专题一 集合与常用逻辑用语、不等式

第 2讲 不等式与线性规划 主 干 知 识 梳 理 热 点 分 类 突 破 真 题 与 押 题

2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题. 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题. 2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题. 考 情 解 读

主干知识梳理 1.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.

(2)简单分式不等式的解法 ①变形⇒ >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； ②变形⇒ ≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a>1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)； ②当0<a<1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x).

(4)简单对数不等式的解法 ①当a>1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0； ②当0<a<1时，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)<g(x)且f(x)>0，g(x)>0.

2.五个重要不等式 (1)|a|≥0，a2≥0(a∈R). (2)a2＋b2≥2ab(a、b∈R).

3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等. (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定最优解；③求出目标函数的最大值或者最小值.

4.两个常用结论 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是

热点分类突破 热点一 一元二次不等式的解法 热点二 基本不等式的应用 热点三 简单的线性规划问题

例1 (1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为 ，则f(10x)>0的解集为( ) 热点一 一元二次不等式的解法 例1　(1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为 ，则f(10x)>0的解集为(　　) A.{x|x<－1或x>－lg 2} B.{x|－1<x<－lg 2} C.{x|x>－lg 2} D.{x|x<－lg 2} D 思维启迪 利用换元思想，设10x＝t，先解f(t)>0.

(2)已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)>0的解集为( ) A.{x|x>2或x<－2} B.{x|－2<x<2} C.{x|x<0或x>4} D.{x|0<x<4} 思维启迪 利用f(x)是偶函数求b，再解f(2－x)>0.

解析　由题意可知f(－x)＝f(x). 即(－x－2)(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，(2a－b)x＝0恒成立， 故2a－b＝0，即b＝2a，则f(x)＝a(x－2)(x＋2). 又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a>0. f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4. 故选C. 答案　C

二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法. 维 升 华

所以不等式的解集为(－ ，1]，选A. A 解析 原不等式等价于(x－1)(2x＋1)<0或x－1＝0，

C （2）已知p：∃x0∈R，mx ＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.[－2,0) C.(－2,0) D.[0,2] C 解析　p∧q为真命题，等价于p，q均为真命题. 命题p为真时，m<0； 命题q为真时，Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2. 故p∧q为真时，－2<m<0.

热点二 基本不等式的应用 例2　(1)(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝

①如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时； 思维启迪 把所给l值代入，分子分母同除以v，构造基本不等式的形式求最值；

当且仅当v＝11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时.

当且仅当v＝10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时.比①中的最大车流量增加100 辆/时. 答案　①1 900　②100

思维启迪 关键是寻找 取得最大值时的条件.

解析　由已知得z＝x2－3xy＋4y2， (*) 当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2， 答案　B

在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 思 维 升 华

变式训练2 (1)若点A(m，n)在第一象限，且在直线 ＝1上，则mn的最大值为________. 解析　因为点A(m，n)在第一象限，且在直线 ＝1上，

所以mn的最大值为3. 答案　3

答案　B

热点三 简单的线性规划问题 例3　(2013·湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为(　　) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元 D.38 400元 思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题.

解析　设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元， 画出可行域如图

所以zmin＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元. 答案　C

(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围. (2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解. (3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数. 思 维 升 华

变式训练 3

解析　画出可行域，如图所示. w＝ 表示可行域内的点(x，y) 与定点P(0，－1)连线的斜率， 观察图形可知PA的斜率最小为＝ 1， 故选D. 答案　D

解析　当m≥0时，若平面区域存在， 则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m<0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示 的平面区域.

答案　C

本讲规律总结 1.几类不等式的解法 一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组)来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化.

2.基本不等式的作用 二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题.解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件.利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可.

3.线性规划问题的基本步骤 (1)定域——画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应； (2)平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义； (3)求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值.

真题与押题 真题感悟 押题精练

真题感悟 1 2

真题感悟 1 2 解析　因为0<a<1，ax<ay，所以x>y.采用赋值法判断，A中，当x＝1，y＝0时， <1，A不成立. B中，当x＝0，y＝－1时，ln 1<ln 2，B不成立. C中，当x＝0，y＝－π时，sin x＝sin y＝0，C不成立. D中，因为函数y＝x3在R上是增函数，故选D. 答案　D

真题感悟 1 2

真题感悟 1 2 解析　画可行域如图所示， 设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax ＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>0，

真题感悟 1 2

押题精练 1 2

押题精练 1 2

所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大， 故选A. 答案 A 押题精练 1 2 所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大， 故选A. 答案　A

押题精练 1 2

押题精练 1 2 如图画出不等式组所表示的可行域，

押题精练 1 2 答案　6