第11章 恒定电流与真空中恒定磁场 背景图取之http://hiphotos.baidu.com/%B6%CF%C1%CB%5F%CF%DF/pic/item/4c9be3d93927dd1c33fa1cb2.jpg

第11章 恒定电流与真空中恒定磁场 作业： 11.7，11.8 11.17，11.18，11.19 11.25，11.26 重点例题： 第11章 恒定电流与真空中恒定磁场 作业： 11.7，11.8 11.17，11.18，11.19 11.25，11.26 重点例题： P61例1， P62例2 P70例3， P73例1，例2 P76例4 P86例5， P87例7

第11章 恒定电流与真空中恒定磁场 重点： 1.求磁感应强度B的两种方法： 2.求安培力F:(积分五步法）（11.25.11.26） 第11章 恒定电流与真空中恒定磁场 重点： 1.求磁感应强度B的两种方法： 2.求安培力F:(积分五步法）（11.25.11.26） 3.求磁通量m：（积分四步法）（11.17） 4.磁场的两大定理：（高斯定理和安培环路定理） 5.磁力矩、磁矩、磁力的功。（简单了解）

第11章 恒定电流与真空中恒定磁场 主要任务: 研究恒定电流在空间激发的场——恒定磁场(steady magnetic field)的规律. 第11章 恒定电流与真空中恒定磁场 主要任务: 研究恒定电流在空间激发的场——恒定磁场(steady magnetic field)的规律. §11.1 恒定电流和 恒定电场 电动势 1. 电流的种类: 11.1.1 形成电流的条件 (1)传导电流(conducing current) 自由电子(free electron) 携带电荷并形成电流的带电粒子, 统称为载流子(carrier). 金属内的载流子是电子. 正负离子(cation、anion) 电子-空穴(hole)对等 (2)运流电流(convection current) (3)位移电流(displacement current)

电流强度随时间而变化(例如交流电), 可用瞬时电流强度来表示, 即 (1) 有可以移动的电荷. (2) 有维持电荷作定向移动的电场. 2. 导体中形成电流的条件: 电流强度随时间而变化(例如交流电), 可用瞬时电流强度来表示, 即 (1) 有可以移动的电荷. (2) 有维持电荷作定向移动的电场. 3. 电流的定义 单位时间内通过导体任一截面的电量为电流强度(electric current strength). 单位: 安培(A) 在SI中, 规定电流强度为基本量, 1s内通过导体任一截面的电荷为1C的电流强度称为1A, 即 3. 电流的定义 单位时间内通过导体任一截面的电量为电流强度(electric current strength). S

2. 恒定电场(steady electric field): 3. 电流的定义 2. 恒定电场(steady electric field): ——维持恒定电流所需的电场, 其分布不随时间变化. 静电场与恒定电场比较 单位: 安培(A) 不同 相同 静电场 分布不随时间变化 导体内 11.1.2 恒定电流与恒定电场 一经建立不需能 量维持 高斯定理 有源性 环路定理 保守性 均适用 1. 恒定电流(steady current): ——电流分布不随时间变化 恒定电场 导体内 分布不变 其存在一定伴随能量转换

1.电流密度矢量(current density) 11.1.3 电流与电流密度 通过一个有限截面 S 的电流强度为 1.电流密度矢量(current density) 即: 电流强度是电流密度矢量通过 S 面的通量. 2. 电流密度与电流定向速度的关系 (1) 金属导电的经典解释: 电场中, 自由电子运动 = 热运动 + 定向加速运动 大小： 通过与该点 垂直的单位截面的电流. 金属导电的经典解释：电场中,自由电子除热运动外,叠加定向加速运动.频繁碰撞使加速运动间断进行， 其平均效果为定向匀速运动 —— 漂移运动. 频繁碰撞使加速运动间断进行, 其平均效果为定向匀速运动 —— 漂移运动(excursion motion). 方向： 与+q的漂移运动方向, 方向相同. 单位: 安米-2(Am-2)

