第14课时 一次函数(正比例函数)的图象与性质 第14课时 一次函数(正比例函数)的图象与性质

[小题热身] 1．[2015·广安]如图14－1，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解析式为 ( ) 图14－1 C

2．[2015·上海]下列y关于x的函数中，是正比例函数的为( ) 3．[2015·长沙]一次函数y＝－2x＋1的图象不经过 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．[2014·温州]一次函数y＝2x＋4的图象与y轴交点的坐标是 ( ) A．(0，－4) B．(0，4) C．(2，0) D．(－2，0) 5．小明的父母出去散步，从家走了20 min到一个离家900 m的报亭，母亲随即按原速度返回家．父亲在报亭看了10 min报纸后，用15 min返回家．则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系的图象分别是_______(只需填写序号)． B ④②

图14－2

[考点管理] 一、必知4 知识点 1．函数的有关概念 常量与变量：在一个过程中，固定________的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量． 函数的概念：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值y都有唯一确定的值，我们称x是自变量，y是x的函数． 函数的表示：①_______法；②________法；③_______法． 常见函数的自变量取值范围： 不变 解析 列表 图象

函数值：对于一个函数，如果当自变量x＝a时，因变量 y＝b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值． 函数的图象：(1)一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． (2)描点法画函数图象的一般步骤：①______；②______；③________． 列表 描点 连线

【智慧锦囊】 正确理解函数图象表示的意义．如图14－3，表示速度v与时间 t的函数图象中，①表示物体从0开始加速运动，②代表物体匀 速运动，③代表物体减速运动到停止．如图14－4：表示路程s 与时间t的函数图象中，①代表物体匀速运动，②代表物体停 止，③代表物体反向运动直至回到原地． 图14－3　　　　　图14－4

2．一次函数与正比例函数的概念 一般地，如果___________(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数，特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b变为__________(k为常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数． y＝kx＋b y＝kx 直线 (1，k)

一次函数的性质： 函数 常数取值 大致图象 经过的象限 函数性质 y＝kx (k≠0) k>0 ________ y随x增大而增大 k<0 y随x增大而减小 一、三 二、四

y＝kx＋b (k≠0) k>0 b>0 ____________ y随x增大而增大 k>0 b<0 k<0 b>0 y随x增大而减小 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四

4. 一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式(组) 一次函数的值为0时，相应的自变量的值为方程的根，一次函数值大于(或者小于)0，相应的自变量的值为不等式的解集． 【智慧锦囊】 两直线的交点坐标及一次函数的图象与坐标轴围成的三角 形面积问题： (1)一次函数与x轴交点坐标：设y＝0，求出对应的x值； (2)一次函数与y轴交点坐标：设x＝0，求出对应的y值；

二、必会2 方法 1．一次函数的平移方法 一次函数y＝kx＋b可由正比例函数y＝kx平移得到．b>0，上移b个单位；b<0，下移|b|个单位．

三、必明3 易错点 1．常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是：在“一个过程中”同一个量在不同的变化过程中可以是常量，也可以是变量，这要根据问题的条件来确定； 2．正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数； 3．因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．

类型之一 函数的概念及函数的图象 [2014·德州]图14－5中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是 ( ) A．体育场离张强家2.5 km B．张强在体育场锻炼了15 min C．体育场离早餐店4 km D．张强从早餐店回家的平均速度约为3 km/h C

图14－5 【解析】 A．由函数图象可知，体育场离张强家2 图14－5 【解析】 A．由函数图象可知，体育场离张强家2.5 km， 正确； B．由图象可得出张强在体育场锻炼30－15＝15 min，正确； C．体育场离张强家2.5 km，体育场离早餐店2.5－1.5＝ 1 km，错误；

【点悟】 观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义， 然后分析图象的变化趋势，结合实际问题的意义进行判断．注 意当自变量在不同取值范围内所对应的函数并非同一个一次函 数时，其图象为折线．

1．[2015·菏泽]小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是 ( ) 【解析】 由开始以正常速度匀速行驶——停下修车——加快速度匀驶，可得s先缓慢减小，再不变，再快速减小． D

2．[2015·台州]图14－6①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y(m)与旋转时间x(min)之间的关系如图14－6②所示． (1)根据图2填表： (2)变量y是x的函数吗？为什么？ 3 6 8 12 … y(m) 5 70 54

