利率期限结构：静态模型 厦门大学金融系 陈蓉 2011/9/29

利率期限结构概述 利率期限结构变动的因子分析 传统的利率期限结构理论 利率期限结构的拟合 >> 利率期限结构：静态模型 利率期限结构概述 利率期限结构变动的因子分析 传统的利率期限结构理论 利率期限结构的拟合

利率期限结构的定义与类型 利率期限结构的基本特征 >> 利率期限结构概述 利率期限结构的定义与类型 利率期限结构的基本特征

利率期限结构的定义与类型 利率期限结构的基本特征 >> 利率期限结构概述 利率期限结构的定义与类型 利率期限结构的基本特征

利率期限结构的定义 不同期限的利率水平之间的关系 “利率期限结构”（interest rate term structure），有时也 称为“收益率曲线”（yield curve）

利率期限结构的类型 利率的种类不同 信用等级不同 到期收益率曲线 互换利率期限结构 即期利率期限结构 平价到期收益率曲线 远期利率期限结构 瞬时远期利率期限结构 信用等级不同

我国银行间即期利率期限结构

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利率的典型特征 名义利率的非负性（不能假设利率服从正态分布） 均值回归 利率变动非完全相关 短期利率比长期利率更具波动性（利率波动往往还 与利率水平有关）

均值回归

利率变动非完全正相关 法国不同期限利率的相关系数表（1995-2000）

利率期限结构的不同形状：上升

利率期限结构的不同形状：接近水平

利率期限结构的不同形状：下降

利率期限结构的不同形状：先降后升

利率期限结构的不同形状：先升后降

即期利率、平价到期收益率和远期利率

利率期限结构的动态变化

>>利率期限结构变动的因子分析 利率期限结构变动的主成份分析 利率期限结构变动的因子分析

>>利率期限结构变动的因子分析 利率期限结构变动的主成份分析 利率期限结构变动的因子分析

为何需要采用主成分分析？ 利率变动非完全相关意味着 受到共同因素的影响但影响程度有差异 特定期限利率有特定影响因素 高度相关意味着数据信息高度重合（信息冗余）， 我们希望找到数量较少的独立因子，来描述利率变 动

主成分分析 （principal component analysis, PCA） 一种将给定的一组高度相关的变量（如不同剩余 期限的利率的变动 ）通过线性变换转化为另一组 不相关变量的数学方法。 在变换中，保持总方差不变（意味着信息没有丢 失），新的变量按方差依次递减的顺序排列，解 释了主要方差的前几个成分被称为“主成分”。

Fi 和Xi 的关系

主成分求解

主成分分析的一般步骤 采集不同期限即期利率变动ΔR(t,ti)的历史数据并 将其标准化 计算不同期限ΔR*(t,ti)之间的方差－协方差阵∑ 计算∑的特征值及其对应的特征向量，把特征向 量进行正交化并单位化，计算出互不相关的成分 因子，并按特征值大小排序 计算不同成分的方差贡献率和累计方差贡献率， 并确定主成分

主成分个数的确定 特征值准则 特征值大于等于1的成分 碎石检验准则 曲线开始变平前的一个点

主成分分析的部分研究结果 只需要三个主成份就可以解释全球许多市场利率 期限结构90%左右的变动 Barber and Copper (1996) ：1985-1991年美国市场上前三个主成份对利率期限结构的解释能力达到97.11% Lardic, Priaulet and Priaulet (2003) ：在德国市场、意大利市场和英国市场上，1998至2000年期间前三个主成份的解释能力分别为90%、90%和93% 唐革榕和朱峰 (2003)：2001年8月30日至2002年12月13日上海交易所国债利率变动的90.85%也可用前三个主成份来解释

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因子分析（factor analysis） 因子分析主要可用于提取主成分的经济含义 绘出各因子F*j对应的系数ljt图，有助于揭示各主 成分的经济含义

利率期限结构主成分因子载荷示例

利率期限结构变动的因子分析 l1水平因子：当第一个因子变动时，不同期限的利 率将发生同样幅度的变动。它常常可以解释利率 曲线变化的60%－80%。 l2斜率因子：通常会在2－8年之间穿过横轴。这个 因子变动时，长短期利率的变动是不同的。它可 用来衡量长短期利率的期限差异（term premium) ，通常可以解释利率曲线变化的5%－30%。 l3曲度因子：通常呈现蝶形，说明第三个因子对利 率期限结构上的短、中和长期利率具有不同的影 响。它一般解释了收益率曲线变化的0%－10%。

