 12 月 31 日的概率. 课堂练习 1 o 分房问题 将张三、李四、王五 3 人等可能地 分配到 3 间房中去, 试求每个房间恰有 1 人的概率.

解 典型例题

在 N 件产品中抽取 n 件, 其中恰有 k 件次品的取法 共有 于是所求的概率为 解 在 N 件产品中抽取 n 件的所有可能取法共有

例 3 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的, 即都等于 1/365, 求 64 个人中至少 有 2 人生日相同的概率. 64 个人生日各不相同的概率为 故 64 个人中至少有 2 人生日相同的概率为 解

说明

利用软件包进行数值计算.

四、 几何概型 — 概率的几何定义 例 甲、乙二人在 0 到 T 时间内相约于指定地点，先 到者等候另一人 t(t<T) 时刻后离去。如果两人在任一 时刻到达是等可能的。求二人能会面的概率？ (1) 它的样本空间具有无限个样本点. (2) 每个样本点出现的可能性相同. 称具有此特点的无限等可能试验为几何概型.

对于几何概型，则只能以等可能性为基础，借 助于几何度量（长度、面积和体积等）来合理的规 定概率。具体如下： 事件 A 的样本点构成区域 g ，样本空间构成区域 G ，这里的区域可以是一维、二维、三维等等，则 A 发生的概率定义为： 概率的几何定义。 静态的几何度量 “ 比例 ” 转化为动态的 “ 概率 ”

例 1 ：求引例的概率。 解：以 x 、 y 分别表示甲、乙二人到达的时刻。则 从而，所求概率为

蒲丰投针试验 例 年, 法国科学家蒲丰 (Buffon) 提 出了投针试验问题. 平面上画有等距离为 a(a>0) 的一些平行直线, 现向此平面任意 投掷一根长为 b( b<a ) 的针, 试求针与某一平行直线 相交的概率. 解

由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题.

蒲丰投针试验的应用及意义

历史上一些学者的计算结果 ( 直线距离 a=1) Reina Lazzerini Fox De Morgan Smith Wolf 相交次数投掷次数针长时间试验者

1933 年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫. 五、概率公理 — 概率的数学定义

(1) 0  p(A)  1 (2) p(s) = 1 p(  )=0 (3) 若事件 互不相容，则 p(A 1  A 2  …..) = p(A 1 )+p(A 2 )+…… (1)—(3) 称为概率公理。 设 E 是随机试验； S 是样本空间； p(A) 为事件的概 率, 且满足： 此即为概率的公理化定义。

2. 最简单的随机现象 古典概型 古典概率 几何概型 试验结果 连续无穷 六、小结 1. 频率 ( 波动 ) 概率 ( 稳定 ). 3. 概率的公理化定义.