第五章 股指期货、外汇远期、 利率远期与利率期货

目录 股票指数期货 外汇远期 远期利率协议 利率期货 利率风险管理

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股票指数期货概述 I 股票指数 运用统计学中的指数方法编制而成的、反映股市中 总体股价或某类股票价格变动和走势情况的一种相 对指标。 股指期货 以股票指数作为标的资产的股票指数期货，交易双 方约定在将来某一特定时间交收“一定点数的股价 指数”的标准化期货合约。

股票指数期货概述 II 特殊性质 现金结算而非实物交割 合约规模非固定 股指期货价格 × 每个指数点所代表的金额

股指期货定价 一般公式 例外：在 CME 交易的以美元标价的日经 225 指数期货（乘数为5） 以买现货卖期货套利为例

股指期货应用 指数套利（ Index Arbitrage ） 套期保值 “程序交易”（ Program Trading ） 管理系统性风险 多为交叉套期保值

最小方差套期保值比率 I 一元线性回归方程 CAPM Beta 系数 最小方差套期保值份数

最小方差套期保值比率 II 如果 则 投资组合与市场指数 𝑟 𝑀 之间的 β 系数等于投资 组合与股指期货之间的 β 投资组合与市场指数 𝑟 𝑀 之间的 β 系数等于投资 组合与股指期货之间的 β 我们使用的 β 系数等于套期保值期间真实的 β 系数 则 β 的确是股指期货最小方差套期保值比率的一个 良好近似。

案例 5.1 ：沪深300股指期货套期保值 I 假设某投资经理管理着一个总价值为 40 000 000 元的多样化股票投资组合并长期看好该组 合，该组合相对于沪深300指数的 β 系数为 1.22 。2012年 3月 14日，该投资经理认为短期 内大盘有下跌的风险，可能会使投资组合遭受 损失，决定进行套期保值。

案例 5.1 ：沪深300股指期货套期保值 II 假定用 2012年 4 月到期的 沪深300 股指期货 来为该投资组合未来一个月的价值变动进行套 期保值。2012 年 3 月 14 日该股指期货价格为 2627 点。 如果运用最小方差套期保值比率并以该投资组 合的 β 系数作为近似，需要卖出的期货合约数 目应等于

股票头寸与短期国库券头寸 股票头寸 ⇐⇒ 短期国库券头寸 构造短期国库券多头等价于将系统性风险降 为零。 股票多头 + 股指期货空头 = 短期国库券多头 股票多头 = 短期国库券多头 + 股指期货多头 构造短期国库券多头等价于将系统性风险降 为零。

调整投资组合的系统性风险暴露 利用股指期货，根据自身的预期和特定的需求 改变股票投资组合的 β 系数为 β* ，从而调整 股票组合的系统性风险与预期收益。 套期保值比率为 𝛽 ∗ −𝛽 套期保值份数为 𝛽 ∗ −𝛽 𝑉 𝐻 𝑉 𝐺 当 β 非股指期货最小方差套期保值比率的良好近似 时套期保值份数为 𝛽 ∗ −𝛽 𝛽 𝑏 𝑉 𝐻 𝑉 𝐺

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FXA 的定价 FXA 的远期价值与远期汇率 利率平价关系： 若 𝑟 𝑓 >𝑟, 外汇远期贴水； 若 𝑟 𝑓 <𝑟 , 外汇远期升水。

理解 ERA 合约本质 交割方式 当前约定未来某个时点的远期升贴水幅度，是远期的 远期。从实物交割的角度来看，也可以理解成远期掉 期。 现金结算

ERA 的定价：实物交割 I ERA 实物交割的现金流（甲方） 甲方的合约价值为 T 时刻： A 单位外币减AK 单位本币 T* 时刻：AK* 单位本币减A单位外币 甲方的合约价值为

ERA 的定价：实物交割 II 远期汇率就是令合约价值为零的协议价格（分 别为 K 和 K* ），因此理论远期汇率为 将 F 和 F* 代入 ERA 价值公式可得甲方的ERA 价值为

ERA 的定价：现金结算 ERA 约定的是未来 T 到 T* 时刻的远期升贴水WK。 买卖双方在T时刻用本币按照 真实升贴水幅度W与WK 的差异结算外币升贴水变化带来的损益。 在任意时刻，合理的升贴水幅度为WF=F*-F 对于甲方而言， 任意t时刻ERA的价值为 对于甲方而言，到期T时刻的结算盈亏为