纯预期理论 流动性偏好理论 市场分割理论 期限偏好理论 >> 传统的利率期限结构理论 纯预期理论 流动性偏好理论 市场分割理论 期限偏好理论

纯预期理论（Pure Expectation Theory） 当前的利率期限结构仅代表了市场对未来即期利 率变化的预期 纯预期理论有三个版本

纯预期理论的3个版本 远期利率是市场对未来即期利率的预期 短期零息票债券滚动投资n年的预期收益率应该等 于n年期零息票债券一次性投资的收益率

纯预期理论的错误之处 核心缺陷：忽略利率中的风险溢酬 版本1：陈蓉和郑振龙（2007）：远期利率并不等于未来即期利率的期望值，两者之间还相差利率风险溢酬 版本2：虽然考虑了利率的风险，但没有考虑人们的风险厌恶系数 版本3：根据Jensen不等式，版本2与版本3之间不等价。

流动性偏好理论(liquidity preference theory) 从长期利率中提炼出来的远期利率同时反映了市 场对未来的预期和流动性风险溢酬，剩余期限越 长，该风险溢酬越大。 优点：同时考虑了预期和流动性风险溢酬的影响 缺陷 风险溢酬并不必然随时间递增 投资者特定的资产状况使得他们偏好某些期限债券

市场分割理论(market segmentation theory） 投资者有各自的投资期限偏好，并且偏好不变。 利率曲线的形状由短、中和长期市场的各自供求 关系决定。 缺陷：市场分割理论也可以解读为投资者对投资 其他期限所要求的风险溢酬无穷大，从而使得他 们不可能改变投资偏好。

期限偏好理论（preferred habitat theory） 流动性偏好理论和市场分割理论的结合 不同资产负债状况的投资者通常有着特定偏好的 投资期限，但这些偏好并非是完全不变的。当不 同期限债券的供求发生变化，一些期限的债券供 求不再平衡，从而使得相应期限的风险溢酬变化 到足以抵消利率风险或再投资风险时，一些投资 者的偏好就会发生转移。

利率期限结构理论评析 流动性偏好和期限偏好理论都认为长期利率反映 了市场对未来的预期和风险溢酬，都被称为“有 偏期望理论”（biased expectation theory）。 相对于流动性偏好理论，期限偏好理论引入了投 资者的期限偏好，并认为风险溢酬并非简单随期 限递增；相对于市场分割理论，期限偏好理论则 加入了市场预期和风险溢酬的思想。

拟合利率期限结构的准备工作 无风险即期利率期限结构的拟合 信用价差期限结构的拟合 >> 利率期限结构的拟合 拟合利率期限结构的准备工作 无风险即期利率期限结构的拟合 信用价差期限结构的拟合

市场曲线与隐含曲线 市场曲线：YTM和互换利率曲线 隐含曲线： 即期利率、平价到期收益率、远期利率和瞬时远期利率曲线

拟合利率期限结构的准备工作 构建可靠的数据库 被用于估计同一条收益率曲线的债券必须具有相同的信用等级和税收待遇等条件，以保证这些债券的惟一差异就是剩余期限 剔除含权证券 剔除明显定价不合理、流动性差异很大（包括与其他样本相比，流动性过差或流动性过好）的证券 所选证券的剩余期限应尽可能覆盖要估计时间长度的各个区间（短期、中期和长期），且各个分段区间内的样本数要足够多，以保证结果的可靠性。

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无风险即期利率期限结构的拟合方法 方法分类 直接法与间接法 评价利率期限结构拟合方法的标准 准确性 平滑性 稳定性 灵活性

直接法I：求解债券定价方程 假设有4只付息日相同的债券（一年支付一次利息） 息票 剩余期限（年） 市场价格 债券1 3 1 99 债券2   息票 剩余期限（年） 市场价格 债券1 3 1 99 债券2 3.5 2 99.5 债券3 96 债券 4 9

由债券定价公式有： 可解出相应1至4年期即期利率分别为3.96%、 3.69%、4.38%和5.36%

求解债券定价方程：一般思路 只要F可逆，则 进而 现实中缺乏可操作性。

直接法II：Carleton and Cooper估计 解决债券数量大于付息日数量的过度识别问题 现实市场中，更常出现的情形是付息日数量大于 可得的债券数量，也就是说，待估参数个数大于 数据量。在这样的情况下，必须找到降维的方法 ，减少待估参数的个数，才能估计出利率期限结 构。