3. 电流的连续性方程(continuity equation) (2) 电流密度与电流定向速度的关系 3. 电流的连续性方程(continuity equation) d (1) 电流线: 描述电流分布 —— 电流密度矢量线. 设电子数密度为n的电子以速率u漂移, 单位时间内通过截面dS的电流强度dI为 曲线上每一点的切线方向为 的方向, 曲线的疏密表示它的大小. 由 的空间点分布  场分布, 称之为电流场. 则电流密度的大小为 为反映导体中各点的电荷运动情况，引入电流密度矢量来描述 (2) 电流的连续性方程 在电流场中选一闭合曲面S, 单位时间内从S面内流出的电荷量为: 矢量式 或

(2) 电流的连续性方程 (3) 恒定电流 在电流场中选一闭合曲面S, 单位时间内从S面内流出的电荷量为: 当电荷分布不随时间变化(电场不变)时, 电流将达到稳恒. 设时间dt内S面内的电量的增量为dq, 则在单位时间内S面内的电量减少为: 说明: 在没有分支的恒定电路中, 通过各截面的电流必定相等; 而且恒定电路必定是闭合的. 恒定电流情况下的电荷分布(净电荷的宏观分布不随时间改变)所激发的恒定电场与静电场服从同样的基本规律. 据电荷守恒定律, 电流密度矢量的通量等于该面内电荷减少的速率: —— 电流连续性方程

~ + 11.1.5 电源及电源电动势 2.电源电动势(electromotive force): 11.1.5 电源及电源电动势 2.电源电动势(electromotive force): + － 把单位正电荷经电源内部从负极移到正极, 非静电力所作的功. 即,描述电源做功的本领的物理量. 连接导线 带正电导体 带负电导体 设电荷q在电源内受非静电力 则, 电源内部的非静电场为: - + + 非静电力做功，不断的将正电 荷从低电位移到高电位的装置 电源 电源电动势: 维持外电路两端的电势差 形成恒定电流 方向: 电源内部由负极指向正极. 1. 电源: 将其他形式的能转换为电能的装置. 对整个电路有: ~ 符号:

S N §11.2 恒定磁场和磁感应强度 11.2.1 磁性起源于电荷的运动 1. 磁铁的磁性(magnetism) 司南勺 §11.2 恒定磁场和磁感应强度 北宋 沈括发明“指南针(罗盘)” 11.2.1 磁性起源于电荷的运动 1. 磁铁的磁性(magnetism) 磁力(magnetic force)： 磁性: 能吸引铁、钴、镍等物质的性质. 磁极间存在相互作用, 同号相斥, 异号相吸. 磁极(pole): 磁性最强的区域, 分磁北极N和磁南极S. S N 两极不可分割, “磁单极”不存在. 地球是一个巨大的永磁体.

地球磁场 历史上，第一个提出地磁场理论概念的是英国人吉尔伯特。他在1600年提出一种论点，认为地球自身就是一个巨大的磁体，它的两极和地理两极相重合。这一理论确立了地磁场与地球的关系，指出地磁场的起因不应该在地球之外，而应在地球内部。 1893年，数学家高斯在他的著作《地磁力的绝对强度》中，从地磁成因于地球内部这一假设出发，创立了描绘地磁场的数学方法，从而使地磁场的测量和起源研究都可以用数学理论来表示。但这仅仅是一种形式上的理论，并没有从本质上阐明地磁场的起源。 地球存在磁场的原因还不为人所知，普遍认为是由地核内液态铁的流动引起的。最具代表性的假说是“发电机理论”。物理学家埃尔萨塞根据磁流体发电机的原理，认为当液态的外地核在最初的微弱磁场中运动，像磁流体发电机一样产生电流，电流的磁场又使原来的弱磁场增强，磁场增加到一定程度就稳定下来，形成了现在的地磁场。

