专题25 椭圆、双曲线、抛物线

椭圆、双曲线、抛物线 主 干 知 识 梳 理 热 点 分 类 突 破 真 题 与 押 题

1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题. 2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大． 考 情 解 读

|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M 主干知识梳理 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a (2a＞|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a (2a＜|F1F2|) |PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M

标准方程 ＝1 (a＞b＞0) (a＞0，b＞0) y2＝2px (p＞0) 图形

几何性质 (1) 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0 顶点 (±a,0)(0，±b) (±a,0) (0,0) 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 焦点 (±c,0) ( ，0)

几何性质 (2) 轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b   离心率 e＝1

几何性质 (3) 准线   渐近线

热点分类突破 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 热点二 圆锥曲线的几何性质 热点三 直线与圆锥曲线

热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 思维启迪 △PF1F2中利用余弦定理求∠F1PF2；

解析　由题意得a＝3，c＝ ，所以|PF1|＝2. 在△F2PF1中， 又因为cos∠F2PF1∈(0°，180°)， 所以∠F2PF1＝120°. 答案　C

(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点与双曲线x2－y2＝－ 的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P到x轴的距离为m，P到直线l：2x－y－4＝0的距离为n，则m＋n的最小值为________. 思维启迪 根据抛物线定义得m＝|PF|－1.再利用数形结合求最值.

解析　易知x2＝2py(p>0)的焦点为F(0,1)，故p＝2， 因此抛物线方程为x2＝4y. 根据抛物线的定义可知m＝|PF|－1， 设|PH|＝n(H为点P到直线l所作垂线的垂足)， 因此m＋n＝|PF|－1＋|PH|. 易知当F，P，H三点共线时m＋n最小，

(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化. (2)注意数形结合，画出合理草图. 思 维 升 华

变式训练1

∴a＝2b.∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2. ∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，

答案　D

(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于 点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛 物线的方程为(　　) A.y2＝9x B.y2＝6x C.y2＝3x D.y2＝ x

解析　如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1， BB1⊥l于B1， 由抛物线的定义知， |AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30°，∴∠A1AF＝60°. 连接A1F，则△A1AF为等边三角形，

过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点， ∴抛物线方程为y2＝3x，故选C. 答案　C

热点二 圆锥曲线的几何性质 思维启迪 在△F1F2P中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；

解析　设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，且不妨设m>n， 由m＋n＝2a1，m－n＝2a2得m＝a1＋a2，n＝a1－a2. 答案　C

思维启迪 可设点P坐标为( ，y)，考察y存在的条件.

但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2>0，

当 不存在时，b2－2c2＝0，y＝0， 答案　D

解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式.建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 思 维 升 华

变式训练2

∴AC⊥OF，∴AO＝AF， 又∠OAF＝90°，∴∠AOF＝45°， 即双曲线的渐近线的倾斜角为45°， 答案　C

答案　A

热点三 直线与圆锥曲线 思维启迪 根据 和点B在椭圆上列关于a、b的方程； (1)求椭圆的离心率；

解　∵A(－a,0)，设直线方程为y＝2(x＋a)，B(x1，y1)， 令x＝0，则y＝2a，∴C(0,2a)，

(2)设动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q，若x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM⊥QM，求椭圆的方程. 思维启迪 联立直线y＝kx＋m与椭圆方程，利用Δ＝0， ＝0求解.

∴椭圆的方程为3x2＋4y2－12t＝0， 得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12t＝0， ∵动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，

∴Δ＝0，即64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12t)＝0， 整理得m2＝3t＋4k2t，

又M(1,0)，Q(4,4k＋m)， ∵x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM⊥QM， 整理得3＋4k2＝m2. ∴3＋4k2＝3t＋4k2t恒成立，故t＝1.

待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解. 维 升 华

变式训练3

(1)求椭圆C的方程； 解　因为焦距为2，所以a2－b2＝1.

当直线AB不垂直于x轴时，

则－1＋4mk＝0，故4mk＝1. 此时，直线PQ的斜率为k1＝－4m， 即y＝－4mx－m.

整理得(32m2＋1)x2＋16m2x＋2m2－2＝0. 设P(x3，y3)，Q(x4，y4)

＝(4m2－1)(x3＋x4)＋(16m2＋1)x3x4＋m2＋1

本讲规律总结 1.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础. 2.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A、B是不等的常数，A>B>0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B>A>0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB<0时表示双曲线.

真题与押题 真题感悟 押题精练

真题感悟 1 2

解析 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，|F1F2|＝2c， 真题感悟 1 2 解析　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，|F1F2|＝2c， 椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，

真题感悟 1 2 答案　A

真题感悟 1 2 2.(2014·辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)

解析 抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－ ，而点A(－2,3)在准线上， 真题感悟 1 2 解析　抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－ ，而点A(－2,3)在准线上， 所以－ ＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0). 设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x 得 y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)①，

将k＝ 代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8， 真题感悟 1 2 由于Δ＝1－4× (2k＋3)＝0， 所以k＝－2或k＝ . 因为切点在第一象限，所以k＝ . 将k＝ 代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8， 所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为 . 答案　D

押题精练 1 2

押题精练 1 2 解析　如图所示， 设双曲线的右焦点为H，连接PH， 由双曲线的性质，可知O为FH的中点，

由双曲线的定义，可知|PF|－|PH|＝2a(P在双曲线的右支上)， 押题精练 1 2 由双曲线的定义，可知|PF|－|PH|＝2a(P在双曲线的右支上)， 因为直线l与圆相切，所以PF⊥OE. 又OE∥PH，所以PF⊥PH.

在△PFH中，|FH|2＝|PH|2＋|PF|2， 押题精练 1 2 在△PFH中，|FH|2＝|PH|2＋|PF|2，

押题精练 1 2

押题精练 1 2 解　设点P的坐标为(x0，y0)，y0≠0.

证明 方法一 依题意，直线OP的方程为y＝kx， 押题精练 1 2 证明　方法一　依题意，直线OP的方程为y＝kx， 由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，

又a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4， 押题精练 1 2 又a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4，

方法二 依题意，直线OP的方程为y＝kx， 可设点P的坐标为(x0，kx0). 押题精练 1 2 方法二　依题意，直线OP的方程为y＝kx， 可设点P的坐标为(x0，kx0). 因为a>b>0，kx0≠0，

押题精练 1 2