直接法III：靴襻法(the Bootstrapping Method) 基本思路：不断重复的两步法 第一步用息票剥离的方法，用债券市场价格的数据直接估计出一些期限的即期利率，得到利率期限结构上的一些离散的点 第二步用插值法（interpolation）估计出各点间的曲线 对不同期限不断重复这两步

假设有6只债券如下，其中的附息债每半年支付一 次利息   息票 剩余期限（年） 市场价格 债券1 0.50 97.5 债券2 94.9 债券3 1.00 90.0 债券4 8 1.50 96.0 债券5 12 2.00 101.6 债券6 10 2.75 99.8

首先利用息票剥离法解出部分离散的即期利率点 3个月期即期利率由债券1直接求得为 同样的方法计算出6个月和1年期即期利率分别为10.47%和10.54%。进一步可以得到1.5年期的即期利率为10.68%。2年期的即期利率为10.81% 债券6？

用线性插值提取债券6的信息 0.75年利率被认为位于半年利率和1期利率中点 类似地，可以认为1.25年期利率等于10.61%，1.75年利率为10.745% 由于2.25年利率可以用2.75年利率表示为 将其代入债券6的定价方程， R(0, 2)已知，可解出方程中惟一的未知数R(0, 2.75)为10.87%，并得R(0, 2.25)

不同的插值技术 线性插值 分段三次多项式插值

分段三次多项式插值：一个例子 对前例使用三次多项式插值 节点0.5年、1年、1.5年和2年的即期利率都应满足 由此可解得四个参数，并计算0~2年间任意期限的利率 如果要拟合2年以上到期期限的即期利率，需找到对应期 限的4个即期利率，再用另一个三次多项式刻画。以此类 推。

不同插值方法比较 与线性插值法相比，分段三次多项式插值法拟合 得到的利率期限结构相对平滑。但在每段之间的 衔接点处可能并不平滑 三次函数图像的S形性质使得三次多项式插值法下 会出现某些时段的曲线是凹的而另外一些时段的 曲线是凸的现象。

间接法的基本思路 首先设定贴现函数B(0,s)或即期利率函数R(0,s)为 剩余期限s的函数 第三步，写出贴现函数或即期利率函数的最终形 式，得到利率期限结构 可分为贴现函数法和即期利率法

贴现函数的形式设定 贴现函数通常被设定为样条函数（spline functions） 样条函数是指由一些相对简单的分段多项式连接而成 ，保证分段内光滑、在各段连接处也具有一定光滑性 的函数，其目的是用这些分段函数尽可能地逼近一定 的曲线。 根据Weierstrass第一逼近定理，任何连续函数都可以被 一个多项式函数任意接近地逼近，这为样条函数的运 用提供了基本依据。 在贴现函数的设定中，常用的样条函数包括三次多项 式样条、三次基样条（B-Spline）和三次指数样条。

三次样条函数 假设我们根据市场经验，以5年和15年作为分界点 ，将利率期限结构划分为短、中、长期，并构造 三次样条函数

约束条件为 与三次多项式插值不同，要保证分段点的连续性 这里i=0,1,2。 B1(0,0) =1

将这两组约束代入，有 将待估参数由12个降低到5个

三次基样条 是6个三次基样条函数的加权平均， 待估参数为 为截断的三次函数，只取正数 ti则可理解为时间轴上已知的不同时点

三次基样条方法评析 三次基样条函数是三次样条空间中最基本的基函 数，相应区间上的任意三次多项式样条都可以由 三次基样条特定的线性组合构造出来 三次基样条函数实际上是用逐渐推移的多个基础 三次函数的组合来构造出复杂的分段三次函数， 与普通的三次多项式样条相比，其精确性大大提 高 该函数形式看似复杂，但实际上只有6个待估参数 ，稳定的参数估计比较容易实现

三次指数样条 三次指数样条函数 约束条件

三次指数样条的简化形式 共有7个待估参数 （Shea，1985）待估参数u是未来无限远时的瞬时 远期利率

贴现函数设定中的一些问题 阶数（degree）的选择：精确度与复杂性的权衡 样条数量的选择 节点位置的选择 三次最常见，可以保证函数连续和二阶可导 样条数量的选择 样条数量越多，拟合越好，但缺点在于曲线的平滑性较差，此外也较容易受到奇异点的影响 节点位置的选择 节点最好使得每段区间具有一定的经济含义，且样本数量要较为接近