磁极倒转 科学家们在对地磁场的研究中发现，地磁场是变化的，不仅强度不恒定，而且磁极也在发生变化，每隔一段时间就要发生一次磁极倒转现象。 地球地核除了内地核是固体（高压导致），其余部分是液体，为液态铁质。地磁场产生的猜想是“铁液循环流动产生电磁”，由于某些对流可能突发导致回路，回路衍生到地表产生反回路，最后导致整个磁场倒转。整个过程3万~100万年不等，地磁场首先完全混乱，然后经历1万年左右消退，接着在反方向增强 。 科学家们在对地磁场的研究中发现，地磁场是变化的，不仅强度不恒定，而且磁极也在发生变化，每隔一段时间就要发生一次磁极倒转现象。 早在二十世纪初，法国科学家布律内就发现，70万年前地磁场曾发生过倒转。1928年，日本科学家松山基范也得出了同样的研究结果。 通过对岩浆冷却磁化方向、洋底磁异常条带等证据的分析终于发现，在过去的7600万年间，地球曾发生过171次磁极倒转。距今最近的一次发生在70万年前，正如布律内所指出的那样。 据测定，地磁场发生倒转前有明显的预兆，地球的磁场强度减弱直至为零，随后，约需一万年的光景，磁场强度才缓缓恢复，但是，磁场方向却完全相反。目前，地球磁场强度有逐渐减弱的趋势，在过去的4000年中，北美洲的磁场强度已减弱了50%，这说明地核相对地壳的速度差正在缩小。

磁极倒转 自人类史来，从未发生过磁极倒转，但在近4000年，磁场正急剧变弱，强度损失一半。由此可见，地球现在已经进入磁场倒转前夕。 如果磁极倒转……会有一段时间，地球完全没有磁场。大家担心的“地球翻转”，是不会发生的，但是仅仅“没有磁场”，就足够恐怖了。 1）低纬度人造卫星在太阳风吹打下会被摧毁，人类通讯瘫痪。 2）由于生物定向能力失去，导致生物大灭绝。 3）失去地磁场保护，地球暴露在宇宙射线、太阳粒子辐射下，将会对地球气候、人类生命产生致命影响。 4）有科学家甚至认为，曾经存在的古人类文明，是由于磁极倒转覆灭了。 但是，科学家还没有悲观。他们一方面在监控，另一方面在研究。希望将来能研发出控制地球磁场的仪器。地球是我们的家园，不能随随便便放弃它。

问题: 磁现象产生的原因是什么? 电流间有相互作用 2. 电流的磁效应（电生磁） 1820年奥斯特实验表明: 电流对磁极有力的作用. 载流线圈的行为像一块磁铁 磁铁对电流有作用 结论：磁现象与电荷的运动有着密切的关系. 运动电荷既能产生磁效应, 也受到磁力的作用.

2. 磁感应强度(magnetic induction) q0 垂直磁场方向运动, F = Fmax 11.2.2 磁场 磁感强度 实验结果: 1. 磁场(magnetic field) a. F  v 、B 组成的平面; 运动电荷 磁场 运动电荷 b. F 大小正比于v 、q0 、sin q0 沿磁场方向运动, F=0 2. 磁感应强度(magnetic induction) q0 垂直磁场方向运动, F = Fmax ——描述磁场大小和方向的物理量。 (1) 定义: 定义磁感强度的大小: 的方向: 小磁针N极指向; 的大小: 实验: 正试验电荷q0以速率v 在场中沿不同方向运动受力: 单位: 特斯拉(T) 方向： q0

我们在研究带电体产生的电场时, 将其看成许许多多电荷元. 即: §11.3 毕奥-萨伐尔定律 方向: 11.3.1 毕奥—萨伐尔定律 写成矢量表示： 思想： 我们在研究带电体产生的电场时, 将其看成许许多多电荷元. 即: 真空中的磁导率(permeability): 0= 410-7亨利·米-1 (H·m-1) 将电流看成许许多多的电流元: I I r ? . P 实验证明: 在真空和SI制中,

11.3.2 毕奥-萨伐尔定律应用举例 选θ为积分变量, 恒定磁场的计算步骤（积分五步法）： 例11-1. 载流直导线附近一点的磁感应强度。 建立坐标系； 选取电流元或某些典型电流分布为积分元; 由毕-萨定律写出积分元的磁场dB; 建立坐标系, 将dB分解为分量式, 对每个分量积分(统一变量、确定上下积分限); 积分求出总磁感应强度大小、方向, 对结果进行分析. 例11-1. 载流直导线附近一点的磁感应强度。 （有限长直导线） · P · 在导线上任取 根据毕奥-萨伐尔定律, 解： a r θ θ2 θ1 I l