案例 5.2 ： ERA 定价 I 2007 年 10 月 10 日，伦敦银行同业拆借 3 个 月期美元利率为 5.2475% ，1 年期美元利率为 5.0887% ，3 个月期日元利率为 1.0075% ，1 年期日元利率为 1.1487% 。 同时，美元对日元的即期汇率为 0.0085 美元/ 日元。本金 1 亿日元的 3 个月 ×1 年 ERA 的 3 个月合同远期汇率为 0.008615 美元/日元，1 年合同远期汇率为 0.008865 美元/日元。 请问该合约理论上的远期汇率、远期差价和远 期价值等于多少？

案例 5.2 ： ERA 定价 II 3 个月期理论远期汇率为 1 年期理论远期汇率为 3 个月 ×1 年理论远期差价为

案例 5.2 ： ERA 定价 III 根据公式（ 5.9），对于合约甲方而言，该 ERA 价值为：

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利率远期与期货 远期：FRA 期货： 存款：欧洲美元期货（短期） 国库券：美国 13 周国库券期货（短期） 国债：美国 30 年国债期货（长期）

远期利率协议（ Forward Rate Agreement ） 远期利率协议（ FRA ）是买卖双方同意从未 来某一商定的时刻开始的一定时期内按协议利 率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的名义 本金的协议。 案例 5.3 （ P83 ）

FRA 特征 在 T 时刻进行现金结算，结算金额为利差的贴 现值。 名义本金 头寸：Long / Short Long: Fixed-rate payer 报价： 3 × 9 LIBOR 7.86

FRA 的定价：远期利率 远期利率（如何进行套利操作？） 期限结构与远期利率

FRA 定价：FRA 的价值 I 考虑时刻 t 的两个远期利率协议，它们的名义 本金均为 A ，约定的未来期限均为 T* − T ， 第一个 FRA 的协议利率采用市场远期利率 rF ，第二个 FRA 的协议利率为 rK 。 t 时刻第二个 FRA 与第一个 FRA 的价值差异 就是 T*时刻不同利息支付的现值

FRA 定价：FRA 的价值 II 由于第一个 FRA 中的协议利率为理论远期利 率，其远期价值应为零。则第二个 FRA 多头 的价值 该公式适合于任何协议利率为 rK 的远期利率 协议价值的计算。

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利率期货交易市场 The International Money Market of the Chicago Mercantile Exchange (www.cme.com) The Sydney Futures Exchange The Toronto Futures Exchange The Montréal Stock Exchange The London International Financial Futures Exchange (www.liffe.com) The Tokyo International Financial Futures Exchange Le Marché à Terme International de France (www.matif.fr) Eurex (www.eurexchange.com)

利率远期与利率期货 I 第一，远期利率协议报出的是远期利率，而 利率期货所报出的通常并非期货利率，而是 与期货利率反向变动的特定价格，期货利率 隐含在报价中。 第二，由于上述区别，利率期货结算金额为 协议价与市场结算价之差，远期利率的结算 金额则为利差的贴现值。 第三，利率期货存在每日盯市结算与保证金 要求，加上结算金额计算方式的不同，决定 了远期利率与期货利率的差异。

利率远期与利率期货 II 第四，远期利率协议中的多头是规避利率上升 风险的一方，而利率期货的多头则是规避期货 价格上升风险，即规避利率下跌风险的一方。 第五，远期利率协议通常采用现金结算，而利 率期货可能需要实物交割，期货交易所通常规 定多种符合标准的不同证券均可用以交割，使 得利率期货相对复杂。

3 个月欧洲美元期货概述 标的资产为自期货到期日起 3 个月的欧洲美元 定期存款 约定 3 个月期欧洲美元存款利率 在 CME 集团交易，短期利率期货中交易最活 跃的品种

欧洲美元期货合约条款

欧洲美元期货报价

欧洲美元期货报价 IMM 指数： Q = 100 × (1 − 期货利率) 期货利率含义与远期利率类似 期货利率为1年以360天计的1年计4次复利的年利率 期货利率的1个基点等于Q的0.01 Q变动=期货利率变动 ×100，方向相反 规避利率上升风险：卖出欧洲美元期货/规避 利率下跌风险：买入欧洲美元期货 合约价格： 10, 000 × (100 − 0.25 × (100 − Q))