(3)根据图中的信息，请写出摩天轮的直径． ① ② 图14－6

解：(2)是函数．由图象可知，变量y随着x的变化而变化，同时对于每一个x，都有唯一的变量y与之相对应，符合函数的定义； (3)d＝70－5＝65(m)．

类型之二 一次函数的平移 已知一次函数y＝kx＋b的图象是过A(0，－4)， B(2，－3)两点的一条直线． (1)求直线AB的解析式； (2)将直线AB向左平移6个单位，求平移后的直线的解析式． (3)将直线AB向上平移6个单位，求原点到平移后的直线的距离．

【点悟】　直线y＝kx＋b(k≠0)在平移过程中k值不变．平移规律是若向上(或向下)平移，则直接在常数b后加上或减去平移的单位数；若向左(或向右)平移m个单位，则直线y＝kx＋b(k≠0)变为y＝k(x±m)＋b.其口诀是上加下减，左加右减．

1．[2015·滨州]把直线y＝－x－1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为____________ 1．[2015·滨州]把直线y＝－x－1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为____________. 【解析】 把直线y＝－x－1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为y＝－(x－2)－1，即y＝－x＋1. y＝－x＋1

2．[2016·中考预测]将直线y＝2x－1向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到的直线为 ( ) A．y＝2x＋3 B．y＝2x＋1 C．y＝2x－1 D．y＝2x－3 【解析】 将直线y＝2x－1向上平移2个单位得到的解析式为y＝2x－1＋2，即y＝2x＋1； 再向右平移1个单位得到的解析式为y＝2(x－1)＋1， 即y＝2x－1. C

3．把直线y＝－x＋3向上平移m个单位后，与直线y＝2x＋4的交点在第一象限，则m的取值范围是 ( ) A．1<m<7 B．3<m<4 C．m>1 D．m<4

类型之三 求一次函数的解析式 [2015·湖州]已知y是x的一次函数，当x＝3时，y＝1；当x＝－2时，y＝－4.求这个一次函数的解析式．

如图14－7，直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，－2)． (1)求直线AB的解析式； (2)若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标． 图14－7

类型之四 一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式(组) [2014·孝感]如图14－8，直线y＝－x＋ m与y＝nx＋4n(n≠0)的交点的横坐标为－2， 则关于x的不等式－x＋m>nx＋4n>0的整数 解为 ( ) A．－1 B．－5 C．－4 D．－3 【解析】 满足不等式－x＋m＞nx＋4n＞0就是直线y＝－x＋m位于直线y＝nx＋4n的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可． ∵直线y＝－x＋m与y＝nx＋4n(n≠0)的交点的横坐标为－2， D 图14－8

∴关于x的不等式－x＋m＞nx＋4n的解集为x＜－2， 又∵y＝nx＋4n>0的解集是x>－4， ∴关于x的不等式－x＋m＞nx＋4n＞0的解集是－4<x<－2， 整数解为－3. 【点悟】 (1)两条直线的交点坐标是两条直线解析式组成的二 元一次方程组的解．(2)根据两条直线的交点的左右两侧哪个图 象在上方或哪个图象在下方来确定不等式的解集．

1．两条直线l1：y＝2x－1，l2：y＝x＋1的交点坐标为 ( ) A．(－2，3) B．(2，－3) C．(－2，－3) D．(2，3) 2．[2015·济南]如图14－9，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P(1，3)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是 ( ) A．x＞－2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1 D C

图14－9 【解析】 当x＞1时，x＋b＞kx＋4，即不等式x＋b＞kx＋4的解集为x＞1.

3．[2015·武汉]已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点(1，4)． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求关于x的不等式kx＋3≤6的解集． 解：(1)∵一次函数y＝kx＋3的图象经过点(1，4)， ∴4＝k＋3， ∴k＝1， ∴这个一次函数的解析式是y＝x＋3； (2)∵k＝1， ∴x＋3≤6， ∴x≤3， 即关于x的不等式kx＋3≤6的解集是x≤3.

一次函数平移方向弄反 (枣庄中考)将直线y＝2x向右平移1个单位后所 得图象对应的函数解析式为 ( ) A．y＝2x－1 B．y＝2x－2 C．y＝2x＋1 D．y＝2x＋2 【错解】A或C或D

【错因】一次函数平移规律：左加右减，上加下减．在平移过程中，常常把方向弄错了．A把y＝2x向下平移1个单位，C把y＝2x向上平移1个单位，D把y＝2x向左平移1个单位． 【正解】B