贴现函数法：参数校准 参数校准 在线性回归中，回归系数的最小二乘估计就是使 得回归方程残差平方和最小的系数值。因此，只 要对贴现函数形式的设定使得理论价值 能表达为 参数 的线性形式，式的估计过程就等价于对回归 方程的估计

无论样条函数形式看起来多么复杂，这些贴现函 数实际上都是参数的线性函数，从而相应的债券 价格也将是参数的线性函数。 例如，三次多项式样条函数形式下，一个剩余期 限为2年的零息票债券的理论价格就可表达为 附息债又是零息债的线性组合，从而不含权债券 的价格总是可以表达为参数的线性函数。

参数校准中的问题：异方差 直接假设方差大小与债券剩余期限的平方成比例 债券定价误差的方差大小与该债券对利率变动敏 感性的平方成正比（ Vasicek and Fong ，1982 ）

参数校准中的问题：约束条件 基本约束条件： 例如，在三次基样条函数形式下， 从而可以表达为 约束条件下的GLS估计量为

比较 Carleton and Cooper估计 贴现函数法

比较 直接法下的插值方法 贴现函数法

即期利率函数法 贴现函数法的缺陷之一在于参数经济含义不明确 大多数即期利率函数都是从利率期限结构动态模 型推导而来。 最常见的是Nelson-Siegel（NS）模型和Nelson- Siegel -Svensson(NSS)模型。

即期利率函数法：NS模型 指数形式的瞬时远期利率 对应的即期利率函数

NS参数的经济含义 β 0 β1 β2 m 水平因子：载荷为1，1是不衰减的常数，对所有期限利率影响一致 长期因子：期限无穷大时利率收敛于β0 β1 短期因子：其载荷是一个开始于1，并很快衰减至0的函数，对短期利率影响大 斜率因子：当期限趋于0时， ，因此 也可以看作是长短期利率之差（spread） β2 其载荷开始于0先增加后衰减为0，对中期利率影响大，主要影响收益率曲线的弯曲度, 通常被称为“中期因子”或“曲度因子” m 决定了β1和β2的衰减速度。如果m较小， 收敛的速率比较快，能较好地拟合较长到期期限的曲线。m较大时， 收敛的速度较慢，能比较好地拟合较短到期期限的收益率曲线。

NS模型的优缺点 其参数富有经济含义，三个参数分别对应着利率 期限结构的水平变化、斜率变化以及曲度变化， 这与主成份分析的结果之间存在着自然的联系。 短期利率由β 0和β 1决定，而长期利率只由β 0决定 ，因此在NS模型下，短期利率的波动性一般比长 期利率的波动性大，这一点与现实相符的。 NS模型的缺陷在于：虽然NS模型可以拟合出上升 、下降、水平、先下降后上升的利率曲线，但却 无法生成更丰富形状的曲线。

即期利率函数法：NSS模型 NSS模型：解决NS模型刻画曲线种类受限的问题 改进 即期利率函数 增加中期项 增加新的曲度参数β3和调整参数m2 中短期部分的形状更加灵活多样，从而能够刻画出各种形状的利率期限结构。

即期利率函数法：参数校准 无法使用最小二乘法，而只能使用非线性最优化 技术 同样需要考虑异方差和约束问题 异方差调整通过赋予短期债券较大的权重来体现

利率期限结构拟合方法评价 直接方法中的靴襻法应用方便，但对数据量要求较高 ，且得到的曲线平滑度可能不是很好 间接方法能拟合出更为精确和平滑的利率期限结构 即期利率法的经济含义明确，而且由于用一个函数拟合整条利率期限结构，曲线平滑性也较好 贴现函数法也有其优越之处。由于用多个连接的分段函数去逼近整条利率期限结构，精确性较高 这些模型本身无法无法推断出未来的参数变化与今天 的参数是如何相关的。这是这些方法被统称为“静态 ”模型的原因。

信用价差期限结构的拟合：分离估计 分别估计国债和特定信用级别的即期利率期限结 构，将两条利率曲线上同样期限的两种利率相减 直观，但得到的结果对方法敏感度较大，容易不 平滑

信用价差期限结构的拟合：联合估计 同时设定无风险利率和信用价差期限结构，利用 特定信用级别的债券价格将两条曲线一次性估计 出来 思路1：将特定信用级别的贴现函数设定为无风险贴现函数和信用价差函数之和 思路2：直接将特定信用级别的即期利率设定为无风险利率和信用价差之和