第 5 章 径向基函数网络 中国科大 计算机学院 第 II 部分 人工神经网络

本章内容 Learning Vector Quantizer-II 径向基函数神经网络

LVQ-II LVQ-II 由 Kohonen 开发，使用从监督者得到的信息 来实现奖励或惩罚机制。 – 如果一个获胜单元正确地分类了输入模式，则修 改权值使其更好地匹配输入模式，即对该单元的 权值进行奖励。 – 如果一个获胜单元错误地分类了输入模式，则通 过使其权值远离输入向量，从而达到惩罚的效果。 对于 LVQ-II ，获胜输出单元 o k 的权值更新为：

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概述 1985 年， Powell 提出了多变量插值的径向基函数 (Radical Basis Function ， RBF) 方法 1988 年， Moody 和 Darken 提出了一种神经网络结 构，即 RBF 神经网络 RBF 网络是一种三层前向网络，基本思想为： – 用 RBF 作为隐单元的 “ 基 ” 构成隐含层空间，将输入矢量直 接 ( 即不需要通过权连接 ) 映射到隐空间 – 当 RBF 的中心点确定后，映射关系也就确定 – 隐含层空间到输出空间的映射是线性的

概述 径向基神经网络的神经元结构 激活函数采用径向基函数 以输入和权值向量之间的 距离作为自变量

概述 正规化网络（隐层节点数与数据点数相同） 基函数线性函数

概述 广义的径向基函数 (RBF) 网络结构 ( 隐层节点数小于 与数据点数 ) 基函数 线性函数

模式可分性的 Cover 定理 当用径向基函数神经网络来解决个复杂的模式分类 任务时，问题的基本解决可以通过应 用非线性方式 将其变换到一个高维空间。 – 它的潜在合理性来自模式可分性的 Cover 定理。 Cover 定理可以定性地表述如下： – 将复杂的模式分类问题非线性地投射到高维空间 将比投射到低维空间更可能是线性可分的。

模式可分性的 Cover 定理 一维平面上的 5 个点的不同集合的 3 个例子

XOR 问题 在 XOR 问题中有四个二维输入空间卜的点 ( 模式 ) ， (1, 1) ， (0, 1) ， (0, 0) 和 (1, 0) 。要求建一个模式分类 器产生二值输出响应，其中点 (1, 1) 或 (0, 0) 对应于输 出 0 ，点 (0, 1) 或 (1, 0) 对应于输出。 定义对 Gauss 函数如下.

XOR 问题

输入模式被映射到∅ - ∅平面上。

曲面的分离能力 Cover 定理的一个推论： – 一组随机指定的输入模式 ( 向量 ) 的集合在 m 1 维空 间中线性可分，它的元素数目的最大望等于 2m 1 。

径向基函数 一个径向基函数神经网络（ Radial Basis Function Neural Networks ， RBFNN ）是一个 FFNN （前馈 神经网络），其隐层单元并不使用激活函数，而是 采用径向基函数。 – 径向基函数神经网络通过非正交、径向对称函数 的叠加来逼近期望函数。  径向基函数网络结构  径向基函数  训练算法  径向基函数网络的变体

径向基函数网络结构 径向基函数网络的结构

径向基函数网络结构 径向基函数网络与前馈神经网络的不同： ①隐层单元实现一个径向基函数  。每个隐层单元 的输出为： ②从输入单元到隐层单元的权值  ij ，表示隐层单 元 j 的径向基函数的中心。 ③一些径向基函数可由一个宽度  j 描述。对于这样 的基函数，从输入层的基单元到每一个隐层单 元的权值表示了基函数的宽度。注意输入单元 z I+1 具有 +1 的输入信号。

径向基函数网络结构 径向基函数网络的输出为： 径向基函数网络的输出是基函数的一个线性组合。 − 径向基函数的输出单元实现的是线性函数。 − 已经证明：径向基函数网络与前馈神经网络一样， 是一个通用逼近器。

径向基函数 每个隐层单元实现一个径向基函数。 – 这些函数又称为核函数，都是严格正、径向对称 的函数。 一个径向基函数（ RBF ： Radial Basis Functions ） 在其中心  j 有一个唯一的最大值，并且当远离中心时， 函数通常很快趋于 0 。 隐层单元的输出表明输入向量 z p 和基函数中心接近 的程度。

径向基函数 除了用函数中心表示外，一些 RBF 函数由一个宽度  j 描述。 – 宽度  j 指出了隐层单元 j 的输入空间中， RBF 接收 域的宽度。

常用的 RBF 函数 线性函数 立方体函数 薄板样条函数（ Thin-plate-spline function ） 复二次函数

常用的 RBF 函数 逆复二次函数 高斯函数 Logistic 函数

RBF 对 RBFNN 性能的影响 径向基函数神经网络的正确率受下述因素影响： ①使用基函数的数目。使用的基函数越多，对目标 函数逼近的越好。然而，不必要的基函数会增加 计算复杂度。 ②对于每一个基函数，由中心向量  j 定义基函数的 位置。基函数应当均与分布并覆盖整个输入空间。 ③某些函数具有接收域宽度  j 。  j 越大，则由该基 函数所表述的输入空间越大。 因此， RBFNN 的训练应当考虑找出这些参数的最佳 值。