欧洲美元期货结算 每个基点（ 0.01% ）变动的价值，即基点价格 值（BPV或DV01） 到期现货价 到期多头盈亏

Example 2011 年 9 月 19 日 EDU11 到期时，3 个月期美 元LIBOR 年利率为 0.25% ，相应地 EDU11 最 后结算价为 99.75 。 如果忽略持有期间的盯市结算与保证金要求， 一个于2011年 9 月 6 日以 99.62 买入 EDU11 的交易者在该笔交易上盈利： (99.75 − 99.62) × 100 × 25 = 325 美元

远期利率与期货利率 欧洲美元期货合约与远期利率协议都锁定了未 来一定期限的利率。 1 年以下的到期期限， 期货利率 ≈ 远期利率 长期：差异不能忽略 一次性到期/每日盯市结算和保证金：远期利率较低 盈亏结算时贴现/无贴现：远期利率较低

国债期货 约定期货到期时的债券价格 标的资产在期货存续期内可能支付现金利息 可交割券 净价/全价

中国5年期国债期货 项目 内容 合约标的 面值为100万元人民币，票面利率为3%的名义中期国债 可交割国债 在合约到期月首日剩余期限为4-7年的记账式附息国债 报价方式 百元净价报价 最小变动价位 0.002元 合约月份 最近的三个季月（三、六、九、十二季月循环） 交易时间 9:15-11:30，13:00-15:15；最后交易日：9:15-11:30 每日价格最大波动限制 上一交易日结算价的±2 % 最低交易保证金 合约价值的2% 当日结算价 最后一小时成交价格按成交量加权平均价 最后交易日 合约到期月份的第二个星期五 交割方式 实物交割 最后交割日 最后交易日后第三个交易日 合约代码 TF

债券的报价 报价时通常报出面值每100元的价格 债券报价时使用的是净价而非全价 应计利息：上一个付息日以来的利息（按比例 计算） 不同市场的最小报价单位往往不同 债券报价时使用的是净价而非全价 全价（full price）：现金价格（cash price）或发票 价格（invoice price） 净价（clean price）则等于全价减去应计利息（ accrued interest），避免报价不连续 应计利息：上一个付息日以来的利息（按比例 计算）

案例 ：附息债的全价与报价 I 2014 年 9 月 16 日，将于 2020 年 10月 17 日到 期、息票率为 4.07%、一年支付一次利息的国 债 A 报价为 98.8元。可以判断，该债券上一 次付息日为 2013 年 10月 17 日，下一次付息 日为 2014 年 10 月 17日。

由于 2013 年 10 月 17日到 2014 年 9月 16 日之 间的天数为 334天，2013 年 10 月 17日到 2014 年 10 月 17日之间的天数为 365 天，因此 2014 年 9 月 16 日，该债券每100 元面值的应计利 息等于 因此该国债的现金价格为

可交割券

标准券 标准券：面值为 100万，息票率为 3% ，在交 割月第一天时的剩余到期期限为 5 年整的虚拟 债券，是其他实际可交割债券价值的衡量标准

转换因子 每1元面值的可交割债券的未来现金流按 3% 的年到期收益率贴现到交割月第一天的价值， 再扣掉该债券每1元面值应计利息后的余额 每1元面值的可交割债券的未来现金流按 3% 的年到期收益率贴现到交割月第一天的价值， 再扣掉该债券每1元面值应计利息后的余额 时间调整（只算月份之差） 净价 交易所公布

转换因子的计算公式 其中， r表示国债期货标准合约利率，目前定为3% x表示交割月距离下一个付息月的月份数（当交割月是付息 月时，x=6或12，取决于交割券是一年付2次还是1次息） n表示剩余付息次数 c表示可交割券的票面利率 f表示可交割券每年的付息次数 计算结果四舍五入至小数点后4位。

案例：转换因子的计算 I 2014 年 12 月，代码为 TF1412的中期国债期货 到期。前述债券 A 在 2014 年 12 月 1日的剩余 期限在4－7年之间，且不存在暂停转托管现 象，因而是该国债期货的可交割债券。 根据计算规则，债券 A 在 2014 年 12 月的剩 余期限近似为 5年 10个月。