例11-2. 载流圆线圈半径为R, 电流强度为I. 求轴线上距圆心O为x处P点的磁感强度. 讨论： I (1) “无限长”载流导线: 1= 0 , 2 =  解: 1.建立坐标系； 2. 取电流元 (2) “半无限长”载流导线: a B I 3.写： 1= /2 , 2 =  4.分解： 由对称性 5.积分： (3) P点在导线的延长线上: B = 0

——电流的磁矩(magnetic moment) S: 电流所包围的面积, 规定正法线方向与I 指向成右旋关系; 例11-3. A和C为两个正交放置的圆形线圈, 其圆心相重合, A线圈半径为20.0cm, 共10匝, 通有电流10.0A; 而C线圈的半径为10.0cm, 共20匝, 通有电流5.0A. 求两线圈公共中心O点的磁感应强度的大小和方向. 讨论： (1) 圆心处磁场 x=0 N 匝： A C O BC 解： (2) 定义 B  ——电流的磁矩(magnetic moment) BA S: 电流所包围的面积, 规定正法线方向与I 指向成右旋关系; 单位: 安培米2(Am2) I 圆电流磁矩： 圆电流轴线上磁场：

例11-4. 半径为R的圆盘均匀带电, 电荷密度为. 若该圆盘以角速度 绕圆心O旋转, 求轴线上距圆心x处的磁感应强度. 11.3.3 匀速运动电荷的磁场 电流的磁场本质是运动电荷磁场, 下面从毕萨定律导出运动电荷的磁场:  R O P x 解： 任取半径为r圆环 dB dr r S: 电流元横截面积 n: 单位体积带电粒子数 q; 每个粒子带电量 v: 沿电流方向匀速运动 方向如图 环上电量为 电流元 产生的磁场: 则 电流是单位时间通过S的电量:

. - 磁感应线: 方向: 磁感线的切向 大小: 磁感线的疏密 电流元体积中粒子数： 闭合, 或两端伸向无穷远; 特点: 与载流回路互相套联; 互不相交. 则每个运动电荷产生的磁感强度: 条形磁铁周围的磁感线 直线电流的磁感线 + - .  通电螺线管的磁感线 圆电流的磁感线 §11.4 真空中磁场的高斯定理 11.4.1 磁感应线 磁感应线闭合成环, 无头无尾.

11.4.2 磁通量(magnetic flux) 11.4.3 真空中磁场的高斯定理 物理意义： 磁场是“无源场” 磁场是“涡旋场” 11.4.3 真空中磁场的高斯定理 通过磁场中某给定面的磁感线条数: 穿过磁场中任意封闭曲面的磁通量为零. 单位: Wb(韦伯)  dS S 物理意义： 对封闭曲面, 规定外法向为正. 磁场是“无源场” 进入的磁感应线 穿出的磁感应线 磁场是“涡旋场”

I 例11-5. 无限长直导线通以电流I，求通过如图所示的矩形面积的磁通量. 2.在 x 处取面元dS, a b  元通量： 积分： 解:1. 建立如图所示的坐标系 x 处磁感应强度的大小为： （ 无限长）

§11. 5 真空中恒定磁场的 安培环路定理 11.5.1 恒定磁场的安培环路定理 静电场: 磁场: 若电流反向: §11. 5 真空中恒定磁场的 安培环路定理 11.5.1 恒定磁场的安培环路定理 静电场: 磁场: 若电流反向: I L 下面以长直载流导线的磁场为例进行讨论: 1. 电流穿过环路L I L d r  B dl  B dl d r

2.多根载流导线穿过环路 3. 电流在环路之外 I L d r  B dl

(2) L: 场中任一闭合曲线—安培环路(规定绕向); 3. 电流在环路之外 说明: I L d r  B dl (1)成立条件:恒定电流的磁场; (2) L: 场中任一闭合曲线—安培环路(规定绕向); : 环路上各点总磁感应强度(L内外所有电流产生); : 穿过以L为边界的任意曲面的电流的代数和; 4.安培环路定理 (3)安培环路定理揭示磁场是非保守场 —— 无势场, 涡旋场. 在真空的恒定磁场中, 磁感强度矢量沿任意闭合曲线L的线积分(环流), 等于包围在闭合曲线内各电流代数和的0倍. (4)电流符号的规定: 与L绕向成右旋关系 Ii > 0 与L绕向成左旋关系 Ii < 0