训练算法 分两类： – 固定中心算法，仅调整隐层单元和输出层之间的 权值。 – 自适应中心训练算法，对权值、中心和偏差均进 行调整。 1. 训练中心固定的 RBFNN 2. 使用梯度下降法训练 RBFNN 3. 两阶段 RBFNN 训练

训练中心固定的 RBFNN 从训练集中随机选择得到中心。 – 只要从训练集中均匀选取了足够数量的中心，就 可以得到输入空间的一个充分采样。 常用方法是首先选取足够多数量的中心，然后进行 训练，最后再对冗余的基函数进行裁剪。 – 仅删除那些不会造成正确率显著下降的 RFB 函数。

训练中心固定的 RBFNN // 训练一个固定中心的 RBFNN 1. 令 J 表示中心的个数； 2. 选择中心  j ， j=1,…,J 为  j =z p, p~U(1, P T ) ； 3. 计算宽度  j ， 4. 将所有 w kj, k=1,…,K, j=1,…,J 初始化为小的随机值； 5. 使用高斯径向基函数，计算每一个输出单元的值， 6. 对 k=1,…,K, ，求解网络权值。

训练中心固定的 RBFNN 求解网络权值：

使用梯度下降法训练 RBFNN 1. 选择中心的个数 J ； 2.for j=1, …, J do 3. p ~ U(1, P T ); 4.  j =z p ; 5. 6.end 7.for k=1, …, K do 8. for j=1, …, J do 9. w kj ~ U(w min, W max ) 10. end 11.end

使用梯度下降法训练 RBFNN 12.while 终止条件不满足 do 13. 选择一个输入模式， d p =(z p, t p ) ； 14. for k=1, …, K do 15. 计算 o k,p ; 16. for j=1, …, J do 17. 计算调整步长： 18. 使用下式调整权值： 19. end 20.end

使用梯度下降法训练 RBFNN 21. for j=1, …, J do 22. for i=1, …, I do 23. 计算中心步长： 24. 使用下式调整中心： 25. end 26. 计算宽度步长，并调整宽度： 27. end 28.end

两阶段 RBFNN 训练 为了减少训练时间， RBFNN 的训练可以分两个阶段 进行： ①中心  j 的非监督学习； ②使用梯度下降对隐层和输出层之间权值 w k 的监 督训练。

两阶段 RBFNN 训练 // 两阶段 RBFNN 训练算法 1. 初始化 w kj ， k=1, …, K ， j=1, …, J ； 2. 初始化  ji ， j=1, …, J ， i=1, …, I ； 3. 初始化  j ， j=1, …, J ； 4.while LVQ-I 没有收敛 do 5. 应用 LVQ-1 的一步调整  ji ， j=1, …, J ； 6. 调整  j ， j=1, …, J ； 7.end 8.t=0; ……

两阶段 RBFNN 训练 …… 9.while 梯度下降并没有收敛 do 10. 选择一个输入模式 (z p, t p ) ； 11. 计算权值步长， 12. 调整权值， 13.end

两阶段 RBFNN 训练 在 LVQ-1 训练阶段之前， RBFNN 按下述方式进行初 始化： ①通过将所有的权值  ji 设为训练集中所有输入的平 均值，完成对中心的初始化。 ②通过将所有的  j 设为训练集上所有输入值的标准 差，完成对权值的初始化。 ③将隐层到输出层的权值 w kj 初始化为小的随机值。 在 LVQ-I 迭代的末尾，重新计算基函数的宽度：对 于每一个隐层单元，计算  j 和将  j 作为获胜者的输 入模式之间的欧式距离的平均值，并将宽度  j 设置 为该平均值。

其中， C j 是与中心  j 距离最近的模式的集合。 ③将训练模式重新划分到其距离最近的中心。转第 步，直到中心不再显著变化。 K-means 聚类后，将宽度计算为： 两阶段 RBFNN 训练 在第一阶段中，也可以使用 K-means 来进行聚类。 采用 K-means 的初始化过程： ①将每一个  j 设置为一个随机的输入模式。 ②将训练模式划分到其最近的中心，重设中心为：

径向基函数网络的变体 两类变体，旨在改进 RBFNN 的性能 ①归一化隐层单元激励 ②软竞争

归一化隐层单元激励 Moody 和 Darken 提出，隐层单元激励应当使用下式 进行归一化： 这种归一化代表了隐层单元 j 生成 z p 的条件概率：

软竞争 用 K-means 聚类可以看做是胜者全得行为的硬竞争。 一个输入模式被划分到与其距离最近的  j 的模式聚类。 接下来，  j 的调整仅基于这样的一些模式，这些模式 将  j 选为获胜者。 在软竞争中，所有输入向量对所有聚类的调整都有 影响。对于每一个隐层单元，有：

小结 LVQ-II – 了解 LVQ-I 和 LVQ-II 的不同 径向基函数神经网络 – 了解 RBFNN 的特点和训练方法

作业 1. 给出除 LVQ-1 以外的另一种计算输入层到隐层的权 值的方法。