转换因子的计算 II 面值每 1 元的债券A未来现金流按 3% 到期收益率 贴现至 2014 年 12 月 的价值为 转换因子等于该现值减去应计利息，根据计算规 则，该债券有 2个月的应计利息。因此对于 TF1412而言，债券A的转换因子等于 0 5 4.07% 1.03 𝑖 + 1 1.03 5 1.03 10 12 =1.0632

TF1412的可交割券与转换因子 序号 国债代码 票面利率（%） 到期日期 转换因子 1 050012 3.65 20201115 1.0350 2 060019 3.27 20211115 1.0167 3 090003 3.05 20190312 1.0020 4 090007 3.02 20190507 1.0008 5 090016 3.48 20190723 1.0204 6 090023 3.44 20190917 1.0193 7 090027 3.68 20191105 1.0309 8 100002 3.43 20200204 9 100007 3.36 20200325 1.0173 10 100012 3.25 20200513 1.0124 11 100024 3.28 20200805 1.0145 12 100031 3.29 20200916 1.0152 13 100034 3.67 20201028 1.0356 14 110002 3.94 20210120 1.0519 15 110008 3.83 20210317 1.0469 16 110019 3.93 20210818 1.0558 17 110024 3.57 20211117 1.0353 18 120005 3.41 20190308 1.0160 19 120010 3.14 20190607 1.0057 20 120016 20190906 1.0108 21 130003 3.42 20200124 1.0195 22 130008 20200418 1.0140 23 130015 3.46 20200711 1.0232 24 130020 4.07 20201017 1.0564 25 140001 4.47 20190107 1.0557 26 140003 4.44 20210116 1.0789 27 140006 4.33 20210403 1.0755 28 140008 4.04 20190424 1.0415 29 140013 4.02 20210703 1.0600

国债期货现金价格的计算 期货空方交割 100 元面值的特定债券应收到的 现金为： 期货报价 × 交割券CF+ 交割券（在交割时的真实）应计利息

案例 ：国债期货现金价格的计算 I 2014 年 12 月 12日，假设TF1412结算价为 95.10元，某空方决定用债券A进行交割。根据 规定，应计利息应计算至配对缴款日（2014年 12月16日），则一份 TF1412的实际现金价格 应为

案例 ：国债期货现金价格的计算 II 配对缴款日 2014 年 12 月 16 日距上一付息日 2014 年 10 月17 日的实际天数为 60 天，前后 两次付息之间的实际天数为 365 天。因此 2014年 12 月 16 日，债券 A 每 100 元面值的 应计利息等于 因此，空方交割债券 A 可得到的实际现金收 入应为

中金所国债期货应计利息的计算 应计利息的计数基准为“实际天数/实际天数” ，每100元可交割国债的应计利息计算公式为 计算结果四舍五入到小数点后7位（以便实际收 入四舍五入到小数点后2位）

转换因子的不足 理想的转换因子应是两种债券的真实价格之比 ，才能保证转换之后所有可交割券之间完全平 等 由于转换因子诸多假设，天然导致不同债券之 间并非完美公平转换——相对合算和不合算 作为有选择权的卖方，会选哪个券交割？

确定最便宜可交割券（CTD) 最便宜可交割券：购买交割券所付的价格与交 割期货时空方收到的现金之差最小的债券。 交割日：交割成本最小 = 债券报价 + 应计利息 − (期货报价 × 转换因子+ 应计利息) = 债券报价 − (期货报价 × 转换因子)

确定最便宜可交割券（CTD券） 交割日之前，IRR最高 隐含回购利率（Implied Repo Rate，IRR） 无付息情形 支付现货全价 今天 交易日t 未来 交割日T 收到期货全价