分析电流磁场分布的对称性, 选取适当安培环路, 使B从积分号内提出. (4)电流符号的规定: 11.5.2 安培环路定理的应用 与L绕向成右旋关系 Ii > 0 与L绕向成左旋关系 Ii < 0 基本步骤: 分析电流磁场分布的对称性, 选取适当安培环路, 使B从积分号内提出. 方法是: 使安培环路L经过待求场点, L上各点B的量值均匀或为零, 且方向与L相切或垂直. 例如： 能用安培环路定理计算的磁场分布主要有: 1. 无限长载流导线, 圆柱, 圆筒; 2. 螺绕管, 无限长密绕螺线管; 3. 无限大载流平面, 平板等. 无限长直载流导线验证安培环路定理：

. 例11-6. 求无限长载流圆柱形导体的磁场分布. 解： 磁场分布分析, 作半径为r 的圆环为积分回路L 根据安培环路定理 I 横截面图

例11-7. 求长直螺线管内的磁感强度(I, n已知). 解： 分析磁场分布 根据安培环路定理: P c d a b 管内中央部分, 轴向B均匀, 管外B近似为零. 作安培回路abcd如图.

例11-8. 求载流螺绕环的磁场分布(R1、R2、N、I已知). 解: 分析磁场分布——对称性 以中心O, 半径 r 的圆环为安培环路 L R1 R2 根据安培环路定理

§11.6 磁场对运动电荷和 11.6.2 带电粒子在磁场中的运动 载流导线的作用 11.6.1 洛仑兹力(Lorentz force) §11.6 磁场对运动电荷和 载流导线的作用 11.6.2 带电粒子在磁场中的运动 11.6.1 洛仑兹力(Lorentz force) 1. 运动方向与均匀磁场方向平行 + B v 大小: 方向: 右螺旋方向 + F v  结论: 带电粒子作匀速直线运动. 2. 运动方向与均匀磁场方向垂直             v B F R + 讨论: 力F 方向垂直v和B确定的平面. 力F 改变速度v方向, 不改变大小, 不作功.

结论: 带电粒子在磁场中作匀速圆周运动, 其周期与速度无关. vy 匀速圆周运动 ——螺旋运动 vx 匀速直线运动 运动方程: 运动半径: 运动周期: 结论: 带电粒子在磁场中作匀速圆周运动, 其周期与速度无关. vy 匀速圆周运动 ——螺旋运动       v大 B R大 + R小 vx 匀速直线运动 运动半径: 运动周期: 3. 初速度沿任意方向进入均匀磁场 螺距:

例11-9. 一由南指向北均匀的磁场, 磁感应强度B=1. 5T. 如果有一个5 例11-9. 一由南指向北均匀的磁场, 磁感应强度B=1.5T. 如果有一个5.0MeV的质子沿竖直向下的方向通过磁场, 问作用在质子上的力有多大?(质子质量m=1.6710-27kg) 解： 方向向东

1. 速度选择器(selector of velocity) q, v, B不变, R与m成正比, 同位素按质量大小排列. 11.6.3 应用电场和磁场控制 带电粒子的实例 荷质比： 1. 速度选择器(selector of velocity) q, v, B不变, R与m成正比, 同位素按质量大小排列. + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - 离子源        B E Fm + -    P N                                                  B + v Fe 相同速度带电粒子 2. 质谱仪(mass spectrograph) 质谱仪是研究物质同位素的仪器. N : 离子源 P: 速度选择

回旋加速器是核物理, 高能物理等实验研究的一种基本设备. 3. 回旋加速器(cyclotron) 回旋加速器是核物理, 高能物理等实验研究的一种基本设备. 通过半圆盒的时间:  B V 振荡周期: 频率: 粒子动能:

4. 霍尔效应(Hall effect) y z U B x I + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - d b U1 U2 - v Fe Fm (1) 现象: 当电流垂直于外磁场方向通过导体时, 在垂直于磁场和电流方向的导体的两个端面之间出现电势差的现象, 该电势差称为霍尔电势差(霍尔电压). 载流子q = -e, 漂移速率 方向向上, 形成 动态平衡时: (2) 用电子论解释

11.6.4 安培力(Ampere force) 1. 载流导线在磁场中所受力 设: 电子数密度 n , 则电流元中的电子数: nSdl . 作用在一个电子上的洛仑兹力为: 电流元受磁力为： 令霍尔系数 由电流强度的定义： 安培力：

- 安培力： 大小: 方向: (2) 计算安培力步骤: 在载流导线上取电流元 由安培定律得电流元所受安培力: B S I (2) 计算安培力步骤: 在载流导线上取电流元  由安培定律得电流元所受安培力: 由叠加原理求载流导线所受安培力: (1) 任意形状载流导线在磁场中受安培力:

(3) 平行长直电流间的相互作用 ——“安培”的定义 若令I1=I2 =1(A), a=1m, 则 “安培”的定义: 两平行长直导线相距1m, 通过大小相等的电流, 如果这时它们之间单位长度导线受到的磁场力正好是 210-7N∙m-1 时,就把两导线中所通过的电流定义为“1安培”. 在电流2上任取 , 电流元受力: 单位长度受力: 根据牛顿第三定律, 电流1受力大小相同.

例11-10. 无限长直载流导线通有电流I1 , 在同一平面内有长为 L 的载流直导线, 通有电流I2 例11-10. 无限长直载流导线通有电流I1 , 在同一平面内有长为 L 的载流直导线, 通有电流I2 . 如图 r、 已知, 求长为L的导线所受的磁场力. dF I2 I1  x O dx x r 解： 在L上任取 , 受力方向如图. 建立如图所示之坐标系 根据安培力公式:

2. 载流线圈在磁场中受到的磁力矩 故, (1) 载流线圈在均匀磁场中受合力为零 (2) 载流线圈在均匀磁场中受磁力矩 I b a c d F3  如图线圈的正法向为n, 见俯视图 B F2 l2 F2 l1 n    大小相等 方向相反 形成力偶 B  F1 n  F1 l1 F4 N 匝线圈的磁力矩: 大小相等, 方向相反.

上式适合于任意形状的闭合载流线圈, 但要求线圈所在处的磁场均匀. 线圈的磁力矩:  =180时, M=0, 最大. 上式适合于任意形状的闭合载流线圈, 但要求线圈所在处的磁场均匀.     B I (3) B为非均匀磁场时, 线圈所受的合力、合力矩都不为零, 此时线圈向磁场大的地方运动. 线圈转动又平动. 非稳定平衡  =90时, M = Mmax= NBIS, 最小. (4) 磁力矩与磁通量 I B  =0时, M=0, 最大.     B I 在均匀磁场中, 平面载流线圈的转动趋势是使其磁矩的方向与外磁场的方向一致, 即  = 0. 稳定平衡

磁力对运动载流导线的功等于电流强度与回路包围面积内的磁通量的增量的乘积. 11.7.2 磁场力距对转动载流线圈 的功 §11.7 磁力的功   n F2 F1 B  11.7.1 磁力对运动载流导线作的功        I B a b c d  d a b dx L F 力矩的功: 磁力矩: 磁场力: F = BIL , 位移dx 磁场力的功: dA = Fdx= BILdx 其中 BLdx=BdS= d 当电流恒定时: 则 dA=Id 磁力对运动载流导线的功等于电流强度与回路包围面积内的磁通量的增量的乘积. 11.7.2 磁场力距对转动载流线圈 的功

例11-11. 一半径为R的闭合载流线圈, 载流I, 放在磁感应强度为B的均匀磁场中, 其方向与线圈平面平行 解法一: (1) 方向如图： (2) 线圈转过90时，磁通量的增量为： 则 力矩的功： 解法二：考查一段电流元受力 方向：