确定最便宜可交割券（CTD券） 付息情形

经验法则 从现货角度分析，现货价/CF 较小的

当到期收益率低于3%时， 低久期债券便宜 当到期收益率高于3%时， 高久期债券便宜 3% YTM 100

CTD券的经验法则 经验法则2：两个久期相同的债券 经验法则1：两个YTM相同的债券 YTM>3%，久期越大，越可能成为CTD

国债期货价格的确定 假定CTD券和交割日期已知，不考虑择券期权： 根据CTD券现货净价，算出现货全价。 除以转换因子，即为标准券期货净价（期货报价）。

案例：国债期货定价I 延续前述案例 ，2014 年 9 月 16 日，某空 方投资者判断TF1412的CTD券是债券A，并拟 于12月16日配对缴款。市场上3个月和1个月的 无风险利率分别为4.62%和4.23%（连续复利）， 试求出2014年9月16日TF1412的理论报价。

案例：国债期货定价II 计算CTD券的全价： 已计算得知为102.5243 计算CTD券期货全价 𝐼=4.07 𝑒 −4.23%× 31 365 =4.0554 𝐹= 102.5243−4.0554 𝑒 4.62%× 91 365 =99.6097 计算CTD券期货净价 99.6097－0.66904＝98.9406 计算理论标准券净价（期货报价） 98.9406 1.0564 =93.658元 当天真实市场收盘价为93.58 元

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资产价值的利率风险 资产价值的利率风险

久期（Duration） 久期：资产价值变动的百分比对到期收益率变 动的一阶敏感性 久期一般为正。 久期反映了资产价值利率风险的主要部分。 久期越大，资产的利率风险越大；反之则越小。

货币久期 货币久期（Dollar Duration）：到期收益率变 动引起的价值变动金额

有效久期与基点价格值 定价模型复杂的资产的久期公式 基点价格值(DV01或BPV），近似1个基点的货 币久期

麦考利久期与修正久期（Modified Duration） 不含权债券价格关于 y 求导：

利率远期和利率期货的久期 I 利率远期和利率期货的久期取决于其标的资 产的久期和远期（期货）本身价值变化的计 算方式。 国债期货的久期 基于交割券期货现金价格的久期（假设dy=dr)

国债期货久期：经验法则I 经验法则1 经验法则2 注意： 国债期货的BPV等于CTD券的BPV除以其CF 国债期货的久期等于CTD券的久期 此为国债期货市场报价Q的久期与BPV

国债期货久期：经验法则II 经验法则在最后交易日相对准确 F=S，F为CTD券期货全价 经验法则1 经验法则2

基于久期的利率套期保值 I 由于利率敏感性资产价格与利率存在非线性关 系，无法进行静态套保，只能进行动态套保。 最优的利率风险套期保值比率 n 是使得套期保 值组合的价值变动对利率的敏感性为零的套期 保值比率 n 实际上是使得套期保值组合的货币久期或 BPV为零的套期保值比率。

基于久期的利率套期保值 II 以现货多头和期货空头的空头套期保值组合为 例 最优套期保值数量 N

基于久期的利率套期保值 III 设投资组合的原始久期为 ，目标久期为 ，则需要交易的利率敏感性证券的份数为 设投资组合的原始久期为 ，目标久期为 ，则需要交易的利率敏感性证券的份数为 其中 是一份期货合约按标准券报价计算的 合约规模。 上式为负时，需要进行反向操作。

案例 ：基于久期的套期保值 I 假设一个手中管理着价值 1000 万元、久期为 6.8 的国债组合的基金经理非常担心利率在接 下来的一个月内波动剧烈，决定于 2014 年 9 月30日运用TF1412进行利率风险管理。当她进 入市场时，TF1412报价为 94.752元。

案例：基于久期的套期保值 II 2014年 9月 16日，该基金经理判断TF1412的 CTD券为前述债券A。其转换因子为 1.0564 ， 现货报价为99.9748 元。根据债券修正久期的 计算公式，该债券的修正久期为 5.28 ，故此 TF1412 的久期近似等于5.28

案例：基于久期的套期保值 III 套期保值数量为 因此，该基金经理应卖出 14份 TF1412 进行利 率风险管理，以实现久期为零。 由于久期会不断改变，该基金经理要不断调整 最优套保比率。

久期的局限性 久期有着天然的局限性： 久期仅仅是资产价格对利率的一阶敏感性，无法反 映和管理资产价格的全部利率风险，当利率变化较 大时这个缺陷尤其显著； 久期的定义建立在利率曲线发生平移，即所有期限 的利率变化幅度相等的假设基础之上，这是一个不 符合现实的假设。